1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 66
Текст из файла (страница 66)
,"„-+ — „+ — „,+В В связи с симметричностью движения относительно полупериода м!в нечетные и четные слагаемые в этом уравнении соответственно равны. Следовательно, — +В л л зФ вЂ” +В Ф ~ А,ЬВсЫ+ ~ А,ЗВЫ=О, (6) р"-„. + В где А и А, даны формулой (3). Внеся в уравнение (6) выраженно вариации (4) и собрав члены, содержащие Ьр и 6!3, запишем 418 нвлинвнныи колвваннн 1гл.
хн (9) (12) (18) Внеся эгн значения в (1), получим искомое уравнение крутнль- ных колебаний Л/П» 1 а) — з1~ % з1п ( вг — агс18 — — ''~, (14) у (з,',— а,')»+и» (а' — в»)» и ໠— оР/ ' где й, '= с,Л„йа св11 ла = 2 (йг+%, шо А~о/1*. а 1 1 (Нетрудно видеть, что прн отсутствии момента силы сопротивления, когда чтреугольная» характеристика вырождается в линейную с коэффициентом жесткости с, т. е.
прн л,'= ла', уравнение (14) принимает вид, обычный для соответствующей линейной задачи: сбп вс,) Можно, воспользовавшись формулами (12) н (13), построить кривые измененна амплитУды вт и Угловой Разности фаэ в1) в зависимости от в, при разных величинах момента силы сопротивления, определяемых параметром р=Ц/)г,'*=с,~се При этом обнаруживается аналогия с подобными кривыми, построенными для силы сопротивления, пропорциональной скорости, и линейной силы упругости.
Правда„ наибольшие амплитуды колебаний по мере увеличения момента силы сопротивления и, следовательно 9, сдвигаются по отношению к так Вариации бфт и 81) независимы. Поэтому оба коэффициента, стоящие н (7) при этих вариациях, должны быть равны нулю, т, е. ,— +в „-+В Ааз1пв(Ф-())йй+ ~ Ааз1пв(Г-~)81=*0, (8) В я„+В н — +в в -+В к Аасозв(г — р)пг+ ) Аасозв(6-~))г(а=О. В ,— „+В я Использовав формулу (б) в уравнениях (8) и (9) и вычислив интегралы в уравнениях (8) и (9), получим вт(лз — в') = лга соя в1), (19) <Рт ٠— А~) = ~лга аш га)), (11) где обозначено ля= — К+ Йа).
, 1 2 решив систему уравнений (10) и (11) относительно ф1 и 18в13, найдем З а1 вынзждвнныя колеианнд нзлиншчных снствм 4!О 1Р+/««лф — л«а а1п «а/ = О, причем А«'=с«// надо брзть прн (2) «)~г~т+«з и — +1)~г( — +'с+1т, (3) а ля=с«//, при т+ р ~ г ~ — "+ 1) и -"-+ т+ 13 ~ г ~ —,", + р. (4) *) См. вторую сноску на стр. 397, называемому резонансу (ю//« = 1) в сторону увеличения ю/л. Так, при и=* 2 имеем ы/л = 1,02, а при й 3 имеем ы/й = 1,0б. (Напомним, что при силе сопротивления, пропорциональной скорости, и линейной силе упругости наибольшие значения амплитуд вынужденных колебаний смешались в сторону уменьшения в//«, т. е. имели место при ю/й~;1.
Задача 20.11. Ознакомившись с условием и решением предыдушей задачи, выполнить второе приближение вариационным методом Бубнова — Галеркина а). Решение. При рассмотрении в предыдушей задаче первого приближения было сделано ирелположенне о том, что продолжительность отклонения колеблюшейся системы из нулевого положения в крайнее равно продолжительности возврата в это положение, т. е. четверти периода колебаний Т/4=к/2ю. В действительности же продолжи. тельность отклонения меньше продолжительности возврата, так как са~св Учтем вту особенность колебаний во втором приближенна. Искомая функция «р =ф(г) должна удовлетворять следующим условиям: 1) ф(Г+ — )=ф(Г)1 2) при «=1) имеем «р=О; 3) прн с=~+1) имеем «р=О; 4) ф(1))=* — ф~ — + ф); б) при /=т+р, причем Ос' ° с,т( —, имеем ф=О.
Нетрудно видеть, что всем втиы условиям удовлетворяет функция «р=«р,з1пю(р-ф)+фа(соаю(Ю-Д) — соя За(8 — В), (1) где ф„фа и р — три постоянных, пока неизвестных параметра, Сопоставив фрнкцию (1) с первым приближением «р = «ра з«п ы (г — 1)) (см. формулу (1) предыдушей задачи), видим, что функция (1) отличается от первого приближения слагаемым «р (соа ы (Š— 1))— — соа Зю (/ — р)). Примем функцию (1) за второе приближение при решении дифференциалы«ых уравнений (2) и (3) предыдушей задачи, которые можно записать в виде 49О нелиненныи колнзания [гл. вх Применяя вариационный метод Бубнова-Галеркина (Зэ), в данной задаче запишем — +в (ф+Ь), аф-гл,з!пюс)бфй=О.
(б) Подставив нз (1) значение ф в ф+Ь,',аф — иааз1пюа и обозначив РезУльтат подстановки чеРез Аа длЯ Ь,' и чеРез Аа дла Ь3, полУчим А... фа(Ка-ыа)з!пы(1-)3)+фз(Ь,' а — юз)созе(Ф вЂ” )3)— — фз (й), а - 9ва) соз Зю(С - )3) — гла з1п юг. (6) Вычислив вариацию бф функции ф (см. (1)), найдем бф =бфаз)пю(Š— ~)+бфз)совы(Е-)3) — соЗЗы(С-)3))+ +6)3 га)фзз!пю(1 — )3)-Зфаз!пЗы(а-)3)-фтсоаю(Š— ф)), е+а %+~+в — +а 6~ ) А й.(- ! А, Ф.(- 1 А, й.~.
! А, л1 .+а ' — +а с ии+т+ а -+а -„+ч+а -+и ~ Ат Ьй+ ~ Аз Ьй+ ~ Аа'Ьй+ ~ Аа Ьй а ч+а -+а 2+1+а — +Р -+с+ а Ат сй+ ~ А, ° сй+ ) Ат сй+ т+Р П вЂ” +а -)- '3 Аз сй -+т+з = О. (9) Вариации бфь бф„бб независимы. Поэтому все коэффициенты, стоящие нри этих вариациях, равны нулю.
нлн бф=бф, а+бфа.Ь+бр ю ° с, (7) где обозначено а з1пы(1 — р), Ь=созю(1-6)-созЗю(1 — )3), (8) с фаз!вы(г — $3) — Зфаз1пЗю(Š— )3)-фасозю(1 — )3). ) Использовав формулы (6) н (7) в уравнении (6), раабив интеграл от )3 до †„ + )3 иа ряд интегралов в соответствии с (3) и (4) и собйн рав члены, содержащие вариации бфь бфа и 6)3, найдем Ф в! выызждяннык колйвлнни нелннкиных снстдм 421 (11) Так как движение симметрично относительно полунериодв и/м„ то нечетные и четные слагаемые, стоящие в каждой нв квадратных скобок уравнения (9), соответственно равны, Поэтому имеем а+в -+в Аа ай+ ) Аа ° па(8=0, (10) а+в а+в -"„+в ~ А, Ьа(1+ ~ А, Ьа-О, а+в а+в ФС Аа сФ+ ) Аа са(1 О. (12) а+В Подставив в уравнеиня (10), (11), (12) значения Аа и Аа нз формулы (6), а также а, Ь и с из (8), после вычисления интегралов и ряда преобразований соответственно получим 1 и (а1 — иа)1 <ра ~ют — — мп 2оат+ —,' ~ + 2 + 2фав!дават — — ч сов ю!) = О (13) ~ра в!па ют+ ~р, ~ют — — а!и 2ют — — в!и 4ют+ 1 1 1 и (Ц вЂ” биа) 1 аояа + — „а а~~.— „-~ — „— ~-тагжш а-о, оч в!пает(~Ра+ 2188 в!и 2оп)а —, (~Ра в!и оа() — <Ра сове()) = О.
(1б) 1- В трех уравнениях (13), (14) и (1б) содержится четыре неиввестных параметра <ри !р„р и т. Поэтому, составляя четвертое уравнение, используем условие: при 1= т+р имеем ф О, Вмчислнв производную (1) по времени и подставив 1 т+)), ф О, найдем <р, соа ат — р, (8!и оат — 3 в!и Зоп) О. (16) Решение системы уравнений (13), (14), (13) и (16) проводим в следующем порядке из уравнений (13) и (14) определим еовоф и в!и оф, ватем полученные значения сов ю!) н 8!и оф подставим в уравнение (1б). Найдем 8!и'ют(ф, +2араа!п 2ют)а— — (2~ра а!и оат+ 2~раааа ~оат + а а Г н Ю-биа) 1 — -в!и Зют сов оат(2 — сов2оат)~— 3 (р ~ ~мт -(- ' — — 81п 2ыт~ — 2~ра ~в!п ыт~ О.
(1у) и(ааа-иа) 1 1 а 4 Ь)- нклннкиныв колввйния !гл хх Выразим ив уравнения (18) соз мт з1паз — 3 з!и Змт ' (18) подставляем это значение фз в уравнение (17). После сокращения на ф1 найдем + 2созат ми2ат 3!и ат з1п мт — 3 мп Зат соз мт В!п ат — 3 мп Змт 3 — 2з!п отт— ат +,',, + — з!п 2ат— и (й! ав) 1 1 . 1 2 созо мт ° мп4 ат 6 з1п4ат+ 6 з(пбат~+(з!пвт-3 ни 3 )з (19) Отделив в левую часть уравнения (19) все слагаемые, содержащие тригонометрические функции ат, а в правую — слагаемые, зависящие от а и ат, получим трансцендентное уравнение относительно ат Уравнение (20) решаем графически, Обозначив левую часть этого уравнения через у„а правую часть — через уо аапишем: уз =Л (отт) уз =го (ат).
Возьмем декартовы оси координат и отложим на оси абсцисс ат, а на оси ординат уз и уз. Построим кривую уз=уз(ат) и прямую уз= гя(ат). Абсцисса их точки пересечения фиксирует искомое значение ат, а значит, и т при заданных значениях йп йз н а. 1!ля определения фт решаем уравнение (13) относительно — сова[), уравнение (1 4) — относительно — з!пар, возводим пгло зопо й! — Ц й! — й1 каждое из ннх в квадрат в складываем: '„, =ф, '[[ат+ ~,' ~, — — з!п2ат~ +4з!пзат)+ 1- и (й! †) 1 +4фзфз~з!пзат[ат+ й,' й, — 2 з!п2ат1+ + 2 з!пз аз1гот+ ~,', — — з1п Зат соз ат (2 — соз 2~т)) + и (й, '— Змо) 1 .(.4и[[ ( — —" "г- — — — ! В (2 — 2~] .~- ! !. 1 2 з!по мт соз ат (з!п ат — 3 з!п Змт) [8 сова 2ат+ созз ат — (з!и а т — 3 з!п Зат)з[+ +.— з(п4ат- — з!пбат=ат+ .
(20) 1 1 и (йз — 9мз 2 6 й',— й4 ФЧ вынзждвнныв колввання калинкиных систем 423 Подставив в зто уравнение значение фз из (18), после ряда преобразований получим з(д — Ц ' 3яуд (21) где р= а*Я, р=д;,lЦ о =лзогаз, и ( и,) пд ~ 2п +А.)+ ипз и в свою очередь 1 = 1+ 4Аз, М = 1+ 2ОАз, ДГ= 1+ 1ООАз, Е =(В+ 2АС)я+ 4(С+ А0)з, Р = 2 (В-!- ОАС-(-4АЧЭ), К 2 (В+ 22АС+ 2ОАзВ), где В=ах — — з!п 2ат, 1 А з!пат — Змизат ' 1 1 1 С= з!п4 ат 0 = аз — — з1п 2а т — — з1п 4оп+ — зш Оат. 4 4 12 Определив таким образом фп значение ф, вычисляем по формуле (18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
