1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Р е ш е н н е, Диффереошиальное уравнение движения тела тх+ сх = роб (1). Задача 19.10, Груз массы т подвешен к концу пружины жесткости с. В начальный момент грув находится в положении статического равновесия и его скорость равна нулю. Определить движение з(0 груза под депствием силы Я (О,ступеног -== чаво возрастаюшей с каждым размахом с„-, , '(рис. а). Р е ш е н и е.
Дифференциальное а~, ---- —, уравнение движения груза 1 о тх+сх= Я(1) (1) 363 переходныв процессы Э э1 Переходя к иэображениям по Лапласу н учитывая, что система удовлетворяет нулевым начальнмм условиям, находим тр Х(р3+сХ(р)=Рэ 1. Из этого уравнения имеем рч Х(р) = (ра+лэ), (3) где обозначено с/т йа.
Возвращаясь от изображения к оригиналу, получим закон движения х (1) ='з1п йт. (4) Задача 19.12. Решить предыдушую задачу, если к телу дополнительно приложена сила вязкого сопротивления, пропорциональная скорости точки: )т =. -ах, и коэффициент а удовлетворяет равенству а = 2тй. Решение, )1ифференциальное уравнение движения тела имеет вид тх = — сх — сгх+ Раб (г) (1) нли х + 2пх + Азх = — о В (Г), я ро (2) (б) точки будут тхет — сьу, ~ ту — сэх. ) где обозначено с/т=йа, а(т 2п, Переходя к изображениям, запишем уравнение (2) в форме раХ(р)+ 2прХ(у)+ пЯХ(у) (3) Иа уравнения (3) находим (п=й) рч (Р) е р'+2лр+аэ а ф+л)~ ' (4) Возврашаясь от иэображений к оригиналам, получим уравнение движения тела х (Г), ч .
(а-лФ Задача 19,19. На точку массы т, которая может перемешаться в плоскости ху, действуют две силы: одна притягивает точку к оси х, и величина ее пропорциональна расстоянию до оси у, вторая при.- тягивает точку к оси у, и она пропорциональна расстоянию до оси х. В начальный момент координаты точки хэ *а, уэ Ь, а скорость равна нулю. Определить движение точки. Р е ш е н и е 11нфференцнальныв уравнения движения материальной 366 пи входные пвописсы н преоввлзовйннн лапласа (гл.
х~х Обозначая с,/ги=й( и с,/е=йй вапишем систему уравнений в виде л+йау О, ( у+й)к=О. ~ (2) Переходим от оригиналов к изображениям: Х(р)-:л(1), 3'(Е) —:у(1). Тогда уравнения (2) преобразуются так: р'Х(р) — ра+й7? (р) О, ( ра ?'(р) — рЬ+ йЬХ(р) = О. ) (4) Или раХ(р)+й('г(р)=ра, ( щх(р)+р у(р)=рь.( (6) Решая эту систему алгебраических уравнении, находим р (р~а — Ьй)) р4 — й,'й1 (6) Аналогично имеем , (р) Р ОРЬ вЂ” ай1) р4 — й)й) (7) Разложим Х(р) и ?'(р) на простые дроби айя+Ьйь р айа Ьйь р 2йя Ра+й|йа 2йя Р' — й1йа ' ай|+ Ьй р айа — Ьй, р 2й1 ря+й,йа 2й1 ря — й й (в) (9) л ® = " сов ~/ й,й,(-(- 2 ' сй У й,й,(, у(Ь)= '+ "' соа)~й,йат+ ' „' сЬ |~йЩ. ь 1 (16) (11) Задача 19,14. Два одинаковых маятника длины а и массы ла каждыв соединены на уровне Ь упругой пружинои жесткости с, прикрепленной концами к стержням маятников.
Определить малые колебания системы в плоскости равновесного положения маятников, если начальные отклонения и начальные угловые скорости маятников соответственно равны: ф1а, фяа, юта, ая,. Массами стержней маятников н массой пружины пренебречь, Переходя от изображении к оригиналам, находим искомые уравне- ния движения точки 361 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Р е ш е н н е. Рассматриваемая система является консервативной. Поэтому для составления дифференциальных уравнении движения системы воспольауемся уравнениями Лагранжа в обобшенных координатах в виде дЕ, дб — — — — =0 Дг дЬ ач, (1 = 1, 2, ..., з), (1) и потенциальную энергию (углы йрт и щ, по предположению, малы) П еаа (рй + й) + сЬй (йй тй)й (з) 2 ! й 2 Подставляя значения (2) и (3) з уравнения Лагранжа, получим еда+ сЬй сай ф1+ е(ай+ай) Р1 е(рй+ай) Рй (41 ~да+ сьй сьй ф,+ ~,~,, р,—, р,=О.
Обозначая для краткости ела+ сЬй сьй е(рй-(-ай) ' е(р'+ай) перепишем уравнения (4) в виде ф1+Ьйр, — л р,=О, 1 (Ьй+ Жрй — лййр1 6. / Найдем решение системы при ааданных начальных данных с помошью преобразования Лапласа. Переходя к изображениям, запишем уравнения (б) в виде р'Ф1(р) -р р — а+ Ь'Ф1(р) -л'Фа(р) -6, ~ рйФа(р)-рсре-ее+ЙйФа(р)-ийФт(р) О ) (6) (б) или (р'+йй)Ф Ой)- йФй(р) рЬ+ -лйФ1(р)+(рй+Ай)Фа(р) р~рю+ею. / где 1, = Т вЂ” П вЂ” лагранжевафункция, или кинетический потенциал, равная разности кинетической и потенциальной энергий системы.
Обозначая радиус инерции каж- К задаче 19,14. дого маятника относительно центральной оси перпендикулярной плоскости качаний через р, найдем кинетическую энергию Т лй(рй+ай) Чй+Ч' 2 (2) 868 пераходныи пэописсы и пэновэлзовлнив ллпллсл (гл. хгл Отсюда находим Ф ( ) (РФ«о+и«а) (Ра+Ла)+па (Р +«оао) т (р)— (ра+Ла)а ла (8) (Р ы+е )(Ра»-Ла)+ла(РФ„+е ) а (Р) (ра+Ла)а — л' Раскладываем Фа(р) и Ф,(р) на простые дроби Ф Аар+В«С,Р+Ра а (Р) = ра.(.
Ла — ла + ра» Ло 1 ла (9) А,р+В, С,Р+В, а(р) ра+Ла — на+ ро+Ла+па' Для нахождения коэффициентов А„Вэ См Вм Аь В„Сз, 1)а приравниваем правые части соответственных уравнений (8) и (9), Определив коэффициенты, записываем изображенкя — + 1 ра» Ла 1 ра+л', ' + кзо+ыао 2 Ф ( ) Фао+ЧЪо Р Р» а( Р ра+ и', Р + «о«о — оаао 2 Фы — Фаа 2 Ф (Р)= Фао+Фаа а (19) нао+ оооо 2 ра+Ла Р Ф«о Чао Ра+ л) гл.е для краткости обозначены ад лз Р«йа+ 2оаа Ра+аа " ра(р' +за) (11) Возвращаясь от изображений к оригиналзм, находим уравнения дви- жения маятников р, (г) Ф' Ф СОЗ й,(»- з(п Го,(»- а + Фао — Фы 2 «ра(г) =..Й'+™ — сов л г+ о'аа+маа з(ига г а — — соз лаг— Фао — эы 2 сов н«2+ "' ыао з1пл г', ла ~«о „оьа з(п пай (12) « Согласно этим уравнениям колеблются упруго связанные маятники.
Интересно отметить, что при нулевых начальных координатах в нуль обращаются нечетные слагаемые в правых частях уравнений (12). При нулевых начальных скоростях з нуль обращаются четные слагаемые правых частей в (12). 869 пегвходныв пяойзссы Задача 19.16. На рисунке показана колебательнзя система с двумя степенямн свободы. На первый груз действует возмущающая сила Р=4з!п/(кГ). Заданы массы грузов: тт 4 кГ м 'сек' и т,=1 к м 'сек' и жесткости пружин: сь=20 кГ/см, ся=*2 кГ/см, с=4 кр/см. К задаче !9.15. Найти движение системы прн следующих начальных условиях: хгь — 1см, еы О, хы О, еяа — — 4 см/сеа Р е ш е н и е. Составляем уравнения движения системы тту, = — с,х, — с (х, — х,) + р, т,ля = — с (х, — хт) — сяхе Подставляя числовые даннме, записываем уравнения после преобразований в виде Уд+ Охт — ха= з!из, ) (2) Уя+ бхя — 4хт = О.
Преобразуя зтн уравнения по Лапласу с учетом начальных условий, получим уравнения в изображениях РЯХд (Р) — Р+ 6Х, (Р) — Хь (Р) =* —, рЯХя (р) — 1 + ОХя (р) — 4Хт (р) = О илн (ра+6) Х,(р)-ХУ(р)= '+'+", — 4Хт(р)+(рз+6) Хя(р) = 1. Определитель системы равен ~ рз+6 Л= = (рз+ 6)Я вЂ” 4 =* (рз+ 8) (рз + 4). — 4 ра+6 ! (4) (б) Числители в формулах для неизвестных Хт(р) н Х,(р) равны 1+~~+Ф !+Ф 1 Ьт= !+р рз+6 1+~+Ф (6) (да+6)(!+ ь)+4(!+р+ра) 1+ да !+р' 1 370 переходные проциссы н пРеОБРАЭОВАние лАплАсА 1Рл. хпт Следовательно, хд(р) — ь Ьд Ф Ь, (Р +6) 1+р)+4(1+р+р) Х (р) д Овв+8) у+4) О +1) )далее раскладываем Хд(р) н Хв(р) на простые дроби Адр+81 ~,р+Пд + Е,Р+р д(Р) рв -1-8 + рв -1-4 ~ ~-1 Х ( ) Авр+нв + Свя+11в + Лвр+Рв рв+6 р +4 р +1 (8) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в выраже- ниях (7) и (8), получаем системы уравнений: Ад+ Сд+ Ед — — 1, в,+0+р о, бАд+ 9Сд+ 12Ед = 7, 6Вд+ 90д+ 12Рд = 2, 4Ад -(- 8Сд+ 32Ед — — 6, 4Вд+ 80д+ 32Рд = 7, репдая вти системы, получаем 1 12 ' ! 0в =— 6' 1 А,=— 2 У Ав — 1, 9 в,=— 14 ' 9 в 26 ' Ев=о, Е =О, (10) б и†21 ' 1 С 2 в Следовательно.' 1 1 б Р+ + 2 12 + 21 Рв+4 Р +1 ' 1 4 Р+ 6 21 + — +— р+4 р+1' (11) 1 9 Р 2 26 х, (р) —— + 9 Р+— 14 Хв(р) р +6 Ад+С, + Ев= О, Вв+0в+Р =1, бАв+ 9СЗ+ 12Ев = 4, бВ,+90,+ 12Рв=7, 4Ав+ 8СЗ+ 32ЕЗ вЂ” — 4, 4Вв+ 80я+ 32Рв = 10.
871 пвгнходные пгоцнссы С помощью таблицы ваображеннй находим искомые орвгиналы ,Фх(Ф) -2-(сов2)/2! — — а!п2)/2!)+ И )гй + — созе+ — а!и 2г + — з!пг, 1/ ха (г) ~соа 2 У2 $!и 2 )~ 2Ф) + 28 'г' 2 + (соа 2Г+ — - з!п 2С~+,— а!ад 1 1 4 12 / 21 () Первые скобки в х,(г) н ха(!)-слагаемые, соответствуюшне первой форме свободных колебаний, вторые скобки отвечают второй форме свободных колебаний, последние слагаемые- вто вынужденные коле- банна, имеющие частоту вовмущающей силы. ГЛАВА ХХ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Б 1.
Примеры нелинейных систем В главе Ч111 второго тома, а также в предмдущей главе были рассмотрены колебания материальной точки и материальной системы, которые описывались линейными дифференциальными уравнениями. Так, при колебаниях материальной точки сила упругости (г"= — гг) и сила сопротивления движению Я вЂ” рв) изменялись по линейному закону, Во многих механическик системах движение описывается нелинейнымн дифференциальными уравнениями. Значительному количеству электромеханических и электрических систем также соответствуют нелинейные уравненик Появление в уравнениях нелинейных членов обусловлено, например, наличием силы упругости или силм сопротивления движению, либо тока, изменяющихся по нелинейному закону. Линеаризация подобных дифференциальных уравнений движения, т, ц замена точных нелинейных приблнженнмми линейными уравнениями, влияет не только на количественные результаты, но существенно искажает качественную сторону рассматриваеьгых явлений, присущих только нелинейным системам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
