1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Фазовме траектории на рис. 20.б — рзскручнвающиеся спирали, Колебания исходной механической системы монотонно и неограниченно Рнс. ЯОЛ. Фокус с раскручяааю- щкмкся спяралямк. Ряс. 20.4. Фокус со скручиваю. щямкся спкралямя. возрастают. Особая точка — неустойчивый фокус, не имеющий области притяжении На рис. 20.6 показан фазовый портрет с особой точкой, называемой седлом. Каждая ветвь фазовых кривых пересекает ось с только один раз или ни одного рава, и следовательно, движение исходной системы не является колебательным. Кроме криволинейных фазовых траекторий (не проходящих через особую точку), имеется две прямолинейные фазовме траектории, проходюцие через особую точку, нялинанные колввдння [гл. хл явлмгикнеся асямптотамн крнволинейных фазовых траекторий. Одна нз прямолинейных фазовых траекторий является ярн этом сблнжаюгпей, нзображаошая точка пробегает ее в направлении к началу координат, вторая — удэляюгкей, нзображвюпгая точка у пробегает ее, удаляясь от особой точки.
Нэ рнс. 20.7 н 20,8 показаны фаэовые портреты с особыми точкамн — устойчивым и неустойчивым узлоэг. Устойчивый увел (рис. 20.7) вмеет область притяжения, неустойчивый увел (рис. 20.8) не имеет области притяжения. Каждая из фазовых траекторий пере. секает ось абсцисс только один рэз, фзэовые траектории — незамкнутые кривые, движение системы не колебательное. В первом и втором квэдрантах скоРис.
20а. Седла Рость У положительна, поэтомУ абсцисса л в этих квадрантах будет воарастать, в третьем н четвертом квадрыггэх, наоборот, скорость у отрицательна н абспвсса л будет убывать. Следовательио, касательная к фазовой траектории в точках пересечения с осью абсцисс перпендикулярна последней. Рве. 20.7. Узел с двумя ироходмзлми Рис.
20.8. Узел с двумя проэолвщюэв через него прямымв и фвэовые трэек- через пего прямыми и фвзовые трзеяг торин, направленные к узлу. торин, ввправлевные от узле. Важное значение пря ясследованнн нелинейных колебаний имеют фазовые трзекторнн, которые, начнная с определенного момента времени, остаются в пределах некоторой конечной области, не прнблнжаясь сколь угодно близко к особой точкп Такие фззовые траекторня нсслццованни нилннинных коливанин 443 пересекают бесчисленное число раз ось абсцисс.
Возможные формы таких фазовых траекторий — спирали и замкнутые кривые. Замкнутые кривые в ятом случае называются лределанымн пияяами. Для скручивзющейся сниралн предельный цикл лежит внутри спирали, а для раскручнвающейся спирали — вне ее. Предельные циклы могут быть устойчивыми и неустойчивыми (ряс. 20.9). На рисунке показаны дза предельных цикла: большего радиуса — устойчивый — и меньшего радяуса— неустойчивый. у Устойчивый предельный цикл характеризуется тем, что при небольших начальных отклонениях от него изображающая точка асимптотически по спирали приближается к предельному циклу. Устойчивому предельному циклу соответствуют автоколебання системы, Если предельный цикл неустойчив, то при небольших отклонениях от него изобра. жающая точка будет удадяться от предель.
Ряс. И,з, ного цикла. В смдующем пункте будут показаны примеры построения фазовых портретов для линейных систем с одной степенью свободы, В п. 3' построение фазовых портретов будет ириведено для велинейных систем с одной степенью свободы. Из многочисленных приближенных приемов построения фазовых траекторий (метод изоклин, метод ((робоза, метод Льенара, метод Пелла и др.) будет применен универсальный и получивший наибольшее распространение в последнее время дельта-метод. 2'. Ф азов ые портреты линейных систем. Рассмотрим в атом пункте фазозые траектории и фазовые портреты линейных систем. При решении задач на построение фазовых портретов линейных систем следует придергкиваться такой последовательности действий: 1) выбрать систему координат так, чтобы ее начало совпадало с положением равновесия системы; 2) составить дифференциальное урзвнение движения; 3) исключить из уравнения время н, проинтегрировав получепноз дифференциальное уравнение фазовых траекторий, найти зависимость между отклонением (обобщенной координатой) системы и ее обобщенной скоростью; 4) построив на фззовой плоскости интегральные кривые прн различных начальных условиях движения, нзйти фазовый портрет системы; б) яо фазовому портрету определить характер двимпигш й равно- весия системы.
1гл. хя НЕЛИНЙИНЫЯ КОЛВВАНИЯ Задача ЯО.16. Построить фазовый портрет незатухающего гармонического осциллятора. Р е ш е н и е, В гармоническом незатухающем осцилляторе колебания, называемые свободными, возникают под действием восслгалпвлиаающей сплм, пропорциональной отклонению свстемы от положения равновесия, стремяшейся все время вернуть систему в положение равновесия. Примерами гармонического незатухающего осциллятора являются груз, подвешенный на пружине, математнческий и физический маятники при малых углах отклонения (без учета сил сопротивления), электрический колебательный контур, состоящий из емкости и индуктивности, ио не обладающий сопротивлением.
Во всех этих случаях дифференциальное уравнение движения имеет вид й+ йа.в = О, где ж- отклонение системы от положения равновесия нли ааряд в влектрическом колебательном контуре (см. гл. 8), ла =с/и-для груза, подвешенного на пружине (с — ковффнциент жесткости, ла — масса), ЛЯ=8/1-для математического маятника (1-длина мавтника, л — ускорение силы тяжести), йа Ра/1,-для физического маятника (Р†в маятника, а — расстоянйе от оси подвеса до центра тяжести, 1,- момент инерции маятника относительно осн подвеса), йя 1/С1.- для электрического колебательного контура (1.
— ицяуктнвность, С- емкость). Положив лл у = — =М ят представим уравнение (1) в виде системы — = — йял — у. лу яя яг ' я'Г Исключив ив этой системы время, находим йу А'к ял Вдинствениой особой точкой этого дифференциального уравнения является положение равновесия, начало координат л О, у= О, когда правая часть (2) обращается в неопределенность. Отделив переменные, находим Проинтегрировав, получим уа+ лз.та С, где С-пронзвольная постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям движения.
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАННП 446 ва один и тот же промежуток времени, перемещаясь по ходу часовой стрелки. Заметим, что уравнение (4) одновременно является ваконом сохранения механической энергии (кинетической н потенциальной) для рассматриваемой консервативной системы. Задача 20.17. Найти фааовый портрет гармонического осциллятора с вязким трением.
Рею ениж В гармоническом осцилляторе с вязким трением к восстанавливающей силе добавляется сила сопротивления (вязкоэ трение, электрическое сопротивление), пропорциональная первой степени скорости и направленная в сторону, противоположную скорости. С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение движения системы будет У+ 2ЛМ+йал О, где 2Л=Млг, а а-коэффициент пропорциональности силы сопротивления (Й„= — аУ). Величина л имеет такую же размерность, как и л, т. е.
сел т, если время измеряется в секундах, Обозначив, как и ранее, У=у, перепишем уравнение (1) в виде системы двух уравнений — = — 2лу — лвл яУ яг У лл Ж =У' (2) (3) Исключив ив втой системы время, находим 3~3й ٠— 2яу-йал вл д ° (4) Отсюда следует, что особой точкой уравнения (4) является начало координат-положение равновесия, где правая часть обращается в неопределенность вида 010. Уравнение (4) представляет фазовый портрет системы. Это семейство вллипсов (см. рнс.
20.3), симметричных относительно особой точки — начала координат. Каждый эллипс является фазовой траекторией. Особая точка — центр — находится из (4) как эллипс, выродившийся в точку при начальных условиях, соответствующих С О. Какой нз эллипсов соответствует данному периодическому движению системы? Его параметры вависят только от начальных условий движения. Если начальные условия определены, то изображающая точка будет описывать одни и тот же вллипс в течение всего времени движения системы.
Таким образом, каждая ив интегральных кривых в данном случае является целой фавовой траекторией. Период колебания не зависит от начальных условий движения. Следовательно, любой иа эллипсов ивображающая точка описывает со скоростью 446 нвлинвнные колевлння [гл. хх Чтобы отделить переменные в уравнении (4), произведем замену у лх. Тогда уравнение (4) примет вид л» а ля х г'+ 2лг+ А' Интеграл этого уравнения зависит от вида корней квадратного поли- нома в знаменателе правой части. Поэтому рзссмотрим отдельно два случая: л ( л — случай малого сопротивления и и и — случай болыиого сопротивлении, к которому примыкает и граничный случай и=л.
Случай малого сопротивлению В атом случае л с.л И интеграл (5) имеет внд х (аз+ 2лл+ ла)нл С ехр « вЂ” агс(д — ~, (6) ф уа+ 2л ху+ а«эха С ехр «ь — агой — «. Гл д+лл « а«х (7) Полученному уравнению интегральных кривых можно придать более обозримый вид, если перейти к новым переменным, которые будут новымн прямоугольными координатами: ха=Аах, уз=у+ох« тогда после преобразования у'+ 2л ху йяхз-(у+их)я+ Айхз хт«+уа вместо (7) мы получим ха+та = Ст ехр «2 л агс$д Л«1. Х«„° Введем полярные координаты р и «р: х,=рсоа«р, ««а=ра!п«р. Тогда уравнение (8) принимает вид и р=Сае" (й) Направление движения изображающей точки (риа. а) соответствует ходу часовой стрелки. Угол «р отсчитывается в обратном направлении.
Следовательно, в уравнении (9) угол «р непрерывно уменьшается, а значит, неограниченно уменьшается и радиус-вектор изображающей где л, =1«' ла — ла, С в произвольная постоянная интегрировани«ь Воавратившнсь к огарым переменным, т. е, ааменив л=у/х, находим уравнение интегральных кривых исследовании нилинвиных коливании 447 точки р, Интегральные кривые- скручивающиеся спирали (рис. а), навивающиеся на начало координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
