1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 59
Текст из файла (страница 59)
ад Значения (17) одновременно являются начальными условиями движения груза на третьем этапе под действием левой пружины из крайнего левого положения в нулевое. Последующее решение задачи нецелесообразно, ибо движению на третьем этапе соответствуе~ дифференциальное уравнение (10) и уравнение движения (13), а движение груза на четвертом этапе из нулевого положения в крайнее правое описывается дифференциальным уравнением (1). Искомый период Т свободных колебаний груза равен 2(т,+т,). Использовав формулы (7) и (!6), получим и ад+ад А„а, (18) где /1д=3/сд/лд, я,=3/еа/лд.
Нак следует из формулы (18), период рассматриваемых нелинейных колебаний не зависит от начальных условий движения, т. е, колебания изохропны. 2'. Метод малого параметра. Нелинейная материальная система называется автономной, если ее движение описывается дифференциальным уравнением, явно не зависящим от времени. Например: у+/гах =)ду (х, х), где )д — некоторый параметр, стоящий коэффициентом при нелинейной непрерывной дифференцируемой функции у(х, Х). Ниже разыскивается периодическое решение уравнения (1а) в предположении, что параметр р мал, а функция у' зависит только от координаты х, мелдодом разложения з ряд ло степеням малого параметра р.
Этот метод, изложенный в трудах А. Пуанкаре, получил свое дальнейшее развитие в работах А. А. Андронова, Ф э1 своводныв колявания нклннвпных систем 379 А. А, Витта" ), Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Метропольского «*). Запишем искомое периодическое решение в виде ..к = ж«+р.кэ+)«*ля+... э (2') где ж«, .км жэ-неизвестные периодические функции круговой частоты р и частот, кратных р, подлежащих последующему определению. Одновременно разложим р' — квадрат искомой круговой частоты †так по степеням малого параметра р: р' = А'+ агр+ оэрэ+..., (3) где сг„аэ-постоянные ковффнциенты, определяемые в ходе интег. рирования уравнения (1«). Значения гэг, аэ выбираются такими, чтобы решение (2«) было периодическим, т.
е. чтобы в нем отсутствовали так назывэемме «резонансные» ялн «векозые» члены, неограниченно возрастающие с течением времени, Лля пояснения допустим, что в ходе решения задачи следует интегрировать дифференциальное уравненне У«+р .т! = М! 8!и рг+ А1, $1ц Зрс+ „., ) А. А. Андронов, А. А. Витт к С Э. Хайкин, Теория калевэянй, Фяюмтгяэ, 1969. "') Н. М. Крылов я Н.
Н. Боголюбов, Введение в наливай. вую меха!шку, Иэд-эо АН УССР, Киев, 1937. причем коэффициент М! аависит от аь Среди частных решений этого уравнения имеется неограниченно возрастающее «реэонансное» решение — ссоэрс, Лля того чтобы искомый закон движения был М! 2д периодическим, надо считать М! равным нулю. Иэ уравнения Мг=б определяется искомый козффициент а,. Решать задачи указанным методом на определе* ние закона свободных нелинейных колебаний ре. комендуется в следующем порядке 1) составить дифференциальное уравнение движения (1«), представив его в виде У+Аз» вЂ” р ,г (т) О; 2) с помощью формул (2«) н (3«) вапнсать искомый закон движения ж н квадрат неизвестной круговой частоты р в разложении по степеням малого параметра р! 3) использовав выражение (2*), вычислить У и У, 4) подставить значения т, У и У из яп. 2) и 3) в дифференциальное уравнение и.
1). Одновременно коэффнппент А' заменить с помощью формулы (3«), т. е. напцсать Аэ=рэ — ат )» — о«1«э — ... В результате втих подстановок получится дифференцикльное уравнение с членами, содержащими равные степени малого параметра р, а также с членамн, свободнымн от р! 380 нелиняяныи колнвання 1гл хх 5) собрать в дифференциальном уравнении п. 4) члены, содержагдие одинаковые степени малого параметра р, а также члены, свободные от р, т. е. представить уравненяе в виде Ао+рАт+рЯАа+ " 0' 6) пряравнять нулю коэффициенты, стоягдие при разных степенях малого параметра р, а также члены, свободные от р, т. е. А =О, А, =О, А,=О, ... В результате получится система дифференциальных уравнений Уо+Р хо У,+р'х,=Р;(сгм х,), Уя+рахз=Рз(сят, аь хо хь), 7) записать начальные условия движения для дифференциальных уравнений и.
6). Так, если по условию при 1=0 мы имеем х(0)=а, У(0)=0, то на основании выражений У и У п. 3) получим при г'=О х,(0) а, х,(0) О, х,(0) О, ... Уа(0)=0, У (0)=о, Уя(0)=0, ...; 8) испольаовав начальные условия п. 7), проинтегрировать дифференциальное уравнение Уа+рзха=О и найти хр(Ф); 9) внести полученное выражение х (Г) в дифференциальное уравнение Ут+р хт — Р,(ая, х„), которое после простых тригонометрических преобразований в его правой части примет внд У, +р'х, = Ма созрг+Ф, соз Зрт+... Для того чтобы хд с течением времени неограниченно не возрастало, надо считать Мт равным нулю.
Ив уравнения Ма — — 0 определим сг,; 1О) использовав начальные условия движения п. 7), проинтегрировать дифференциальное уравнение Ут+рахь = Фт соз Зр1+... и определить х((ф 11) внести значения х,(Г), а, н хд(т), полученные в пп. 8), 9) и 10), в дифференциальное уравнение Уз+ряха = Ря(ам аь хм хт). Повторив выкладки, аналогичные расчетам пп. 9) и 10), определить ая и ха(Г) и т. д:, 12) определить искомые х(Г) и р' п. 2), внеся в них вычисленные значения ха(Г), гам хт(Г), аа, хз(С) и т. д. своводные колевания нелинейных систем 881 При решении вадач ряды (2ч) и (Зз) обычно обрывают на членах, содержащих р илн рз.
Например: х = х, + Рхз+ )А~хи Р~ = й~+ Рыт+ Р'ха. Задача 20.2. Определить методом малого параметра уравнение и круговую частоту колебаний физического маятника конечной амплитуды, если Р - его вес, 1 в расстояние от его оси подаеса я до нентра тяжести (см. рисунок), 1, — момент инернни маятннкв относительно осн подаеса. В начальный момент маятник был отклонен от вертикали на угол, равный а„ и отпущен бев начальной ско. рости.
Р е ш е н и е. Применим дифференциальное уравнение врашения твердого тела вокруг неподвижной оси г и )зф — ~л~~ Лгз (з за). 1 з! 1 Внешними силамн являются Р-сяла тяжести, д задаче йод зс„зсз-составляюпгне реакнни осн д Сумма моментов внешних сил равна ~лзз(РА)= — Р1я!пф. Поэтому дифференниальное уравнение примет вид ),ф = -РГз!и ф, т.
е. ф+ лз $!п ф = О, (1) где обозначено ла=Р11! уравнение (1) является нелинейным. Разложим а!п ф в степенной ряд Я!и 1Р=ф- — + — —... Фа Ч" 31 Ш (2) В случае малых колебаний, т. е. прн а!пф зь ф, уравнение (1) оказывается линейнызс ф + лзф = О. При ваданных начальных условиях г' О, ф=а„ ф= О, его решение имеет вид ф лз соа йд (з) А(ля определения икона колебаний конечной амплитуды, сохраним в ряде (2) лва первых члена, т. е. воаьмем а!пф = ф — †, При этом б' уравнение (1) примет вид ф+жр-рфз=О, (4) где малый параметр р имеет аначенне аз Р-8- (б) мвлннвннык колквьння 1гл. хн ф(1) =ф (т)+рф (1) но = «ро(0)+ р«рг(0) 0 = фа (0)+)«ф«(0). напишем Приравняв в каждом иа втих уравнений слева н справа члены, свободные от р, а также слагаемые, содержащие р, получим начальные условия для функций «ра(М) и «р«(г): при г=О нмеем «ра(0)= ам «р,(0)=0, фр(0)=0, фт(0)=0, (10) Переходим к интегрированию дифференциального уравнения (8). Как известно, его общее решение имеет внд «ра(г) СтсоаР1+С,з1прг, а производная по времени равна ф, = -Стра1пр1+С«Репам.
Внеся в эти уравнения начальные условия (10) г=О, «ра=а„ф=О, найдем Сд — — ач, Са=О. Следовательно, «Ро (1) - аа соа Рг. (11) Для определенна никона колебаний маятника применим метод малого параметра, Будем вести расчеты с точностью до членов, содержащих р в первой степени включительно.
Повтому искомый угол отклонения «р и квадрат неиввестной круговой частоты ра вапишем в виде «р(1)-«р (1)+рфа(1) (6) Ра = Ая + р«а (7) где «р, (Ф), «рь(Ф) и постоянная ад подлежат последующему определению. Испольаовав (6) и (7), внесем в уравнение (4) ф=фа+рфд н ла Ра-Раь Найдем Ф, +)«ф, + (Р' — ра«) («р, + р«р«) - р (щ, + р«р«)а = О. С точностью до членов, содержащих малый параметр р в первой степени включительно, это уравнение примет вид Ф««+Р~«ра+ 1«%+ Р~«р«с«««ра «р«) О. Приравняв нулю члены уравнения, свободные от р, а также коаф. фиииент, стоящий в скобке прн )«, вапишем фа+ Р' Ра = О.
(8) «Рт+Ра«ад ат«Ра+ «Р1. (О) Испольаовав ваданные начальные условия г* О, «р=а ф=О в уравнениях Ч(1)=В(1)+рЧ (1) 4Я своводныв коливанни нвлинвнныя систем аВЗ Это -первое приближение, в котором круговая частота р пока нв определена. Для интегрирования дифференциального уравнении (9) внесем в его правую часть результат (11) к используем формулу соззрс* — созрс+-соззрс. Получим 3 1 4 4 Фз+р~фт аз~ссь+ 4 аа)созрС+ 4 азсоззрС 3 1 1 (12) Частное решение этого уравнения, соответствующее первому слагаемому правой части, неограниченно возрастает (напомним, что дифференциальному уравнению Х+рзх Ьсоарг соответствует частное Ь решение х = — гз1пр1). Так как искомый закон движения является 2р периодическим, то коэффициент, стоящий в уравнении (12) прн созрг, должен быть Равен нУлю, т.
е, ггя+ — аз= О, откУда 3 3 аз-— — — аз. 4 (13) Теперь уравнение (12) примет вид ф,+рзф, =-4 сов Зр$, 1 4 (14) Его общее решение фа равно сумме фт ф1' + <И (16) где ф'-частное решение уравнения (14), а ф)о-общее решение соответствУющего одноРодного УРавненив фд+Рзфт О, В дании случае Я' Расово+ Рзз1пр$, ф1м= Асов Зф. Подставив ф" и ф1" ОАрзсоззр1 в уравнение (14), найдем А= 4/32рз, Теперь общее решение (16) запишется в виде аз ф =Рзсозре+Рзз1прт — — а-соззрд 32рз (16) Подставим в функцию (16) и в ее производную по времени фа ч Рзрз1прт+Рзрсозр(+-~ — з1пзрс за1 2р начальныв условия движения (10) Е О, ф,(0) =О, ф,(0) О, иай» дем Рз аз(32рз, Рз О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
