1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Внесем результаты (12) и (13) в уравнения (2)! в — ЛФ ~ <лЛ-лд с в-"« (1 4) где постоянная интегрирования Са подлежит последующему опре. делению. Решив урзвнение (11) относительно а, найдем яя своводнып колкваиия иялиикпиых систем 391 Подставив в равенство (14) начальные условия 1 О, х аз, а в равенство (16) начальныв условия з О, .Ф=.О, получим уран. пения 1 д а, — з1п С„О = соз С„ Р Ч у, гр Е З,~ ГТ+Х~ зовав зти значения Сз и Сз, запишем искомое приближение в виде -ла х= соз М. Г'1+Ж-еа-чз (16) где Дх, х)-нелинейная функция от х и .Ф, а р-малый параметр.
При и=О уравнение (9е) вырождается в линейное дифференциальное уравнение свободных колебаний 9+Азх=О, решение которого имеет вид х=ащпф, где а=сопзс, ф Ас+сз, а сопя), н, следовательно, .Ф аА соз ф Метод эквивалентной линеарнаапии основан на предположении, что нелинейность в уравнении (9*) мала н колебания близки к гармоническим, Поэтому ищем х и х для уравнения (9е) в виде х=аз)пф .к=аозсоззр, (1О ) где (1!е) Здесь а = а(1) н ю = ю [а(1)) — медленно меняющиеся функции времени, а а — пбстоянная, причем а, ю, ф и сз подлежат после. дующему определению. Можно показать, что с точностью до членов, содержащих малый параметр р в первой степени включительно, колебания, описываемые ') Ниже зта задаче решева методом зквизалезткой лзиеаризация (задача 20.6) и празедеиа срзззительиая оценка различиыд способов решеиия, ") Н.
М. Крылов я Н. Н. Боголюбов, Введение в неланейиую механику, Нзд-во АН УССР, Киев, 1937. "') Н. Н. Б о г о л ю б о в, Ю. А. М и т р о п о л ь с к и й, Асямвтотические методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, 1958. 13 Из равенства (16) следует, что при г-з-оо получаем х-з-О, т.
е. движение затухает* ). 4'. Метод зквивалентной линеаризации (метод Крылова и Боголюбова) е*). На основе работ Н. М. Кры- лова и Н. Н. Боголюбова создан ряд приближенных методов инте- грирования дифференциальных уравнений нелинейных колебаний чье). Здесь приводится метод эквивалентной линеаризации. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение 3+Бах=рД(х, Е), нвлинвнныв коливания 1гл. ти нелинейным дифференциальным уравнением (Оь), эквивалентны коле- баниям, описываемым линейным дифференциальным уравнением (12ь) .9+ 2иХ+ азх О, где и= — ~-" — Д(аз1пф, аюсозф)созфФ~, аз=Аз-~~ у(аз1пф аюсозф)з1пфЫф (13ь) (14 ) Заметим, что и и ю являются функциями от а.
Как известно (см. п. 3' 5 4 гл. ЧШ второго тома этой книги) линейное дифференциальное уравнение (12ь) описмвает свободные колебания прн наличии силы сопротввления, пропорциональной ско. рости. Зто решение имеет вид х аз)пф, где а Се '", ф = )~юз - из(+а. Так как и (см. 13ь) является величиной порядка малости и, то с принято» степенью точности вацишем фж га1+гз в, следовательно, ф=ю. (16ь) Учтя, что а Се "', получим а = — «Се "г, т. е.
а = — иа. (16ь) Таким образом, задача об интегрировании данного нелинейного дифференциального уравнения (9ь) второго порядка сводится к интегрированию системы двух дифференциальных уравнений (16ч) н (16ь) первого порядка. В заключение заметим, что с точностью до членов, содержащих малый параметр )з в первой степени включительно, результаты, полу. чениые данным методом, эквивалентны результатам, найденным методом медленно меняющихся амплитуд (см. предыдущий п, 3' этого параграфа).
При интегрировании дифференциальных уравнений с малой не- линейностью методом эквивалентной линеаризации нет необходимости в составлении линейного уравнения (12~). Рекомендуем следующую последовательность решения задач: 1) составить дифференциальное уравненпе свободных колебаний, представив его в виде у+Мах=РДх, х), где Дх, х) — нелинейная функция от х и х, а р-малый параметр; 2) приняв х=аз1пф Х=аюсозф записать Дх, Х) у(аз1пф авсозф)1 888 своводныи колеваяия нелинеиныт снствм 3) вычислить определенные интегралы у'(ла1пф пасозф)созфоф ) У(аз1пф па созф)з1п1рбф о 4) использовав результаты предыдущего пункта, вычислить п и ез по формулам (13') и (14'). При атом получим н л(а, ы), в гз(а); Ь) внеся значение ы в и, найти н=л(а); 6) полученные в пп.
4) и 6) выражения ы(а) н л(а), подставить в дифференциальные уравнения (16') и (16'); 7) проинтегрировав уравнение (16ч), найти а а(1,.СД 8) внести полученное значение а=а(1, Ст) в уравнение (16"), проинтегрировать его н найти ф =ф(1, Сз, Сз); 9) подставнть результаты, полученные в пп.
7) н 8), в уравнения (10ь) н с помощью начальных условий движения Ф О, х=х„Х Уз найти постоянные интегрирования Ст н С,; 10) внести значения Ст и Сз в а и ф вычисленные в пп. 7) и 8), и определить л а(1) и ф ф(1); 11) найти искомый закон движения, подставив а(1) и ф(1) в первое уравнение (1Оч): х=аз!пф. Всли все силы потенциальны, а связи стационарны, то происяодят незатухающие колебания с постоянной амплитудой а.
Прн ятом Иа/И=О. Использовав (16") н (13ч), получим ).г(аз1пфаасозф)созфпф *О. о Это-условие наличия установившегося режима колебаний. Задача 26.6, Решить задачу 20.2 методом зквивалентной лииеариззции. Решение. Определение закона движения физического маятника было выполнено дважды: методом з1алого параметра в задаче 20,2 и методом медленно меняющикся амплитуд в задаче 20.3. (При ссылках на решение аадачи 20.3 номера формул будем заключать в квадратные скобки.) Воспользовавшись формулами (1) н 12), решим дифференциальное уравнение ф+за з где (2) методом вквнвалентной линеарнаация. Сопоставив уравнение (1) н уравнение (Оз), приведенное в обаоре теории, находим г(т ф) , з (3) нвлннвиныв колевлнии !гл. хи Будем искать ф-решение уравнения (1) и его первую про.
взводную ф по времени в виде ф аз1пф, ф= лысова (4) где а. а(г), !р ф(1) и та=го!а(г)1 подлежат последующему определению. Подставив в (3) выражении (4), запишем 7(азшф, аы сбзф)=азз!п~ф (б) Вычислим определенные интегралы за ) г"(аз1пфаы созф) созфЩ о зи ~ у (а 21п ф, аю соз ф) з!п ф й~. а Использовав в подынтегральных выражениях формулу (б), получим зл зи ~,7(аз!пф, аасозф)созфдф=аз ~ 21пафсозфиф=О, (6) з г(аз1пф,аысозф)з!пфг(ф аа 21п файф 4 на~. (7) 8 При вычислении интеграла (6) была сделана подстановка з!пф =л, а в интеграле (7) была использована формула 3 1 1 21п' ф — — — соз 2ф+ — соз 4ф.
8 2 8 Внеся результат (7) в формулу (14'), проведенную в обзоре теории, получим ы =лз- — )ьаа. С точностью до членов, содержа з щив малый параметр 12 в первой степени включительно, найдем З ра2'! — Г 8 й 2'! 1 -й(1 — — — В=й!'! — — — -~. 4 А / ( 8 Й/' Приняв во внимание обозначение (2), получим ( 16)' (8) Внеся результат (6) в формулу (13*), данную в обзоре теории, найдем п О. (й) Теперь на основании метода эквивалентной линеаризации, можно нелинейгюе дифференциальное уравненве (!) заменить системой двух йщ евоводныи колшданнд нвлннинных снстнм 396 дифференциальных уравнений первого порядка (1бь) и (16*), приведенной в обзоре теории, Воспользовавшись формулами (8) и (9), запишем зту систему в виде и О, ф-9~1" 1в) Из уравнения (40) следует, что амплитуда а колебаний постоянна, т.
е. а Сд. (1 2) (10) (11) При атом уравнение (11) примет аид =й~ — ц). Проинтегрировав его, получим ф=й(1 -®1+Си Подставив значения (12) и (19) в первое уравнение (4), найдем искомый закон движения физического маятника ф = Сд а1п ~А (1 — ) 1+ Са~, (14) Уравнения (14) и 110] тождественны. После определения посто- яннык интегрирования Сд и Са получим результат (12) Из сопоставления решения втой вадачи и задачи 20.3 следует, что объем вычислений и степень трудности примерно одинаковы. Задача 29.6.
Решить задачу 20.4 методом зквнвалентной лннеари- зацян. Р е ш е н и е. Воспользуемся дифференциальным уравнением Щ задачи 20.4 (номера формул задачи 20.4 будем заключать в квадратные скобки): 9 ( д໠— 2лд.й лад ° Сопоставив уравнение (1) н уравнение (9"), приведенное в обзоре теории, запишем )дух, .Ф) = — 2лд.Ф вЂ” ла.са, (2) Будем искать решение х уравнения (1) и его первую производную а9 по времени в виде х=аз1пф, Х=аюсоаф, где а=а(г), ф=ф(г) и ад=ад(а(Ф)) подлежат последующему опре делению нвлинвинып колввлння 1гл. хх Подставив (3) в (2Л получим )зг (аз!пф ам сов ф) =* — 2лтагз созф-лзазмз соззф.
(4) Нетрудно видеть, что правые части формул (4) и [3] одинакоиы, Поэтому, минуа вычисление определенных интегралов, воспользуемся результатзмв [6) и [7[: зи р у (и з1п ф ав Соз ф) соз ф г(ф = — 2ялтаа.— — млзизаз> (б) 3 р ),у(аз)пф амсозф)з1пфпф О. (6) Внеся выражении (б) и (6) в формулы (13ч) и (14ь), данные в обзоре теории, найдем л=л -[- — л азль, в=л.
3 (7) В данном случае параметр га оказйлся постоянным. Подставив значении ы и л нв формул (7) в уравнения (16ч) н (1бч), приведенные в обзоре теории, получим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка (" + 8 л и'" ) л 3 (8) (9) Так как уравнения (8) и [8[ одинаковы, то, воспользовавшись результатом интегрирования уравнении [8[, Приведенным в формуле [12[, запишем ; ки л = з1п (М+ Сз). (12) )'С*-Л -'"' Уравнениз (12) и [14[ тождественны.
После определения С( и Сз (см. решение задачи 20~4), получим результат [16) Степень трудности и объем вычислений в решенизк втой задачи и задачи 20.4 примерно одинаковы. г- лп и= (10) )/С1 Л; л.1 где Лз дано формулой [10[, а Сг-постоянная интегрирования. Проинтегрировав уравнение (9), найдем ф=И+Сь (1 1) где Сз — постоянная интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
