1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Прн р=д амплитуда ма неограниченно возрастает. Условимся в этой нелинейной задаче понимать под резонансом явление вынужденных колебаний, имеющее место при равенстве кру« говой частоты ю возмущающего момента круговой частоте /г собственных колебаний. Круговая частота /г определяется при отсутствии момента сил сопротивленнц т. ц при вырождении чтреугольной» характеристики в пряМую линию (см. штриховую линию на рисунке) ! с коэффициентом жесткости, Равным с= — (г(+за).
Разделив с на момент инерции /», получим л = †, т. ц в',+Ф1 Значит, при резонансе, т. е. при а = й, получим д А',/Аа' с,/с»=1, р* ю'/А,*=в///г' *1, Подставив значения о=р=1 в формулу (13), найдем, что резонансная амплитура щ неограниченно возрастает. Вместе с тем с появлением и по мере увеличения момента снл сопротивления, т. ц при 4 « 1 наибольшие амплитуды колебаний имеют место уже не при га//г 1, в несколько смещзются в сторону увеличения ю/л. Как показывают подсчеты, чугол наибольшего отклонения» ют срввнительно близок к 90', так, для случая нолебаний с большим сопротивлением о = 3 угол ют равен ют ж 77' при резонансе и затем монотонно возрастает с увеличением ю, приближаясь к 90'; уже при ю/л=2,1 имеем ют~м 87'. При малых значениях момента силы сопротивления, т. е.
при 1к д ч 1,25, угол наибольшего отклонения ют колеблется прн резонансе (ю/А = 1) в пределах 88'~ .ют С 90; приближаясь к 90' по мере увеличения ы/л "). ') Ниже эта задача решена варнацяонным методом (аадачв 20Л0 н 20Л1) и пренелепа сравиительиав оценка равных способов реаеяиа, аа1 вынь жданный колвванид ыилинвнных систем 403 2'.
Метод последовательных прнблнжвннй, Интегрирование нелннейного дифференциального уравнения вынужденнык колебаний можно выполнить с помощью приближенного метода последовательных приближений. Многочисленные опыты н наблюдения ва действующими установками, совершающими нелинейные вынужденные колебания, указывают на налнчве установввшнхся периодических движений. Поэтому, применяя метод последовательных приближений, будем искать периодические решения с круговой частотой, равной круговой частоте возму.
щающей силы. Поясним ндею втого метода на примере дифференциального уравнения Х+йах=ф(х)+йа1прс где )г н й-малые параметры, у(х) — непрерывная нелннейная нечетная функцна х. В первом приближения, опустив в этом уравненни нелинейную часть РД(х), находят частное решение хт соответствующего линейного дифференциального уравнения Ут+ йахг = й а1пРС. Нетрудно видеть, что решение х =а(а1прг удовлетворяет этому уравненню. Затем, для отыскания второго приближения х„подставляют полученное значение хт в нелинейнУю фУнкцию )гГ"(х), т.
е. вычислЯют ру(хт) н затем интегрируют дифференциальное уравнение ха+Ьах,= )гг"(х1)+Ь а1пр1. Решив это уравнение, определяют второе приближение х =й~а1пр1+Ь~я1п Зр(+в а1п бр1+... Внеся х, в нелинейную функцию ф'(х), т. а вычнслнв р,г'(х,), переходят к наяожденяю третьего првблнження ха. Его можно получить, проинтегрировав уравнение .йа+ йаха — — цяхг) + й а рл рй Аналогично определяются последующие приближения. Ниже пряведена последовательность решения задач на вынужденные колебания нелинейной системы с помощью несколько видоизмененного метода Луффннгач), в основе которого лежит метод последовательнык приближений ') О. Ви111пй, Егатгцпйепе ЕсЬн1пйипйеп Ье1 чсгапдегИсЬег Е1йапггспцспа ппв' 1Ьге 1есвппсйе Ве1ецсвпй, ВгаипасЬтге1й 1918.
404 НЕЛИНЕИНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1) составить дифференциальное уравнение вынужденных колебаний нелинейной системы У+ йах = рУ(х)+ Ь а!и р1, где р и й — малые параметры, а У(х) — непрерывная нелинейная функция х. Здесь рассмотрен случай, когда у(х) является нечетной функцией, т. е. у( — х)= — г'(х), а проекция возмущающей снлы равна й з!п р1; 2) определить первое приближение хь считая р=О, т. е. инте- грируя линейное уравнение У+йах=йз!Бр1.
В качестве х1 принять частное решение х, а,з!прй где коэффициент ат подлежит последуюшему определению; 3) добавить слагаемое р'х в левую и правую части уравнения п. 1) и записать его в виде У+ рах = (рз — йа) х+ уЯх) + Ь з 1п р1 4) для олределення второго приближения х, внести значение х,=атз!пр1 п. 2) в правую часть уравнения п. 3), т. е. У+ р*х = (ра - Ь') ха+ рУ(х )+ Ь и!п р1; 5) использовав простейшие формулы, выразить нечетную функцию у(х,)=у(атз!пр1) в виде тригонометрического ряда 3;А!з!п1р1, т.
е. ~(х,)=~,'Ца!п1р1, где 1=1, 3, 5, ...; 6) внести этот результат в дифференциальное уравнение п. 4), представив его в виде У + рах = [(ра — Ьа) а' + рА4+ й) з!и р1+ р ~ Х! Б1п 1р1, где1 3,5, ...; 7) в связи с отысканием периодического решения этого уравне- ния принять коэффициент прн з!пр1 равным нулю и, решив уравнение (ра — Ьа)а, + р)ч+Ь=О, определить значение а1 (заметим, что при (рз — Ьа) аа + рая+ и ф 0 одно иа частных Решений дифференциального уравнения предыдушего пункта неограниченно возрастает по закону (ра — аа) а, + Х~-[-Ь вЂ” 1созр1 и искомое решение оказываетса непе2р риодическим); 8) при выполнении условия (ра — й') аа + рла+Ь =0 дифферен- циальное уравнение п. 6) принимает вид У+рах = р ~', Х! зш!р1, где 1= 3, 5, 7, „.
Прои!!тегрировав это уравнение, найти второе приближение х,=Ь,зтр1+Ьзз!и Зр1+Ь з!п 5р1+... Здесь первое слагаемое Ь,з!пр1 является обшям решением соответ- стауюшего однородного уравнения У-[-рзх=0, а все остальные сла- гаемые- частными решениями данного неоднородного уравнения; вьпвждннныв колквання ннлнмвнных снстям 08 9) следуя Дуффннгу, прнравнять козффзывенты Ь, и я„стоящне ковффнцнентшш в нервом (и.
2) н втором прнблнженнях и. 8) прн з!прЬ, т. е. считать х а(з1прг+Ьзз1иЗрг+Ьаа1пбра+..„ где ай определено в и. 1); 10) определить хз-третье и последующне прнблнження, согласно последовательностн вычнсленнй, изложенных в пгь 4) -9). Метод последовательных прнбляженнй Дуффннга является одннм нз весьма распространенных прнбляженных способов ннтегрнровання нелинейных днфференцнальных уравнений вынужденных колебаннй. Йслп требуется определить одно лншь первое приближение хт =я,а1прг, то все же надо составить днфференцнальное уравненне второго прнблнження, пряравнягь в нем нулю коэзффнцент прн а1прс (см.
и. 1)) н вычислить амплвтуду пв После этого вычясленне второго ирнблнження не составляет большого труда (см. пп. 8) в 9)). Заметим, что прн переходе от второго к третьему прнблнженяю (н особенно ко всем последующнм) обьем вычислений резко возрастает прн незначительном повышения точности результата Поэтому обычно ограннчнваются определением второго приближения.
Задача 20.8. Найтн перноднческнй закон вынужденных колебаний материальной точки массы зк движущейся вдоль осн х под действием нелннейной силы упругости Р, нмеющей «жесткую» характернстяку, я возмущающей силы 3. Проекцнн этих снл на ось х равны Уг„ = = — стх-сьзл, 8,„=Нз1пйг, где сь сз н Н-постоанные положительные козффнцненты, причем са и Н явлшотся малыми параметрамя. Задачу решить методом последовательных приближений Дуффннгз, изложенным в обзоре теории, Найтн первое н второе прнблнження.
Решенна Дифференциальное уравнение двнженвя матернальной точки тУ=Р„,+8, после подстановки значений Р,„ и 8„ прнцнмает внд тУ= — стх-с,ха+На(прс, У жз — Ьах — уха+ йа1п ру> где обозначено Ьа с;/ш, у=с»~я, Е=НУш. Заметим, что подобно са и Н, коэффнцненты у и Ь явлюотся малыми иараметрамя, причем у>0 и Ь»0. Прн определении первого ирнблнження хт будем в уравненнз (1) считать 1 =О, Нетрудно вндеть, что линейному двфференцязльному уравненню Х = — Ьах+ й з1п рг удовлетворяет решение ха —— лтжир1, где ат-постоянная, подлежащая последующему определению. Выраженне (2) примем в качестве первого прнблнження нелннейного двфференцнального уравнены (1).
406 налннвиныв колввання 1гл. ки где обозначено А = а1(рз - дз) - — уа1+ Ь. 3 (3) Нетрудно видеть, что дифференциальному уравнению (4) соответствует случай резонанса, ибо в правок части содержится слагаемое Аз!прд действительно, одним из его частных решений является А х= — — Гсозр1, которое с течением времени неограниченно вовра 2р стает, По условию же разыскивается периодическип закон движения точки. Поэтому в правой части уравнения (4) должно отсутствовать слагаемое Аз1прт, т. е, коэффнцент А должен быть равен нулю. Использовав выражение (5), найдем ат(рз-дз)- — уа1+й О, 3 4 (6) Уравнение (6) дает возможность определить величину амплитуды а; первого приближения в зависимости от кругозоп частоты р возмущающей силы. Графический метод решения этого уравнения будет приведен ниже. Прн выполнении условия (6) дифференциальное уравнение (4) принимает вид Х+рз~ = 4 )чз! ~1~ Зрд 1 Общее решение х, уравнения (7), которое является искомым вторым приближением, определяется по формуле хз = хз" + хз", (8) где хз" — решение соответствующего однородного уравнения, а хзв — частное решение уравнения (7).
Нетрудно видеть, что хз' = Ьт Мп рт (3) Переяодим к определению второго приблшкения, Юля етого доба. вим в левую и правую части уравнения (1) слагаемое рзх! У+р'х =(р'-дз) х-ух'+ й з1п рг. (3) Вычисление второго приближения сводится к интегрированию дифференциального уравнения (3), в правую часть которого вместо х подставлено первое приближение (2), т. е. Я+рзх = а((рз — Зз) з1цр(-7а( з1цзрс+ й з1прС Приняв во внимание, что з1пзр1=* — (Зз1прг — з1п Зр1), представим это 1 уравнение в виде х+рзх = А з1п рг+ — 7а! з! п Зрг „ (4) Вь! вынтдддинныи коливлния нилннвнных снствм 407 является одним ив решений однородного уравнения Х+рьх О.
Параметр Ьд будет определен ниже. В соответствии с правой частью уравнения (7) ищем частное решение хьь' в вдщв ху' д) ь!и Зрг. (10) Подставив функцию (10) и ее вторую проивводную по времени Хьь'= — 9д)Рьь!пЗРг в УРавнение (7), найдем 77 -уа',/32Рь, эатем внесем это вначение 17 в частное решение (10): таа ь!п Зрь, 32р (11) Испольаовав ревультаты (9) и (11) в (8), получим второе прибли« жение хь .Ь ь!пр1 — — 'ьШЗрй та', 32рь (12) таа ха=ада!пр! — — 'ь!и Зрс. 32рь (13) Сопоставив первое (2) и второе (13) приближения, видим, что их Разность хь-хд ЯвлЯетсЯ величиной поРЯдка !малости паРаметРа 7 хь — хд ° — — и ь!и Зрс. та1 32р В ваключение ваймемся графическим решением уравнения (6) для определения эависимости амплитулы ад первого приближения от круговой частоты р воэмущающей силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
