Главная » Просмотр файлов » 1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0

1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 61

Файл №826921 1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (Бать, Дженеридзе, Кельu) 61 страница1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921) страница 612021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Внесем результаты (12) и (13) в уравнения (2)! в — ЛФ ~ <лЛ-лд с в-"« (1 4) где постоянная интегрирования Са подлежит последующему опре. делению. Решив урзвнение (11) относительно а, найдем яя своводнып колкваиия иялиикпиых систем 391 Подставив в равенство (14) начальные условия 1 О, х аз, а в равенство (16) начальныв условия з О, .Ф=.О, получим уран. пения 1 д а, — з1п С„О = соз С„ Р Ч у, гр Е З,~ ГТ+Х~ зовав зти значения Сз и Сз, запишем искомое приближение в виде -ла х= соз М. Г'1+Ж-еа-чз (16) где Дх, х)-нелинейная функция от х и .Ф, а р-малый параметр.

При и=О уравнение (9е) вырождается в линейное дифференциальное уравнение свободных колебаний 9+Азх=О, решение которого имеет вид х=ащпф, где а=сопзс, ф Ас+сз, а сопя), н, следовательно, .Ф аА соз ф Метод эквивалентной линеарнаапии основан на предположении, что нелинейность в уравнении (9*) мала н колебания близки к гармоническим, Поэтому ищем х и х для уравнения (9е) в виде х=аз)пф .к=аозсоззр, (1О ) где (1!е) Здесь а = а(1) н ю = ю [а(1)) — медленно меняющиеся функции времени, а а — пбстоянная, причем а, ю, ф и сз подлежат после. дующему определению. Можно показать, что с точностью до членов, содержащих малый параметр р в первой степени включительно, колебания, описываемые ') Ниже зта задаче решева методом зквизалезткой лзиеаризация (задача 20.6) и празедеиа срзззительиая оценка различиыд способов решеиия, ") Н.

М. Крылов я Н. Н. Боголюбов, Введение в неланейиую механику, Нзд-во АН УССР, Киев, 1937. "') Н. Н. Б о г о л ю б о в, Ю. А. М и т р о п о л ь с к и й, Асямвтотические методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, 1958. 13 Из равенства (16) следует, что при г-з-оо получаем х-з-О, т.

е. движение затухает* ). 4'. Метод зквивалентной линеаризации (метод Крылова и Боголюбова) е*). На основе работ Н. М. Кры- лова и Н. Н. Боголюбова создан ряд приближенных методов инте- грирования дифференциальных уравнений нелинейных колебаний чье). Здесь приводится метод эквивалентной линеаризации. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение 3+Бах=рД(х, Е), нвлинвнныв коливания 1гл. ти нелинейным дифференциальным уравнением (Оь), эквивалентны коле- баниям, описываемым линейным дифференциальным уравнением (12ь) .9+ 2иХ+ азх О, где и= — ~-" — Д(аз1пф, аюсозф)созфФ~, аз=Аз-~~ у(аз1пф аюсозф)з1пфЫф (13ь) (14 ) Заметим, что и и ю являются функциями от а.

Как известно (см. п. 3' 5 4 гл. ЧШ второго тома этой книги) линейное дифференциальное уравнение (12ь) описмвает свободные колебания прн наличии силы сопротввления, пропорциональной ско. рости. Зто решение имеет вид х аз)пф, где а Се '", ф = )~юз - из(+а. Так как и (см. 13ь) является величиной порядка малости и, то с принято» степенью точности вацишем фж га1+гз в, следовательно, ф=ю. (16ь) Учтя, что а Се "', получим а = — «Се "г, т. е.

а = — иа. (16ь) Таким образом, задача об интегрировании данного нелинейного дифференциального уравнения (9ь) второго порядка сводится к интегрированию системы двух дифференциальных уравнений (16ч) н (16ь) первого порядка. В заключение заметим, что с точностью до членов, содержащих малый параметр )з в первой степени включительно, результаты, полу. чениые данным методом, эквивалентны результатам, найденным методом медленно меняющихся амплитуд (см. предыдущий п, 3' этого параграфа).

При интегрировании дифференциальных уравнений с малой не- линейностью методом эквивалентной линеаризации нет необходимости в составлении линейного уравнения (12~). Рекомендуем следующую последовательность решения задач: 1) составить дифференциальное уравненпе свободных колебаний, представив его в виде у+Мах=РДх, х), где Дх, х) — нелинейная функция от х и х, а р-малый параметр; 2) приняв х=аз1пф Х=аюсозф записать Дх, Х) у(аз1пф авсозф)1 888 своводныи колеваяия нелинеиныт снствм 3) вычислить определенные интегралы у'(ла1пф пасозф)созфоф ) У(аз1пф па созф)з1п1рбф о 4) использовав результаты предыдущего пункта, вычислить п и ез по формулам (13') и (14'). При атом получим н л(а, ы), в гз(а); Ь) внеся значение ы в и, найти н=л(а); 6) полученные в пп.

4) и 6) выражения ы(а) н л(а), подставить в дифференциальные уравнения (16') и (16'); 7) проинтегрировав уравнение (16ч), найти а а(1,.СД 8) внести полученное значение а=а(1, Ст) в уравнение (16"), проинтегрировать его н найти ф =ф(1, Сз, Сз); 9) подставнть результаты, полученные в пп.

7) н 8), в уравнения (10ь) н с помощью начальных условий движения Ф О, х=х„Х Уз найти постоянные интегрирования Ст н С,; 10) внести значения Ст и Сз в а и ф вычисленные в пп. 7) и 8), и определить л а(1) и ф ф(1); 11) найти искомый закон движения, подставив а(1) и ф(1) в первое уравнение (1Оч): х=аз!пф. Всли все силы потенциальны, а связи стационарны, то происяодят незатухающие колебания с постоянной амплитудой а.

Прн ятом Иа/И=О. Использовав (16") н (13ч), получим ).г(аз1пфаасозф)созфпф *О. о Это-условие наличия установившегося режима колебаний. Задача 26.6, Решить задачу 20.2 методом зквивалентной лииеариззции. Решение. Определение закона движения физического маятника было выполнено дважды: методом з1алого параметра в задаче 20,2 и методом медленно меняющикся амплитуд в задаче 20.3. (При ссылках на решение аадачи 20.3 номера формул будем заключать в квадратные скобки.) Воспользовавшись формулами (1) н 12), решим дифференциальное уравнение ф+за з где (2) методом вквнвалентной линеарнаация. Сопоставив уравнение (1) н уравнение (Оз), приведенное в обаоре теории, находим г(т ф) , з (3) нвлннвиныв колевлнии !гл. хи Будем искать ф-решение уравнения (1) и его первую про.

взводную ф по времени в виде ф аз1пф, ф= лысова (4) где а. а(г), !р ф(1) и та=го!а(г)1 подлежат последующему определению. Подставив в (3) выражении (4), запишем 7(азшф, аы сбзф)=азз!п~ф (б) Вычислим определенные интегралы за ) г"(аз1пфаы созф) созфЩ о зи ~ у (а 21п ф, аю соз ф) з!п ф й~. а Использовав в подынтегральных выражениях формулу (б), получим зл зи ~,7(аз!пф, аасозф)созфдф=аз ~ 21пафсозфиф=О, (6) з г(аз1пф,аысозф)з!пфг(ф аа 21п файф 4 на~. (7) 8 При вычислении интеграла (6) была сделана подстановка з!пф =л, а в интеграле (7) была использована формула 3 1 1 21п' ф — — — соз 2ф+ — соз 4ф.

8 2 8 Внеся результат (7) в формулу (14'), проведенную в обзоре теории, получим ы =лз- — )ьаа. С точностью до членов, содержа з щив малый параметр 12 в первой степени включительно, найдем З ра2'! — Г 8 й 2'! 1 -й(1 — — — В=й!'! — — — -~. 4 А / ( 8 Й/' Приняв во внимание обозначение (2), получим ( 16)' (8) Внеся результат (6) в формулу (13*), данную в обзоре теории, найдем п О. (й) Теперь на основании метода эквивалентной линеаризации, можно нелинейгюе дифференциальное уравненве (!) заменить системой двух йщ евоводныи колшданнд нвлннинных снстнм 396 дифференциальных уравнений первого порядка (1бь) и (16*), приведенной в обзоре теории, Воспользовавшись формулами (8) и (9), запишем зту систему в виде и О, ф-9~1" 1в) Из уравнения (40) следует, что амплитуда а колебаний постоянна, т.

е. а Сд. (1 2) (10) (11) При атом уравнение (11) примет аид =й~ — ц). Проинтегрировав его, получим ф=й(1 -®1+Си Подставив значения (12) и (19) в первое уравнение (4), найдем искомый закон движения физического маятника ф = Сд а1п ~А (1 — ) 1+ Са~, (14) Уравнения (14) и 110] тождественны. После определения посто- яннык интегрирования Сд и Са получим результат (12) Из сопоставления решения втой вадачи и задачи 20.3 следует, что объем вычислений и степень трудности примерно одинаковы. Задача 29.6.

Решить задачу 20.4 методом зквнвалентной лннеари- зацян. Р е ш е н и е. Воспользуемся дифференциальным уравнением Щ задачи 20.4 (номера формул задачи 20.4 будем заключать в квадратные скобки): 9 ( д໠— 2лд.й лад ° Сопоставив уравнение (1) н уравнение (9"), приведенное в обзоре теории, запишем )дух, .Ф) = — 2лд.Ф вЂ” ла.са, (2) Будем искать решение х уравнения (1) и его первую производную а9 по времени в виде х=аз1пф, Х=аюсоаф, где а=а(г), ф=ф(г) и ад=ад(а(Ф)) подлежат последующему опре делению нвлинвинып колввлння 1гл. хх Подставив (3) в (2Л получим )зг (аз!пф ам сов ф) =* — 2лтагз созф-лзазмз соззф.

(4) Нетрудно видеть, что правые части формул (4) и [3] одинакоиы, Поэтому, минуа вычисление определенных интегралов, воспользуемся результатзмв [6) и [7[: зи р у (и з1п ф ав Соз ф) соз ф г(ф = — 2ялтаа.— — млзизаз> (б) 3 р ),у(аз)пф амсозф)з1пфпф О. (6) Внеся выражении (б) и (6) в формулы (13ч) и (14ь), данные в обзоре теории, найдем л=л -[- — л азль, в=л.

3 (7) В данном случае параметр га оказйлся постоянным. Подставив значении ы и л нв формул (7) в уравнения (16ч) н (1бч), приведенные в обзоре теории, получим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка (" + 8 л и'" ) л 3 (8) (9) Так как уравнения (8) и [8[ одинаковы, то, воспользовавшись результатом интегрирования уравнении [8[, Приведенным в формуле [12[, запишем ; ки л = з1п (М+ Сз). (12) )'С*-Л -'"' Уравнениз (12) и [14[ тождественны.

После определения С( и Сз (см. решение задачи 20~4), получим результат [16) Степень трудности и объем вычислений в решенизк втой задачи и задачи 20.4 примерно одинаковы. г- лп и= (10) )/С1 Л; л.1 где Лз дано формулой [10[, а Сг-постоянная интегрирования. Проинтегрировав уравнение (9), найдем ф=И+Сь (1 1) где Сз — постоянная интегрирования.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,87 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6518
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее