1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Поэтому в тех простейших приложениях, которые будут рассмотрены, можно не исследовать сходимость интеграла (1«), условившись раз навсегда, что з достаточно велико. Однако следует помнять, что существуют функции, например Д1) =е", которые растут быстрее экспоненты и для которых интеграл (1*) расходится; следовательно, изображение в этом случае не существует.
2) Очевидно, что изображение, определяемое формулой (1«), зависит только от значений функции у(1) при 1) О, поскольку нижний предел в интеграле равен О. Значения У(1) прн отрицательных а никакой роли не играют и могут быть какими угодно. Удобно считать, что у(1)=0 при 1<0. Для упрощения письма это обстоятельство, как правило, не записывается, а только подразумевается. Так, например, аапись (4") УИ) следует понимать как (О прн ус О, '1 1 при 1~0.
839 ПРНОВРАЗОВАННН ЛАПЛАСА В частности единичную функцию Хевисайда (единичный скачок) О при 1~6, аа(1) = 1 при 1Э:0 (6") равносильна записи (бч). Аналогично любую функцию г(г), с которой здесь придется иметь дело, можно представить как Д1) па(1). Однако для упрощения формул множитель сга(1) будем опускать, если вто не может повести к недоразумениям, но о его существовании всегда следует помнить. 3) Формула (1ч) однозначно определяет изображение по оригиналу, Оригинал по изображению также определяется однозначно в точках непрерывности оригинала, а в точках разрыва ему можно приписать любое значение, поскольку значения у(1) в отдельных точках не влияют на величину интеграла (1ч) и, следовательно, не могут быть определены из гч(р) Зз значение оригинала в точках его раарыва принимается предел справа, т.
е. .г (сг) =У(1~+6) (8*) где 1~ — точка разрыва функции )'(1). Для нахождения изображения по оригиналу, а также оригинала по изображению в простейших случаях можно- пользоваться сравнительно неболыной таблицей изображений. Если изображение в таблице отсутствует, то во многих случаях его мох<но привести к виду, имеющемуся з таблице, с помощью теорем об основных свойствах изображений, речь о которых пойдет ниже.
Приведем краткие таблицы изображений (табл. 1 и 2), достаточные для решения задач, которые нам встретятся. В литературе можно найти более подробные таблицы. 2'. Основные свойства преобразования Лапласа. Знание основных свойств изображений необходимо для практического использования операционного исчисленик Все эти свойства выводятся из формулы (1ь). умножение на постоянную. При умножении оригинала на постоянную величину с изображение умножается на ту же постоянную, и наоборот, т. е.
д Рнс. 193 (д ч) с((1)+ сг". (р). будем обойначать просто 1, т. е. вместо Дс) .оа(1) писать |'(1) 1. График единичной функции изображен на рис 19.1. Единичная функция очень удобна для записи тех функций, которые будут рассматриваться в этой главе. Так, например, запись УИ 1сгай 340 пеРехОдные пвоцессы и пРВОВРАЕОВАние лАплАсА 1гл, х!х Таблица 1 У(1)- КЛ(1) (10ч) У)(Ф)+-РФ(р) (1 1, 2, ..., Л), УЯ+-Г(р), то (11 ) Обе сформулированные теоремы, ваятые в совокупности, выражают свойство линейности преобравования Лапласа. Они поэволяют находить иэображение (или оригинал) любой линейной комбинации функций, входящих в табл.
1. Иэменение масштаба аргумента. Имеет место следующее свойство: ,У(ас)+ — „Р(~~), причем сс ~ О. (12ч) Иэображение суммы нескольких функций. Ивображение алгебраической суммы конечного числа оригиналов равно сумме их иэображений, т. е., если 341 11РЕОБРАЗОБАНИЕ ЛАПЛАСА Таблица 2 Изнбрнженнн Оригиналы и !л! 1(О Прямоугольная волновая функция ~Ю Выпрямленный синус волновой функции у)6 ла ар дерн ).дн 2 с!)1— Половина выпрямленного синуса вол. новой функции ууг) (анре.! яе)(! е-нл) 0 а га Юа еа е Единичная функция Хевнсайда () (1-а) р'ю е Р р Т а 6л н ца 2 (лрадодаеенае) Оригннелм Иеобреження ((О Р (р! Импульсная функция .ФП) ( е ее (1-ене) а аее Ступеннатая функция ~ш 3 г О а Еа га геа р(1 — е ее) 1(() =г", л"-((л+ ! и =О, 1, 2, ... ,ГЮ 1 — е Р р(1 — ге Р) О 1 2 У еш(п(/а), 0~(~а, ((О ~(21 па (1+е ар) анре+ пе 10 ЗФИ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОПЕССЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ.
Х(Х ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ай Случай сс(0 не рассматриваетси ввиду следующего обстоятельства, При сс С„О и 8) 0 имеем а1~0, т. е. оригинал тождественно равен нулю. Но согласно принятому условию при С<;О любой оригинал равен нулю. Поэтому прн сс(0 следует считать, что У(а()=0 при любом с, кроме, может быть, точки 1=0. Теорема зал авды в ани я (теорема смешения оригинала). Рассмотрим два процесса, представленных на рис. 19,2а и б Графики гр) к и) Ф) Рис.
19.2. а) График процесса у (с) пе (с); б) График аапаэдывэюшего процесса г (с — т) ае(с — т). на обоих рисунках одинаковые, но вторая кривая смещена иа величину т вдоль оси Ф, т. е. начало второго процесса как бы запаздывает на время т по отношению к началу отсчета времени. Теорема запаздывания позволяет, зная иэображение функпии ,у(С)по(с), определяющей течение во времени некоторого процесса, найти изображение функцин г"(с- с) ° <го(с-т), которая определяет двоение того же процесса, но запаздывающего на время т (рис. 19.2). В сокращенной записи теорема запаздывания выглядит так: )г(С вЂ” с)+- е Рс)о(р), где т ~ О, причем здесь необходимо сделать оговорку, что прн г ~ т левая часть тождественно равна нулю. Эту теорему можно записать в строгой форме с цомошью единичной функция Хевисайда, Она имеет вид У(» т)пе(1 — т) ~ е РсР(р) (13е) где р(р)-+ у(С) н с~О.
При точной записи равенство нулю оригинала при С(т обеспечивает множитель Оо(с-т). Условие т)0 необходимо, тэк как при тс О в промежутке т(1(0 получается, что 1 — с~О и у(г — т), вообще говоря, не равно нулю, тогда как по принятому соглашению оригинал должен быть равен нулю при 1(0. Ф у н к ц н я П н р а к а. Иэображение проиавольной импульсивной функции определяется шестой строкой табл. 2. Если основаиие прямоугольника в стремится к нулю, а его высота неограниченно возрастает так, что площадь прямоугольника (величина импульса) остается 344 пвРеходные пРОцессы и пРИОВРАзОВАние лАплАсА 1гл.
хгх все время )>авнои един>ще (единичныи импульс), то соответствующая функция называется дельта-функцией Дирака (по имени навеет' ного физика). Обоаначается дельта-функция Дирака символом б(~-т), где т-момент начала деистввя импульса. Иэображение дельта-функции Дирака определяется соотношением 6(1 — т)=е Рт. (14э) Теорема смещения Эта теорема дает возможность найти оригинал для изображения гч(р+ а), если известен оригинал у(г)+. + гч(р).
Теорема записывается так: >ч(р+а) +е ~у(г), (18*) где а — любое число, вообще говоря, комплексное. Теорема смещения позволяет, например, получить строку 11 табл. 1 из строки 7 тов же таблицы. Поскольку в таблице имеются почти все простейшие оригиналы с множителем е ~, теорема смещения будет вспольвоваться редко. Изображение прои эводнои, Теорема об изображения пронзводнои язляетс» основной, тэк как нэ ней покоится сама идея операционного метода. Записывается теорема таю у'(с): рр(р)-у(о).
В важном частном случае, если У'(0) О, имеем Г(г): рФ(р), (1бч) (>У ) т. е. операции дифференцировання оригинала соответствует умножение иэображения на число р. Пользуясь теоремод (18"), можно многие строчки табл. 1 получить из другах строчек этои же таблицы. Иэображения высших производных. Для производных порвдка л имеет место соответствие Р '(а)с-р"У(,)- ~р" ' Ч"'(О) а-о или в более подробной записн (18*) Эдесь, как обычно, за производную нулевого порядка принимается исходная функция.
В частности, если ,~(0) /' (О) =/" (0) =... У>э>(0) ... /1" т> (0) = 0 (20ч), то (21*) У> >(1)+р»р(р)-р.-У(О)-р У'(О)-... ря"-э> (0) ~(э-т> (0) (19э) 346 пнвоввлзовлмив ллплацл Фц ( У® ((":-'— )> Р (24 в) т. е, ннтегрнрованвю оригкнала в пределах от 0 до т соответствует деленне изображения на число р.
Эта теорема применяется прн решения уравнений, содержащих интегралы. Ею можно также пользоваться для нахожденвя изображений некоторых функций по известным изображениям других функций. Йнфференцирование изображения. Имеет место следующее свойство: — -+ — ту'(г), дР (р) Фр (25в) т, е. днфференцированню изображения по р соответствует умноженне орнгннаиа на ( — г). В общем случае производной порядка л имеем дЯР (р) "—,",.' +( — 1)" т".у(г).
Легко заметить аналогню между свойством днфференцирования оригинала и свойством дифференцирования изображения. Соотношеннямн (2бч) н (26в) можно пользоваться для получения одних наображеннй через другве, а также при решении линейных дифференциальных уравнений с переменными полиномнальнымн коэффициентами.
Пнфференцнрованне по параметру. Это свойство относнтся к часто встречающемуся случаю, когда оригянал зависит не только от независимой переменной г, но н ог некоторого паранетра а. Напрвмер, для функции таз!и ю1 множитель ю является параметром„функция е'~ соа ют содержит два параметра; а н ю, Если орнгннал зависит от параметра, то от втого же параметра завнснт н соответствующее нзображение. Табл. 1 дает немало примеров этому. Имеет место следующая теорема: д)(», а) . др(р, а) +— да д Лля пронаводной второго порядка, которая часто встречается в зздачах механики, змеем У"(т) ч: р'Р(р)-Ф(0)-У'(О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
