1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 56
Текст из файла (страница 56)
/ с ып 1/ (с — твь)ь с — твь Гс т (с — тв')ь 1/ Задача 19.Б. Грув массы т покоился на конце пружины жесткости с. Определить закон движения груза, если точка подвеся пру« жины А начнет двигаться по вертикали согласно Я аакону хл=ае ь'ь(п~г с/тг, где а=сь/2т, сс — коэффициент вязкого сопротивления среды, пропорционального скорости груза, Р е ш е н и е, Выбирая начало неподвижных координатав положении статического равновесия груза и направляя ось х по вертикали вниз, составим дифференциальное уравнение движения груза тУ= — с(х-хл) — сьх, (1) или, учитывая вначеняе хь .2+ —.Е-)- — х= — ае ь'ь1п 1/с/т1, (2) т т т К задаче 19.5. Обозначая для кратностя сс/т =2л, с/т=ль, запишем уравнение (2) в виде Л + 2лс+ /ььх = аьае" ьь а1п /)Г, (з) Переходя от оригинала к нзображениям, получим (ха=О, хь = 0) рьХ(р)+ 2прХ(р)+ аьХ(р) = Отсюда находим изображение ХГ»)- а/ьч ((р+л)ь+аь) ((р+а)ьч-(Ль — аь)) ' (4) (б) Разложим Х(р) на простейшие дроби.
л(ля этого, обозначив для краткости р+п= з, представим дробь в виде 1 Аз+В Сь+ь1 (Б) (ьь+Аь) (ьь+яь — аь) ьь+Ль + ьь+аь-аь' Приводя правую часть к общему аиамеиателю н приравнивая козф- фицненты прн одвнаковых степенях л в левой и правой частях тож- дества (6), получаем А+С=О, В+В=О, А (йв — яа) + Свв = О, В(йа — ма)+ВР =1. Решая полученную систему алгебраических уравнений, находим А=С=О, В* -В* 1 ав ' (8] Тогда, изображение может быть ааписано в виде Возвращаясь от изображений к оригиналам, найдем закон движения грува ргг) еа- ст «а ж(Г) = — ~ — в!и )/ йв — нвс- ~' — а' — йа в1п йс~ „(1 0) К задаче 19.6 Задача 19.6. Материальная точка массы вг движется по оси е под действием силы Р(1), иаображенной на рисунке и направленной вдоль оси .к.
Полагая начальные условия заданными н нулевымш .кр О, Уа — 0 прн 1=0, найти уравнение движения точки. Решение. Найдем изображение функции Р(г) ь(Р(г))= - т(1)мт(в т СО е-рг-Данг+ 1 е-Р'2гча(1 — — 1~И вЂ” ОгЫ /в а (1 2е РтГв.+~ Рт) (1) ято 1 Т рв 360 пнокходные пноцвссы н птвоввлзовлннв лапласа 1гл. ях дифференциальное уравнение движения точки запишется в виде =Р(1). Переходя от оригиналов к иэображениям, получим шроХ(р) = (1 2а-Рт~~ + е-Рт) Т Р (2) (3) откуда Х(р) = — о — (1 — 2е-от!а+о-Рт) тТ Ро Возвращаясь от изображения к оригиналу, находим х(1)= — '~~ао — 2 ~Ф вЂ” — ~ по~1- — ~+(1-у~по(1 — Т)~.
(5) — Ьтт~ ~ 2~ о~ 2~ Таким образом, точка движется согласно уравнениям Ро ео Уп~Т ~<— Т 2' Т -(1(Т, 1) Т. прн го — 2 (» — — ) ~ при го 2~С Т)'+(1 Т)о| при (6) х(г) = Если бы искать решение втой задачи обычным интегрированием дифференциальных уравнений движения, то следовало бы проводить интегрированне на каждом из трех участков, находя начальные условия для второго участка нз конечных значений переменных на периоы участке. Аналогично нужно было бы поступить на стыке второго и третьего участков.
Задача 19.7. Грув массы т, подвешенный к пружине жесткости с начал движение, имея начальное отклонение от положения равновесия равное хо и начальную скорость ео. РФ! Спустя Т сом на груз начала действовать постоянная сила Ро, направленная по осн х. ор ° - ° ру . Решение. Скачок силы может быть 1 записан с помощью единичной функцин Хевисайда К задача 12.7. Р(О=попой Т) Переходя к изображениям, преобразуем уравнение (2) по. Лапласу Р~-от ш (роХ (р) -рхо - оо) + сХ(р) =— Р (3) Тогда дифференциальное уравнение движения груза на пружине можно записать в виде шх+ с» топо (2 — Т).
(2) 961 ПИРИХОДНЫИ ПРОЦИССЫ Решая вто алгебраическое уравнение, находим явображение «( ~Р во (Р) ра 1 аа+ р»„1 да+ ш р(ра [„аа) а (4) где для краткости обозначено с/Гн=йз. Разлагая последнее слагаемое на простейшие дроби, получим «г~) лоР .[ Ро [ ~а 1 рт Ро, Р рт (б) ра+ яа ра+ аа с р с ра+ аа Возвращаясь от изображений к оригиналам, находим искомое уравнение движения грува х(1)=хосозлг'+ а з1плг+ — о[1-созл(1-Т))оа(т — Т).
(6) Таким образом, груз движется согласно уравнснкям х,созна+ ~а з1плт прн Г(Т, (Т) х,соя Гас+ — я»з1плг+ —,о[1 — соз л(8 — Т)1 прн 1:~ Т. х(т)= )с (Г) Р»6 (Г - Т). Дифференциальное уравнение движения грува будет лах+ сх Роб (à — Т). (2) Переходя к изображениям, имеем (см. формулу (14о)) ла [Р»Х(Р)-уха-оа1+сХ(Р) Рас-Рт Гг С помощью преобразования Лапласа решение в этой задаче было получено сразу для всего процесса. Если бы при решении задачи применить классический метод интегрирования дифференциальных уравнений движения, то пришлось бы составлять на каждом интервале времени (т «= Т) и (Г) Т) свое дифференциальное уравнение движения в «сшить» оба решения, приравняв конечные значения координаты и ее проявводной на первом участке начальным аначениям ятях переменных на втором участке. Задача 19.9.
Решить предыдущую задачу, если к грузу в момент Т приложен мгновенный импульс Ро. Решение. Мгновенный импульс может быть записан с помощью функции Дирака 362 пеавходныв процессы н приовяазованнв лапласа 1гл.хгд (4) где обозначено е)лв = лв. Возвращаясь от изображений к оригиналам, находим уравнение движения грува х(Г)=х,совИ+'-ав1пИ+„—,' в1пlг(Ф-Т)ое(à — Т) (б) Таким образом, двия1ение груза определяется уравнениями х(г) = Применение преобразования Лапласа позволило получить решение аадачи в единой аналитической записи. Задача 19.9, Шлюпка (рис.
а) веса Я, поперечное сечение кото. рой можно приближенно считать неизменным по высоте, покоится .на воде в доке. Трос, коэффициент жесткости которого с, прикреплен е) К задаче 199. к шлюп-балке и не растянут. Воду из дока начинают выпускать так, что ее уровень равномерно падает, вследствие чего сила, действующая на шлюпку по вертякали вниз изменяется согласно закону, представленному на рис. б. найти уравнение движения шлюпки, если одно. временно с выпуском воды шлюпке сообщили скорость ов. Решая это алгебраическое уравнение, находим 'рх, гч Г, е р" ( р ) О + Ю + рв+а" рв+ав т ре+аю х, сов И+ — в1п И а х, сов И+ — ' в1п И+ — ' в1п й (г- Т) а яа при г(Т, (6) при 1~Т, зсз ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Решение. С помощью функции Хевисайда можно записать силу Г'(!) следующим образом: Дифференциальное уравнение движении шлюпки на тросе будет Начальные условия: хо — — О, х=о,.
Преобразуем уравнение, заменяя оригиналы изображениями и обозначая с у/Я=Ай: (4) Отсюда Х (Р) в+Зв+ Г ! й( в Зв) Рй(лв+Зв)1 ° (б) Дроби в квадратной скобке можно разложить на простые: Ой Л Г 1 1 Е РВв Е РЕ 1 Х (р) = — + — ~~ — — — — — + — ~, (6) Рв+йй т ай ! Рй рй+ай рв Рй4 Лв~ х (!) = ~ з!п )йт + И- Ь вЂ” †"п а' — (Ф - Г,) по (! — Ы + Ф +""",' ".(-.)~, (у) или х (й) = — з!е И+ — ! ! — — — (С вЂ” Гй) оо (! — Гй) + оо мп ат У сто 1 з + й и, (т — Г)1. (3) Окончательно получаем х(!) = Р (!) = — Гоо (й) — —, (à — Гй) оо (! — зй). с) !) — о — х+ сх = — Йсо (Г) — — (! — Гй) оо (й — йй) а- с) е е г рйХ(р) — и +лйХ(р) = — ! — — — ~! йв / ! е Рот Рй Рв Х(р)(р +ай)=о,+и-( — ' — — '), Возвращаясь от изображений к оригиналам, находим — + — з!и Гвз+ — (з!и Ц1 — тй) — з!пМ) !) с з с!йз при 1(уп при Ф)Еы 864 парвходныв процвссы н пввоврлзовлннв лапласа [гл.
хвх 5л л в о/ или х ( !1вх (ч) Е(0 где введено обозначение с/т=/вв. 1!ерехоля от оригиналов к изображениям по Лапласу, имеем ро р'Л'(р)+ ~'Л'(р) = — ',,-„„) (8) Из (3) находим 1 т р (рв-(-йв)(! — е сл'о) 4 о З/ Л'+р* — р* 1 ! тлв ~( р 0гв~ лв~ / ! — е рсл/о У/0 ! 4 ~- (---"---г ! ' --т---"- 2 1 1 ! Г Г ! ! Ро! 1 р ! ~,*оо ~ (4) Возврашаясь от изобраягении к ори!ипалзм, получаем х(() =-",'(Л(О-А((П, К задаче 19 (О. где графики функция ув(г) и /в(/) даны на рис. 1( а.
Таким образам, для нахождения в любой момент времени «оординаты х, определюощез положение груза, надо от значения ув(/) (рис. б) вычесть величину Дв(/) с (рис. а) и полученную разность умножить на Ро/с. з Задача 19.11. Тело массы т К задаче ! 9. ! !. прикреплено к концу нерастянутой пружины, коэффициент жесткости которой с, Начальная скорость тела равна нулю. Определить движение тела, если на него подействовала сила Е (1) = Роб ((), гле б (Ф)— функция Дирака (единичный импульс).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
