1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(22ь) а прн нулевых начальных условиях, когда ~(0) г'(0)*=0, У" (()+.р'Р(р). (23 в) Иэображение интеграла. Теорема об изображения ннтеграла имеет вид 846 пеРеходные пРоцессы и пРВОВРАВОВАнне лАпласА игл. хте у(г)=~Л(т)Л(С-т) й (28*) Очевидно, что в этой формуле функции,ут н уя можно поменять местами- результат от этого не ияменится.
Операция получения складки наяывается свертыванием функций, откуда н происходит название теоремы. Теорема формулируется так: если г $Л(т)Л(Š— ИЕ+.Р (р) Р (р) о (29 ь) т. е. изображением свертки двух функций является произведение изображений этих функций, Эту теорему называют также теоремой об умножении изображений. Теорема свертывания позволяет выразить реакцию системы на сложное воздействие через ее реакцию на более простое воздействие, что часто представляет определенные выгоды.
Основные свойства преобразовання Лапласа, рассмотренные в этом параграфе, сведены в табл. 3. 3'. Нахождение оригиналов для дробно-рациональных нйображений. При применении преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами встречаются изображення в виде дробно-рациональной функции, т. ц отношения двух полиномов: Р(Р) Р +я '+" + Я(Р) Ьпэ+ЬУ'~+..:(-Ь„' (80") причем алгебраическая дробь (30) правильная, т. е.
л > лг. Необхо~ дино поэтому уметь находить оригиналы для изображений вада (30ч). Этот вопрос и будет рассмотрев в иастояшем параграфе. т. е. изображение производной оригинала по параметру равно производной изображения оригинала по тому же параметру. Эта теорема вытекает из теоремы Лейбница о дифференцировании определенного интеграла по параметру н требует выполнения некоторых условий, при которых справедлива формула Лейбница. Лля тех функций, с которыми здесь придется сталкиваться, вти условия всегда выполняются. Теорема свертывания (теорема Бореля) Сверткой или складкой двух функций га(г) и га(С) навывается функцяя 347 Табяипа 3 ,лв е-в , Е (р) е-лв( (в) Теорема смепмиия Р (р+а) 7' И) рР (р) — ((0) ~~а~()) д((т, св) др(р, к) да Ув (т) ув (т — в) дт Гв (Р) ' рв (Р) 10 ПряопрдяппаНИП ядПЛдо)в 3 Измеиеяяе масивтаба Теорема запаздывания ) (в — т) а, (в -т) Изображепие произ- водной Изображение высших производных Ли4в)ерепппрование по параметру Теорема свертывания рад(р) — р" в((0) —...
р/~л-в'(О) ул-в'(О) 43 пшвходныя пгоциссы н пгиоиэлзовании лапласа 1гл. х~х Для решения поставленной задачи в обшем случае применяется известный ив курса математики прием-разложение правильной алгебраической дроби на простейшие. Прн этом можно рспольэовать как ил~~янтарные методы разложения, так и излагаемую в руководствах по преобразованию Лапласа теорему разложения Хеэисайдк И в том, и а другом случае необходимо знать корни знаменатели дроби, т, е, значения рь для которых Я(р,)=0. В простейших случаях этн корни известны или легко находятся подбором, в более сложных приходится определять их приближенными способамя. Поскольку это всегда можно сделать, будем считать корни знаменателя известными. Они могут быть простыми и кратными, вегцественными и комплексными.
Коэффнпненты Ь, полинома О(р) будем считать вещественными, тогда комплексные корни будут попарно сопряженными. В зависимости от корней знаменателя в разложении дроби (30ч) могут встретиться простейшие дроби четырех типов: А А ) р — а' 2)О— =) ' Ар+В, .
Ад+В 3) .ь+''а 4(о' 4> т +р' где А, В, Ь, с-вещестаенные постоянные, а Ь вЂ” натуральное число. Типы 1) и 2) соответствуют вещественным корням знаменателя, причем величина а=рь где р~ — корни О(р), а типы 3) и 4) соответствуют комплексным корням знаменателя (в частном случае чисто мнимых корней Ь= О).
Оригиналы для дробей тнпоз 1) и 2) имеются в строках 4 и б табл. 1 (постоянный множитель может быть приписан в обеих частях согласно свойству 1 табл. 3). В случае нулевого корня (а О) следует использовать строки 1, 2 и 3 табл. 1. Оригиналы для простейших дробей типа 3) имеются в строках 1О и 11 таба 1. При построении этих оригиналов приходится использовать также первое свойство преобразования Лапласа. Для приведения дроби к табличному виду нужно выделить в знаменателе полный квадрат.
При чисто мнимых корнях используются строки б и 7. ф 2. Переходные процессы Как уже говорилось, метод преобразования Лапласа позволяет свести задачу интегрирования линейных дифференциальных уравнений к алгебраическим операциям. Преимущество этого метода перед классическим заключается, с одной стороны, в автоматическом учете начальных условий, с другой стороны, в существенном упрощении процесса решения уравнений, в правой части которых стоят функции, имеющие различные аналитические выражения на различных отрезках изменения аргумента, или неэлементарные функции, например функция Дирака. Кроме того, рассматриваемый метод позволяет находить пзгехьднын пвоциссы 5 яг независимо друг от друга установившееся движение и переходный процесс. Рассмотрим колебательную систему с одной степенью свободы, приведенное дифференциальное уравнение движения .которой имеет вид У+2ай+йох= Ь(С).
Начальные условия аапишем в обшем виде х (О) хо, х (О) = Хо. (3 2 о) Введя обозначения Х(р) +х(1) и Н(р)+й(г) (ЗЗ*) и воспользовавшись теоремой об изображении производных, получим х о:- ро Х (р)- рхо- й~, ай+ 2н]рХ(р)-х ], йох+- йоХ (р). 'Тогда согласно (31о), изображаюшее уравнение будет (р'+2нр+ЯХ(р) — (р+2н)х,— Яо=Н(р), (Зйо) Отсюда находим иаображенне искомой функции Х(р) Ео 2 Зо~,Н(р)+(р+ 2Л) Хо+.Фо] (Збо) Уравнение (Збо) можно коротко записать в виде Х(р) 0(р).
Р(р), (36 ) где 0(р), ~ „Р(р)=Н(р)+(р+2п)х +М„(37 ) Структура уравнения (Збо) является типичной для изображений решений, получаемых с помошью преобразозання Лапласа. Первый сомножитель правой части 0(р) зависит только от параметров системы. Он представляет собой величину, обратную характеристической функцип системы (т. е. левой части характеристического уравнення системы) и называется передалгочной функцией системы. Второй сомножитель при заданных параметрах системы определяется видом воамушаяицего воздействия и начальными условиями.
Понятием передаточной функинн широко пользуются в теории автоматического регулирования, Искомая,функция х (г), определяюшая движение системы, находится нз (Збо) путем обратного преобразованмя. 360 пвавходныв пяоциссы н пивовяаэовлнив лаплас* 1гл. хпа Уравнение (Зба) можно переписать в виде 1, Удс-вс са) .„, „, 'р~удг — „ю'аан р+ л + вял+ Х~ уа:вт т ла (р+ в)а+за — ва )/Ьà — в Ос+в)'+ «а — ла (38а) Применив теорему свертывания (для первого члена) и воспользовавшись таблицей изображений, находим искомый оригинал: с .К(1)= Е-л<С-Юа1П /Х~ — Ва(й-т) ° Ь(т)бт+ 1 +е- с(касоа~ар — ва1+с ' а в1п а/ва-ват) (39*) у Р-аа Обратимся снова к уравнению (36а), к которому приводится линейное дифференциальное уравнение любого порядка с постоянными козффициентами. Предположим, что возмушаюшее воздействие представляет собой единичный импульс, т.
е. й(1) от И) а все начальные условия-нулевые. Тогда, поскольку сГт(1)+ 1, нз (37а) следует г" (р) Н(р), н уравнение (36*) приннмает зид Ха, (р) 00') .тас (1) 6 (с) откуда (40 Э в (Г) = л(т)ДФ-т) с(т = л(а-тЩт) Ыт, (41а) где У(1) + г'(р) - оригинал полного вовмушакицего воадействня на систему. Уравнение (41а), впервые полученное Борелем, позволяет находить реакшпо системы на любое воздействие, зиаа ее реакцию на единичный импульс.
где д(1)ч1-0(р), Таким образом, реакция системы на еииничный импульс при нулевых начальных условиях дается оригиналом передаточной функции системы. Поэтому функцию сг(1) называют реакцией (ответом, откликом) системы на единичный импульс (при нулевых начальных условиях). Если система подвергается произвольному зозмущакицему зоадействяю Ь (Г) прн произвольных начальных условиях .к (О) = ла .сг (О) = та и т. д., то из уравнеииа (36а) на осиованип теоремы свертывания следует с с Зб! пвзвходпыв цзопмссы Решенне задач рекомендуется производить в следующем порядке; 1) составить дифференциальное уравнение движения системы; 2) перейтн к изображающему уравнению, заменив все члены дифференцнального уравнения их изображениями по Лапласу, с учетом начальных условий; 3) решить изображающее уравнение относительно изображения искомой фушщни! 4) использовав таблицу изображений, основные теоремы операционного исчнслекня в методы, рассмотренные в $ 3, перейти от найденного изображения искомой функции к оригиналу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
