1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Внесем эти значения Рт и Рз в уравнение (16)1 фь аяязз (созрЕ-соз ЗрФ). (17) Для определения искомого закона колебаний ф, а также круго вой частоты р маятника используем результаты (11), (13) и (17) НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ !гл. хх дв в выражениях (6) и (7): гр = а, сов рв+ )А — ", (совр! - соз ЗРГ), р' 32рв 3 = ч — 4 рао.
Использовав значение (6) малого параметра р, окон- чательно найдем второе приближение гр = аз совр(+ — ! — ) аов(совр! — соз Зр!) 192!, р) в ра=ува~( — -6 ао), 1 (19) где а, — начальный угол отклонения маятника от вертикали, а ла = Р7/!в. ,1втг Из выражения (19) найдем р л(1---а4! .Приняв во внимание, 6 что с точностью до членов, содержащих ао включительно, имеем ') 1 '!в/в 1 1 — --аов! 1 — — авь найдем искомую круговую чзстоту р: 6 16 Р = л ~1 — - — ао) ° 1 !6 (20) Как следует из формулы (20), маятник колеблется по закону(18) с крувовой частотой р (20), зависящей от ао — начального отклонения маятника. Значит, колебания пе взохронны, т. е.
зависят от началь- ных условий движения. Напомним, что приближенному линейному диффереецизльному уравнению ф+ лвгр = 0 соответствовзли нзохронные гармонические колебания (3) гр=аосозИ, где круговая частота л=~/РЦ!, не зави- села от начальных условий движения. Таким образом, даже прибли- женное решение нелинейного уравнения, выполненное в этой задаче, дало возможность обнаружить отсутствие изохронности колебаний. Влияние начального углового отклонения ао маятника на круго- вую частоту р пез!!ачнтельно.
Так, при аз=30'=0,62 рад из фор- мулы (20) получим р=0,983/г. В заключение, нспольаоваа результат (20) в уравнении (!8) и прн- 1 1 менив при этом приближенное рзвенство 1 16 1+ — ао пай- 1- — а' !6 в дем искомый закон колебаний маятника в виде гр = ао соз )о (! — — ао ! в + — ! ! + — ао! ао ! соз !в ~ 1 — — ао в !— в ! ! в! в" в ! вв 16 / 192 !, 16 т ( ~ 16 — сов 36 1 — — ао) С~. (21) 1 16 ) Если в уравнении (21) пренебречь члензми, содержащими ао, то придем к приближенному результату (3) ф = а, соз л1, соответствуюшему линейному дифференциальному уравнению ф+7га!р = Оо).
") Ниже данная задача решена методом медленно вво!вяющнхся амплитуд (задача 26.3), а также методов оквввалевтяой лвнеарнзацнн (задача 26.5) в приведена сравяючльвая оценка разных способов решения. ФФ своводнын колввания ннлинннных систем 385 3'. Метод медленно меняющихся ам ил ктуд (метод Ван-де р-Поля)е). Этим методом удобно.
пользоваться в случаях, когда движение материальной системы описывается дифференциаль. ным уравнением с малой нелинейиостью: Х+Аах=ру(х, Х), (4') где Е(х, А) — нелинейная функция х и А, а р — малый параметр. Прн г(х, А)=0 уравнение (4") обращается в линейное: )Е+ +А'х=О, общее решение которого, как известно, имеет вид х аз!и(А!+а), а А=айсоз(А!+ос). В !926 г. Ван-дер-Поль предложил считать, что при малой нелинейности обшее решение уравнения (4*) и его первая производная по времени имеют вид, соответствующий линейному уравнению Х+ +Азх=О, т.
е. х аз!и(АЕ+сз), х= ай соя(А!+ос), (5") где амплнтудз а и начальная фаза а являются медленно меняющимися функциями времени а=а(Е), се=ос(Е). Этот метод получил в дальнейшем математическое обоснование в работах Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси*е), Можно показать, что данное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка (4е) эквивалентно двум нелинейным диффе. ренциальным уравнениям первого порядка: и —" ! (аз)п ф, аА соз ф) сов ф Й~, сс — —" т у (а з!и ф аА соз ф) з! и ф пф 2паа а! (7 ) (8) ') Б. Уап бег Ро1, А Шеогу оЕ ЕЕ!е зглр1!1пде оЕ Егее зпд Еогсж) 1г!оде т16га11оп, йаб1о кет!ен, 1, 701(1926).
*') Л. И, Мандел ь шта и, Н. Д. Папа пекся, Об обосзозаияз ол. ного метода приближенного решеивя двфференпвальных травлений, ЖЭТФ, т. 1У, 1934. !6 и и ве е лэ, т гн и = РА Г"(аыпф, айсозф), (6") а = — — До з1п ф, аА соз ф), р аа где введено обозначение ф=АЕ+а. Было предложено вместо этих точных уравнений интегрировать приближенные — аухороченлыеь уравнения, которые получаются из (6е) путем замены их правых частей соответствупкцими усреднен- ными значениями в пределах от 0 до 2п, т. е.
зп 386 нелинейные колпвлння [Гл хх При вычисленан интегралов, стоягпих в правых частях втнх приближенных нелинейных уравнений, амплитуду а надо считать постоянной, Интегрирование дифференциальных уравнений свободных колебаний с малой нели нейностью методом Вандер Поля рекомендуется проводить в следующем порялкш 1) составить хифференпнальное уравкение свободных колебаний, ваписав его в виде (4«); 2) приняв х=аа1пф, Х=алсоаф, вычнслить определенные ин.
тегралы ~ 7(аа)пф, алсоаф)соафа»р, ~ 7(аа1пф алсоаф)а1пф«(ф, о о считая при атом а постоянной величиной; 3) внести результаты предыдущего пункта в правые части «укороченных» уравнений Ван-Дер-Поля (7") и (8«); 4) проинтегрировать уравнение (7«) и вычислить общий интеграл а=аЦ С»); б) подставив полученное аначение а(1, С,) в «укороченное» дифференпиальное уравнение (8«), проинтегрировать его и вычислить общий интеграл а= с«(1, С„ С»); 6) подставить полученные аначения а(1, С») и а (г, Сь С,) в уран. нения (5«) и с помощью ваданных начальных условий движения 1=0, х=х«, х х» определить постоянные интегрирования С, нС«, 7) внести полученные аначения С, и С» в а=а(0 С») и сс а(1, Сь С») вычисленные в пп. 4) и 5); 8) подставить а искомое уравнение движения х а(г)з!Л1лг+с«(Щ аиачения а(1) н а(1), полученные в предыдущем пункте.
Задача 20.3. Решить задачу 20.2 методом медленно меняющихся амплитуд. Р е ш е н и е. Запишем дифференпиальное уравнение (4) задачи 20.2 в виде Ф+л'ф=рф' (1) где (2) Вудем искать решение уравнения (1) и его первую производную по времени в виде гр=а(1)а!п1М+сг(г)], ф=й ° а(1)соа(лг+с»(1)), (3) зн своводные колееьния неииненныя систем 887 где переменная амплитуда а(1) и переменная начальная фаза со(г) подлежат последующему определению. Сопоставив уравнения (1) н (4"), приведенное в обзоре теории, видим, что в данном случае при х=ф мы получаем У(ф ф) = ф Обозначив ф=аз!пф, и ф=айсоаф запишем У (а з!и ф, а7г сов ф) = ао з М з ф. (4) Для определения а(г) и а(1) предварительно вычислим определенные интегралы 234 ол ~ у(ал!пф.
ауосозф)созфй~ и 1 д(аз!пф алсозф)з!пфо(ф, о о которые при наличии (4) и в предположении, что величина а посто- янна, приМут вид ~Даз!пф, а7гсозф) созфо(ф=а' ') з!пофсозфй~, о о зл зл ) У(аз1пф алсазф)з1пфпф а' ~ з!поф0ф, о о Использовав в первом интеграле (б) подстановку з!пф х, а во втором интеграле (б) формулу а!па ф = — — — соз йф+ 6 соз 4чь 3 1 1 найдем ) у"(аз1пф, алсозф)созфо(ф=О, о Да з1п ф а(з соя ф) з!п ф й~ = — пао. =3 (6) Внеся значения интегралов (6) в «укороченные» уравнения Вандер-Поля (7") и (8о), приведенные в обзоре теории, и приняв во внимание (2), получим а =О и — — !газ, ! 16 (7) Из первого уравнения (7) найдем а(г)=Ср (8) После подстановки (8) ао второе уравнение (7) оно примет вид со — — АСМ Проинтегрировав его, получим в 16 а Я= — — АС,'4+Си 1 16 388 ннлнннннын колнвдння Подстановка результатов (8) и (9) в уравнения (3) дает !гл.
хх ф=С з!п~й(! — — Сф+С ~, ф-йс, о ~й~~ —,~,сф+С,1. (10) (11) Внеся в (10) !=О, ф=а„а в (11) Е=О, ф=О, получим систему уравнений а =Стз!пСз, 0=8С,созС,. Решив эту систему, найдем Ст —— а„Сз = и/2 (при Ст = 0 решение системы тождественно обращается в нуль). Подставив полученные значения Ст и С, в (10), найдем искомое уравнение колебаний маятника <р = ае соз й (! — — ае~ й ! !б /' (12) Как видно из (12), круговая частота р колебаний маятника, занисяшая от его начального углового отклонения а„равна (13) При заданных значениях Р и 1т„запишем тУ = — сх — ртх — !)ззбз, илн У + Азх = — 2л, й — лф', «) Ниже зтз задача решена методом эквивалентной линеарязации (задача 31,8) и дана сравнительная оценке резных способен решении.
Сопоставление формулы (12) с результатом (21) задачи 20.2, решенной методом разложения по малому параметру, показывает, что методом Ван-дер-Поля, при несколько меньшем обьеме вычислений, получено первое — основное — слагаемое уравнения (21) задачи 20.2. Величина же круговой частоты р, найденная двумя методами, оказалась одинаковой (см.
выражение (13) и формулу (20) задачи 202). Поэтому применение метода Ван-дер-Поля для определения первого приближения следует считать целесообразным и эффек. тинным *). Задача 20,4, Материальная точка массы ш движется вдоль оси х под действием сил упругости и сопротивления, проекции которых соответственно равны Р„ — сх, Й„= — !),х — ребе, где с, Р, и рз— положительные постоянные. В начальный момент точка находилась в крайнем положении, определяемом координатой х =а, и была отпущена без начальной скорости.
Найти урзвнение движения точки методом Ван-дер-Поля. Р е ш е н и в Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид зи своводные колевьння нелинеиных систем 389 где обозначено йо = с/т, 2пд »)д/т, л, ро7т, причем п, и п, положительны. Ишем решение л уравнения (1) и его первую производную х по времени в виде х = а (1) з1п»й!+ гх(1)», У = да (() соз (й+ го(!)), (2) где а(!) и а(1) — переменные амплитуда и начальная фаза, подлежащие последуюшему определению. Сопоставив уравнения (1) и (4"), приведенные в обзоре теории, находим рЯл, т) = — 2пдх — пойз.
Обоаначив л = а з!и ф, а = айсозф, запишем рГ(аз1пф алсоздр)= — 2п а7дсозф — поаз)досоззф. (3) г) ру'(аз1пф, а)гсозф) з1пф!(ф= о = — 2пдай ') созфз1пфддф-пополз ~ созодРз!пфд(ф. (б) о Использовав при вычислении интегралов (4) формулы созо др = — (1+ соз 2ф), созо ф = -- + — соз 2ф -»- — соз 4ф 1 4 3 1 1 2 8 2 В и сделав в интегралах (б) подстановку соз ф = г, найдем 3 ру (аз!пф, а1дсоздр) созфд(ф= — 2ппдал- — паза'7дз, ) ру(аз!пдр, алсозд»!)здпфд(ф О. (7) о !3 м.
И, идти и до.. и гн Для нахождения а(1) и сд(1) предварительно вычислим определенные интегралы » ру(аз1пдр, а)дсоздр)созфдддр, ) ру(аз!пф алсозф)з!пфдгф, о о которые при наличии равенства (3) и в предположении, что а— постоянно, примут вид зл ~ ру'(аз!пдр, алсоздр)созфадф= о 2п а7д ) соззфд!ф — п,аз)до ') создфбф, (4) о о 89а НЕЛИНЕННЫЕ КОЛЕВАНИЯ !гл. хи Внеся значения интегралов (6) и (7) в вукорочеииыез уравнения Ван-дер-Поля (7в) н (8*), приведенные Ь обзоре теории, получим й — п,а(1+ — Аа — ваз~ (8) а О. (9) Обозначив в уравнении (8) Лз ьз "з в я, и отделив переменные, найдем (10) аа а(!+Лаяв) Приняв во внимание, что ! ! Лва а(!+Лвав) а 1+Лвав' запишем аа Лвапв — "- — = — пз вал~ а !+Лвав Проинтегрировав зто уравнение, получим 1п а — — 1п (1 +Лзав)+1и С, = — л,1, ! 1п С1а = — пзу, Р !+Лаяв (11) (12) Интегрирование уравнения (9) дает (18) а =Св.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
