1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Однородная система (8) имеет определитель Лд~ сд[-МЕдодд едЕ-МЕдвд 2М [де 2М[„в О О [сдŠ— МЕ, ) (едЕ-М[д — [сдгдŠ— [В+А)во[[со[о[ — [В+А)в'[ — (28+А)в (28-[-А) со О О [ед[дŠ— (В+А)вд[ — [од[о[ — [В+А)ад[ [[е[Е-(В+А) вд[(еЕ-МЕ во)+[едгдг — (В+А)во[[с Š— М[двд))д.
Этот определитель не обращается в нуль при значениях угловой скорости, соответствующих уравнению (3). Действительно, можно показать, что уравнения Л (а) = [сдЕдЕ- ( — А) в'] (с,Е- МЕдад)+ +[с,Е,Е-(В-А) аа](с,Š— МЕава)= О Уа (а) = гдсдЕдŠ— (В+ А) ва] (сдŠ— МЕддод) + + [с,[оЕ-(В+ А) вд] (сдЕ- МЕавз) = О не имеют общих корней. Для этого достаточно вычесть одно уравнение ив другого. Тогда значение е, обращающее по условию в нуль Л (а), соответственно приводит к Ь® че О.
Следовательно, системв (8) имеет нулевое решение ад — па=О, аз — ад=О, Ыд+д[а=О д[з+дЕо=О 3]О твоэия ЯАлых движпний системы !Гл. хэп! ((В- А) ва- е»ЕД (е,1- МЕ»вз) + 1( — А) вд- сдЕдЕ] (с»1-М1два) О. Еслн нн одна из скобок в этом уравнения не обрашается в нуль,. (случай обрашения в нуль будет рассмотрен особо), то можно записать ед!д! — ( — А) в' с,! — М !дшд М (10) сд!»1 — ( — А) вд сд1 - М 1»вд При таком обозначении система (9) может быть переписана в таком виде: (ед1-МЕ»вд)(ад — Егаа)+2МЕ»в!Ед+2МЕдв»!з МеЕв', (11.1) (1!.2) — (едЕ»1 — ( — А) вд! (ад — лаз)+ (А — 2В) в»Ед+ (2 — А) онК» = = ( — А) вЧб соа а, (11.3) (! 1.4) ад ав Равенства (11.2) и (11,4) идентячны.
С нх учетом остальные два уравнения могут быть записаны в виде (ед1- МЕ»вд) (ад — лаз)+(2МЕдв+ 2МЕ»вл) »Е» = МеЕвз, ]едЕАЕ-( — А)вд](ад — йога+(2 — А)в(1 — л)!Е = (12) =(В-А) вЧбсозк Неизвестное (ад — ааа) содержит коэффнпиенты тех слагаемых вы» нужденных колебаннй вала, которые не возрастают со временем. Исключав ад — яаа нз системы (12), находим В Ме ]сд1»1- ( — А) в»]+ (сд! — М1»вд) ( — А) 6 соз в (2 — А) (од+с»-Мвд)]-2 ]од!]+сД вЂ” ( — А)вд] вр д]— Ме ]с,1»1 — ( — А) в'] — (с,1 — М1,вд) ( — А) 6 сов в (2В-А) (с»+с»-Мвд]+2М]сдгдд+с»1]-(В-А) в'] в. (13) нлн ад=а»', аз=а»; ад= — дЕ»! д]з= — !Е». Тогда система (7) может быть переписана в следуюшем ваде: (сд1-М1»ва) а;+(с,1- МЕ,ва) аз+ 2МЕ»вг]д+ 2МЕдвдЕ» Ме1в', (9.!) (сд1- МЕ»вд) д(д+(с»1 — МЕдва) !Ез = О, (9.2) ((В-А) ва — едЕАЕ] а;+(с»1»1 — (В-А) вд) а»+(А — 2В) в»Ед+ +(2 — А)в»Еа= (В-А)вЧбсозе, (9,3) Н —.4) ва — сдЕАЕ) ад»+ (с»1»1 — ( — А) вд) д]а О (9.4) Уравнения (9.2) и (9.4) в силу (3) имеют пропорпнональные коэффициенты.
А(ействительно, представим (3) в развернутом виде: 311 влияние гивоскопических сил Если переписать (3) в виде сдГд! — ( — А) вд сд!д1-( — А) ьа (14) -(с.! — М1,вд) „! М1,вд ю, а —— д — с — ~д,дд+( — А)д ! Ф Вд= ' ' !дддМе+(В-А)8соза1 а. (16) систему (6). Совершенно аналогичным путем Рассмотрим далее находим Вд — бз, Вз — Ье в ( — А) Ь мп а (сд! — М!двд) (2 — А) (сд+ сд — вд) + 2М (сд!дд+ сд!д д— ( — А) вд) ' в ( — А) Ь з!и а сд! -М!двз) Ва = Вд (2 — А) (сд-1-с — Мвд)+ 2М (сд!дд+сд!д д( — А) вЧ ' нли, с учетом обозначения (13), Вд= "(" М""') (В А)бш„„ д.
лз — ' ' ( — А) б 3!не. (17) Тогда, резонансные слагаемые решения (4), определяюшие члены, возрастающие с течением времени, будут уд = (Ьд соз в!+ с(д з!и а«) . 1, «д = ()дд з!и а! — Ыд соз а«) 1, уз (Йз соз а!+паз!и вг) ° г «з=(!дзз!паг — с(асеев!) 1. (18) Если ввести обозначения йд=Ндсозсц, )дз=Нзсоагсв '( Вд =На з!и сд„Аз = На з1п сд„) (19) то уравнения два!кения (18) запишутся в виде Уд НД соз (вс — ад), «д = Нд! з1п (а1 - сдд), уз: Нз! соз (в1 — аз), «з = Нз! з!п (а1 - сдз).
н обозначить для краткости знаменатель в (13) череа 1. =(2 — А) (сд+ с, — Мвз)+ 2М (сД+ сД вЂ” ( — А) а'), (13) то формулы (13) примут внд 3!2 теОРия малых движении системы (гл. хтш Угол сдвига фаа определяется иа равенств ~~~  — А Ь 13 сгя =и — сев дв ав (я свз лв в (В-А)бв)пз авМв+ (й — А) б сев в (й-А) в)п в Отсюдз следует, что Ось вала описывает прн резонансе усеченную коническую поверхность с угловой скоростью, равной угловой скорости вала, причем оба радиуса оснований неограниченно возрастают с течением времени. 4'. Применение уравнений Лагранжа в обобщенных координатах к составлению дифференциальных уравнений свободных н вынужденных колебаний вращающегося вала. В пп.
1' и 3' етого параграфа дифференциальные уравнения свободных и вынужденных колебаний вращающегося вала были выведены с помощью теоремы о движения центра инерции системы н теоремы об изменении главного момента количеств движения системы. Покажем, что вти же уравнения могут быть получены прямененнем уравнений Лагранжа в обобщенных координатах. Задача 18,47. В условиях задачи 18.42 определить дифференциальные уравнения свободных колебаний при помощи уравнений Лагранжа в обобщенных координатах. 7 в К задаче 1847. Решение. Выберем неподвижные осн с началом в центре левого подшипника в положении статического равновесия. Ось х направим вдоль оси вала вправо, ось а — вертикально вверх, ось у — так, чтобы система осей была правой.
Кроме неподвижной системы осей координат, возьмем подвижные осв хз, уп я» совпадающие с главными центральными осями инерции вала и перемещающиеся вместе с ним, а ~в1 влияния гиэоскопичвских сил Потенциальная энергия системы равна П- —, (у1+ 1)+-;с (у~+4), где, согласно условиям задачи 18.41, введены обоаначению у„ яь уь яд в координаты соответственно левой и правой опор, которые выбираем ва обобщенные координаты, сь с, — коэффициент жесткости левой и правой опор. Кинетическая энергия вала, согласно теореме Кенига, равна сумме кинетической энергии центра инерции вала, считая в нем сосредоточенной всю массу системы, и кинетической энергии вала в его относительном движении вокруг центра инерции Т = — М(Увс+«;)+ Ао4, + — В (юад+ ювад).
2 2 2 (2) Здесь м„„ю д, ад„д — проекции угловой скорости вала на подвижные оси координат. Эаметив, что угловая скорость вала состоит иэ трех составляющих: ю — угловой скорости собственного вращения вала, направленной по оси мь 1) — направленной по оси л, у в направленной по оси уд, с точностью до величин второго порядКа малости включительно в с учетом знаков проекций, находим ювд = ю+ (в 5!и У Ф+ ~У, юуд — 7 ю„= 1) соауж11.
(3) (4) (5) Подставив вти аначения в выражение кинетической энергии вала и вамении ус, гс, 11, у их выражениями (см. аадачу 18.41) гв гд Ус= Уд 1+Ув1 в Ув — Уд Яс Ядд+Яв1 дв д,-г, 7= з получаем Т вЂ” )а- ((-УА+,М)в+ ( — «д«в+ «в(д) 1+ + ф А~ю+9*,9д.", ")'+ ф В[( — ', «*)'+ (9 — ", Уд)'~. Сохранив в етом выражении величины второго порядка малости, находим т 2 дв Н УА+УА) +( «А+«вгд) 1+ + 1 ~(, в+2,9в-уд ~в — *в~+ 1 д~(~в — 4д)'+ ~9в — Ь~Д (у) 314 тяоаия малых двнжвнии систвмы 1гл. хтш — Еи ( — У111+Уя11)( — Еа) — Аю р -В Еа + стУг = О* Ев — 4 Уя — Уг —,— ( — РгЕа+УяЕг) Ет+ Аа — ф  —, + с,У, О, 4 — А Уя-Уг —, ( — ХтЕа+ УаЕа) ( — 1а)+ Аю —, —  —, + етхт = О, Уя — Уг Яи — Яг —;( — УтЕа+УяЕ,) 1,— Аю — + —,+саха=О. уя — Рг яя — яа Ея (8) (9) (10) (11) Для выделения поступательной части движении сложим уравнения (8) и (9), а также (10) и (11), предварительно умножив их на Е.
Тогда, учтя, что 1, — Еа=1, получим ЕИ (УаЕг — 3 тЕа) + егЕут + еаЕуа = О, (12) М (ЙА — УтЕя) + стЕид+ е, Еяя = О. (18) Для выделения вращательной части движения вала умножим уравнения (8) и (10) на ЕЕм а уравнения (9) и (11) на ЕЕ„и снова сложим (8) и (9), а также (10) и (11). Тогда найдем А ю (Уа — Ут) — В Я вЂ” Хг) + сгИ ха + саЕЕаяа = О, (14) Аю (йа — Еа)+ В(Ра — Ра) — стЕЕтУь — саЕЕаУя = О. (18) Полученные уравнения совпадают с дифференциальными уравнениями малых колебаний вала (15 — 18), найденными в задаче 18.41. Особенностью составления дифференциальных уравнений движения с помощью уравнений Лагранжа в обобпгенных координатах является необходимость сохранять члены второго порядка малости в выражении для кинетической энергии.
Это объясняется тем, что в уравнениях Лагранжа кинетическая энергия дифференцируется по малым переменным — обобщенной координате и обобщенной скорости. Задачи 18.48. В условиях задачи 18.43 составить дифференцяальные уравнения вынужденных колебаний вала с помощью уравнений Лагранжа в обобщенных координатах. Р е ш е н и е. Рассмотрим вынужденные колебания вала, выаванные его статической и динамической неуравновешенностью. Статическая неуравновешенность вызвана смещением центра инерции на малое расстояние е от оси вращения.
динамическая неуравновешенность определяется отклонением главной центральной оси вращения на малый угол б от оси вращения, Подставив вначения потенциальной (1) и кинетической (7) энергий в уравнения Лагранжа где 91=у„ям у„яа, находим дифференциальные уравнения движе- ния вала 316 ВЛИЯНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ З ~з1 Потенциальная энергия системы равна П = — е, (У,'+ 4) + — е,(Уя+ гяд), как и в предыдудцей задаче.
Координаты центра инерции вала и углы, определяющие ние оси вала, равны (см. аадачу 18.43) ус =у+ е соз вЕ = — у, — +у, — + е соз вЕ, Е, Е, гс--г+ез1п в!= — гд — +га — +ез1пвЕ ! Е Г !) =!)+бсоз(вЕ-е)=уд уд+бсоз(вŠ— е), уд у.( б з!п (вЕ- е) = — ''+ б з1п (вŠ— а), положе- (2) (3) (4) где у, г - координаты точки геометрической оси вала (оси вращения), лежащей на пересечении этой оси с плоскостью, перпендикулярной к оси вращения н проходящей через центр инерции; ус, го в координаты центра инерции; уд, гь уд, га†координаты левой и правой опор; б, у †уг между проекциямн геометрической оси ротора соответственно на плоскость ху и осью х, на плоскость хг и осью х; рд, уд- аналогичные углы, обрззованные проекциями главной центральной оси вала. Направив, как и в предыдущей задаче, подвижные оси коордипзт по главным центральным осям инерции вала, найдем проекции угловой скорости на эти оси: в,д в+))дз!пуд "ч" в+ру — быз!п(вЕ-е)у+арба!п(вŠ— е)= = в+ д д:" — бв:дз!п (вŠ— е)+бл~ лд з!п (вŠ— е), (б) влд — У, = — г — бв соз (вŠ— е) = — — — бв соз (вŠ— е), Р) зд — зд в д = ~)д соя гд= н й— бвз!п(вŠ— е)= д уд — бы з!п(вŠ— в).
(3) Кинетическая энергия вала, согласно теореме Кенига, равна Т = — М Щ+ 2сс)+ — Ав)д+ — В (в~лд+ вдд) (3) Т = — —, (( — РдЕа+.РЯЕд — евЕ з!п вЕ)а+ ( — г Еа.(-гяЕд -)- евЕ соз вЕ)а) -)- 1 М + — А ! в+ — — — бв — ~а!и (вŠ— е) + б а~ з1п (вŠ— е)1 + Е + 2 В([ Е с+бвсоз(вЕ-е)]+[4~~~~- бвз!п(вЕ-з)~аД. (16) Подставив в это выраженяе значения проекций скорости центра инерции и угловой скорости, найдем твовия малых движении системы пл, хдчп Подставим найденные значения потенциальнои и кинетической энергии в уравнения Лагранжа где од — принимает значения уп ям уэ гэ Имеем —,-( — Уд1й+Яд ) ( — Еа) — Ав —, — В 1, + с,У, + аа-ад Уа-Уд 1й бдйй ба' +М-еевасоаа1+ — соа(вг-е)-А — сов(Ы вЂ” е)=0, (11) 1 ! —; ( — Рд1а + Ра1д) 1д+ Ав —, +  — + саУй— ей-ад Уа-Уд 1д бм' бма -М 1д ев'соза1 —  — соа(а1-е)+А — соз(аг-е)=0, (12) —,— ( — 2д1й + уа1д) ( — 1й) + А в —, —  — + сдхд+ Уа — Уд дй-Ед + М вЂ” ' ев' а!п одг+  — а!п (в! — в) — А — и!п(в1 — в) = О, (13) 1а бмй еай 1 —,( — 2д1, +2й1д) 1д — Ав — + —,+сала— уа — уд аа «д бм' бай — М вЂ” ' еай а!и а1 —  — Ып (вг — в)+ А — а!п (вг — е) О.
(14) Для выделения поступательной части движения сложим (11) с (12), а (13) с (14), предварительно умножив их на 1и учтя, что 1д — 1й 1. Тогда получим М( — Уд4+ Равд)+ сд1уд+ сй1у, * Мевй соя в1, (15) М ( — 2д1а+ Ха 1д)+ сд1лд+ сй1ей = Мев' а1п в1. (16) Для выделения вращательной части движения вала умножим уравнения (11) и (13) на Вд, а уравнения (12) и (14) на Ва и сложим (11) и (12), а также (13) и (14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
