1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Заметим, что уравнение (6), которое вапишем в виде Ь Грь ! 3 7 Аь даь ! 4 Ьь — +! — — 1 ад — — — а( (14) является кубнчным относительно ад. Поэтому некоторой области вначений р соответствуют три вначения ад. Обовначнв левую и правую части уравнения (14) черен у, аапишем У = —, + ( ль- 1) ад, У вЂ” —, а1. (1б) На рис. а ивображены декартовы осн координат, причем на оси абсцисс отложены вначения ад, а иа оси ординат-вначенияу, Функции у= — -7-а! соответствует кубическая парабола, не вавнсшцая от 3 4 Ьь Следуя д(уффннгу, приравняем коэффициенты ад и Ь„стоящие при ь!пр! в первом (2) н втором (12) приближениях. Тогда окончательно получим второе приближение искомого периодического дви- жения йОВ ннлннкнный колввяния 1гл, хк величины р/л. Функции у= „—,+ ~ —,— 1) ат соответствует пучок прямых, пРоходЯщих чеРез точкУ Оа ~0,3т~, Угловые коэффициенты зтих Ь~ прямых, равные —,— 1 зависят от отношения круговых частот р/й возмущающей силы и свободных колебаний.
Так, вначснию р/й=О соответствует прямая сг — га с угловым ковффнциентом, равным минус единица, значению р/й = 1 - прямая р — 11 с угловым козффицнентом, равным нулю1 значению р/й = оо — прямая, совмещенная с осью у, с угловым коэффициентом, равным бесконечности. Значит, при непрерывном ввменении р/й от нуля до бесконечности прямая са — а поворачивается в направлении против хода часовой стрелки вплоть до совмещения К задаче 20.8,а. с осью у. При р/й = 0 прямая а — са пересекает параболу в одной точке (см. рнс. а).
Затем прн некотором значении р/й прямая касается одной ветви параболы и пересекает ее другую ветвь. Прн дальнейшем увеличении р/л, сопровождаемом поворотом прямой, прямая пересекает параболу в трех точкзх. Абсциссы точек пересечения прямой и параболы фиксируют яскомые величины Фм которые впредь будем называть амплитудами нелинейных вынужденных колебаний. (Это название условно, но достаточно оправдано тем, что в формуле (13) ат ~ Та(/32ра,) На рис.
б построены кривые ~за~ /г(р//г). Как видно, некоторой области вначеннй р/й соответствует не одно, а три значения амплитуды ат. По сравнению с соответствующим графиком для линейной силы упругости (см. рнс. 3.14 на стр. 111 второго тома) амплитудная кривая в случае «жесткой» характеристики (см. кривую 1 — 1 на рис. 20 1 на стр. 373), оставаясь разрывной, наклоняется в сторону увеличения р/й (отметка 1 иа оси абсцисс на рис б соответствует резонансу прн линейной силе упругости). Если решить соответствующую аадачу с учетом силы сопротивления, пропорциональной скорости, то кривая станет непрерывной (см. штриховые криаые на рис 6).
Прн етом по мере увеличения силы сопротивления область трех значений амплитуд уменьшается. Подобное движение рассмотрено ниже в задаче 20.9. Исли решить данную задачу для случая «мягкой» характеристики силы упругости (саь кривую 2 2 на рис. 20,1 на стр. 373), т. е, Фы вынаждвнныв колввання нвлинапных снстим 409 пРн Р -сах+е»ча, где еа'.>О н е»~0, то амплнтУднаа кРНваЯ (см. рис. а) наклоняется в сторону уменьшения р1Ь. Прн наличия снлы сопротивления, пропорпиональной скоростн, кривая становится непрерывной К задаче 20.8.
рас отрнм случай, когда прн нелинейных вынужденных колеба пнях турбнны, пря «жесткой» характеристике сиды упругости, источником воамушаюшей силы окааывается неуравновешенность турбин. ного диска В простейшем случае круговая частота р воамущаюшей силы равна угловой скорости ю вращения турбинного диска, Пря включения турбины н постепенном увеличепнн угловой скорости велнчнны амплитуд растут по ветви аЬ (см.
рнс. а) до некоторой точки И, натек скачкообраано уменьшаются в положение ла, переходя с ветен аЬ на ветвь л1 н далее убивают по ветви лА Это ревкое ивменение величины амплитуды нааывается «явление.н смачна». Оно характерно для нелинейных вынужденных колебаний н связано с попа. данкен колеблющейся. системы в вону неустойчнаостн. Прн выключения турбины (см. рнс д) величнны амплитуд воарастают по ветви 1л до некоторой точки а, аатем происходит «скачок» вЂ” реакое увеличенне велнчины амплитуды в точку р н далее вепре. рывное убываяне по ветви Ьа 3'. Метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван-дер-Поля). В п.
3' $2 этой главы прн интегрировании дифференциальных уравнений свободных нелинейных колебаний был применен метод Ван.дер-Поля. Зтям методом можно с успехом пользоваться прн научении вынужденных колебании нелинейных систем. Читателю следует оанакоматься с обаором теории п. 3' $2. 410 НЕЛННЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1гл. хи При определении а а кона вынужденных нелинейных колебаний, происходящих с круговой частотой изменения возмущающей силы, рекомендуется следующзя последовательность решения задач; 1) сосгавить дифференциальное уравнение У+Ьах=рГ(х, х)+Ь51прг, где слагаемое Ь51пр1 соответствует возмущающей силе, р — малый параметр, а 7"(х, х) †нелинейн функпия х и х; 2) представить посредством добавления к левой и правой частям члена р'х уравнение п.
1) в виде У+рах=»ч(х, х, Г), где р(х, х, Г)=(ра — Ьа)х+рт(х, 2)+Ь51прт; 3) искать закон вынужденных колебаний в виде х = о 51п ф = и 51п (РГ + гт), где постоянная амплитуда а и постоянная начальная фаза а подлежат последующему определению; 4) подставить в правую часть уравнения п. 2) фушсции х=а51пф »г арсозф, Г=, т. е »ч(х, х, Г)=Е(а51пф арсоаф> ~— )1 Р б) составить систему уравнений Р 1 а 51п ф Ьр соз»1», -л — ) соя ф а»ф = О, (1') т' ~а 51п ф, оз соя ф — ) 51пф а»ф = 01 Р (2а) 6) вычислив определенные интегралы, алгебранчески решить сис- тему уравнений (1а) и (2") относительно а н а; 7) подставить полученные значения а и га в искомый закон дви- жения, записанный в и. 3).
Применение метода Ван-дер-Поля является аффективным приемом определения первого приближения решения дифференциального урав- нения вынужденных колебаний нелинейной системы. Задача 20.9. Вал, защемленный одним концом н несущий на другом, свободном, конце уравновешенный диск с моментом инерции 7„ где л †о симметрии вала, совершает крутнльные колебани»ь К диску приложены: момент сил упругости тш †»р -саф», момент снл сопротивления л»„= — 11ф, возмущающий момент та,= =М551пр5, где см са, 1», Мм р — положительные постоянные, причем са — малый параметр, а гр — угол поворота вала.
Массой вала пренебречь, й $1 вынтждвнныв колнвания ннлиненных систем 41! Применнв метод медленно менякяцнхся амплитуд Ван-дер.Поля, найти закон вынужденных колебаний диске, происходящих с круговой частотой изменения возмущающей силы. Решение, Использовав дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси з, запишем 1М'=ты+та,+тз; Подставив заданные значения лгт„т„п тзл представим зто уравненне в виде ф= -лзф — уфз — 2лф+ ля!прФ, где обозначено лз = с,11„у = са/1„2л = 1)11„л =М„Ч„причем, подо- бно см у является малым параметром, Добавив к левой н правой частям етого уравнения рзф, получим ф+р*ф=Р(ф ф. 1), где Р (ф, ф, г) = (р — лз) ф — уфз — 2 ф + Ь 5! и рй (2) Будем искать решение уравнения (1) в виде ф=аз!п(р1+а), где а н а-постоянные амплитуда н начальная фаза, подлежащие последующему определению, а р — круговая частота изменении возмущающего момента.
Для определенна а н сс подставим в (2) функции ф=аз!пф, ф — а ф=арсозф 1=* —. найдем Р Р(ф, ф, 1)=Р(аз!пф, прсозф, — ) = ((р~ — й') а+Ьсоза)з!пф-(2алр+ даа!па) соя ф-фаз з!паф (4) В данном случае, в соответствии с (4), система уравнений (1*), (2") имеет внд ((рз — йа)л+Ьсоза~ ) з!пфсозфоф-(2алр+Ьз!па) г)соззфг(фа о — чпа ') з!паф соя!й !(ф = О> (б) о ((рз — Аз) а+к сова! ~ з!озфз — (2алр+Ь з!па) ) созфз!Пф!гф о о фаз г) а!паф бф = О. (6) а нилнняпныи коливання 1гл. хх Пря вычислении определенных интегралов применим формулы соззф= — (1+соз2ф), з1пзф= — (1 — соз2ф), з1пзф= — — — соз2ф+ 1 1 3 2 1 + †с 4ф, а в первом и третьем интегралах уравнения (б) и во втором интеграле уравнения (6) воспользуемся подстановкой з1пф = х.
После вычисления интегралов в уравнениях (б) и (6) получим 2аяр+ Ь з1п сз О, (7) (рз-Ьз) а+Ь соли- — уаз=О. 3 4 (8) Заметим, что при отсутствии силы сопротивления, т. е. прн и О нз (7) найдем а = О. При атом уравнение (8) примет вид формулы (14) аналогичной задачи 20.8, решенной методом Дуффинга для случая отсутствия силы сопротивления Для решения системы (7), (8) представим вти уравнения в виде Ьз1па= — 2алр, Ьсозш=(Ь' — рз)а+ — уаз, 3 (О) После возведения уравнений (9) в квадрат и сложения нх найдем Ьа = 1(Ьз — р )з+ 4лзрз) '+ — 7 (Ьа — рз) '+ — уз ', (16) 3 (в) (~1 ® ~ +4( — ") (Р) /аз =- — з~1 — (Ь) ~аз+ — (Ьтт) аз. (1!) Для определения искомой амплитуды а решаем уравнение (11) графически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
