1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ляпунова (Общая эадача об устойчивости движения, 1892 г). Однако именно А. М. Ляпунов впервые установил условия, при котоРых первое приближенне позволяет судить об устойчивости движения исходной системы, движение которой описывается нелинейными дифференциальными уравнениями.
Способ определения устойчивости движения по первому приближению ваключается в следующем, Пусть У(-Л(т), Уа=А(Г), ", У.=Л(С) (1') является частным решением системы дифференциальных уравнений первого порядка дг Уь(уь Уь" Ую т) ль'ь при эадаииых начальных условиях движения Уь Уьь Уа=Уаь " Уя Уья прв (Зь) условиям (а* ан 1р фэ при т :0), находим уравнение относительной траектории вовмущеиного движения иотоичивость движвнни решение (1ч) определяет невозмущенное движение системы, При других начальных условиях движеннв значения переменных у„, определюощие движение системы, можно представить в виде уа-Л6)+ ть Тогда уравнения (Яь) примут вид ф+ ~" У~(Л(Г)+х„У;(Г)+хь..., У„(Г)+х 1].
(бч) -т)- Хь(хи х„..., х„, г). дхь Из (7а) следует, что (8а) Ха (О, О... „0> Г) = О хт х,=...=х„О (О') и, следовательно, (10 ) является частным решением системы (8ч), соответствующим невозмушеиному движению. Для рассмотрения устойчивости по первому приближению в'системе уравнений (8*) в правой части выделяются линейные слагаемые. При атом ограничимся случаем, когда время не входит явно в правую часть уравнений — аа,ха+на ха+...+аа„х„+Ра(х» хв ..., х„), (11ч) где аа =~ — ~, а Рь(хй .. „х„) содержит слага/дХь~ =~ д,/. а "' » емые второго и более высоких порядков относительно переменных хь. Тогда для исследования устойчивости по первому приближению составляют систему, получаемую иа (11ч) отбрасыванием нелинейных слагаемых — „~-=аз>х,+аь,х,+...+ аз„х„ (12а) н находят характеристическое уравнение системы (12ь) я+А а-т ) а»-а„( + ( 0 11 ° (18 ) Вычтя из каждого соответственного уравнения (ба) уравнение (2а), найдем Р- ~.КЬ(г)+: ...,~.а+~ 1)- ~.и,() ...,~.(г), Ю (О) Обозначив правую часть втнх уравненяй для краткости через Хь(хь хь ..., х„, г) = Уа[Л(С)+хь ",Л(1)+х 13- Уа[Л(Г)>" Уа(1) Г) Р') получим систему дифференциальных уравнений возмушенного дви- жения 324 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ [Гл.
ханш Согласно первой теореме Ляпунова невозмущенное движение, определяемое уравнениями (1ь), устойчиво, если все корни характеристического уравнения (13ь) имеют отрицзтельиую вещественную часть. В втом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнении (11*) не влияют нз устойчивость движения. Согласно второй теореме Ляпунова невозмущенное движение, определяемое уравнениями (1ь), неустойчиво, если среде корней характеристического уравнения (13") имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью.
И в этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в право» чзсти уравнений (11*) не могут влиять на устойчивость движения. Таким образом, исследование по первому приближению позволяет окончательно ответить на вопрос об устойчивости движения в тех случаях, когда корни характеристического уравнения имеют отрицательную или положительную вещественную часть. Если в числе корней хзрзктеристического уравнения имеются корни, вещественная часть которых равна нулю, т. е. нулевые илн чисто мнимые корни, то судить об устойчивости движения по первому приближению нельзя. В этих случаях, называемых чкритическимиь, как показал А. й). Ляпунов, необходимо учитывать в дифференциальных уравненнях члены порядка выше первого.
0 знаке корней характеристического уравнения можно судить на основании теоремы Гурвица, которая формулируется следующим образом. Уравнение л-й степени с вещественными коэффициентами (аз > О) азл"+атх '+аях' Я+„.+а О имеет все корни с отрицательной вещественной частью, если все определители вида ат аз О аз аз ат а, ав аа ~ат ач! Рт — — аь Рз —— а(аз О О...О а а, ...
О (13в) аз -т ав з ° положительны. При этом а,=О, если 1~д. Это условие является необходимым и достзточным. При решении задач нз исследование устойчивости движения системы по первому приближению рекомендуется следующий порядок действий: 1) определяем число степеней свободы системы и выбираем обобщенные координаты; зстоичивость дВижения 2) пользуясь уравнениями Лагранжа, составляем дифференциальные уравнения невозмущенного движения; 3) составляем дифференциальные уравнения возмущенного движения, полагая, что обобщенные координаты и обобщенные скорости в возмущенном движении отличаются от значений в невозмущенном движении нз величины первого порядка малости; 4) в полученных дифференциальных уравнениях отбрасываем слагаемые второго и более высоких порядков малости; б) вычитаем нз дифференциальных уравнений возмущенного движения соответственные дифференциальные уравнения невозмущенного движению 6) для случая системы линейных дифференпяальных уравнений в вариациях с постоянными коэффициентами составляем хзрактеристичвское уравнение; 7) пользуясь теоремой Гурвица, определяем знаки вещественных частей корней характеристического уравнения и затем судим об устойчивости движения исходной системы.
Задача 1В.бб. Пентробежный регулятор Уатта предназначен лля поддержания равномерного вращательного движення. Он состоит из двух стержней ОА и ОВ одинаковой длины 1, шарнирно укрепленных в неподвижной точке О. г(а з концах стержни несут два л/ шара массы «1 каждый 1 1 (рис. а), При помощи двух И стержней СЕ и 1)С муфта С, которая может скольаить по вертикальной оси, шарнирно соединена со стержл Р нами, несущими шары.
Шары считать материальными точ- с кама. При увеличении угловой скорости вращения шары расходятся, муфта С К задаче 1В.ЕО. подымается, уменьшая впускное отверстие для пара. При уменьшении угловой скорости шары сближаются, муфта С опускается и увеличивает отверстие для впуска пара. Пренебрегая массами стержней и муфты, а также силами трения, определить устойчивость движения регулятора Момент инерции вращающихся частей относительно вертикальной оси равен 1, (без учета шаров). Восстанавливающий момент, вызванный отклонением угла 1р от невозмущенного значения 1р„равен 1.,- -й(ф — ф,), где л-постоянный положительный коэффициент.
326 |гЛ. ХРИГ ТЕОРИЯ МАЛЬГХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ Р е ш е н и е. Регулятор в целом представляет собой систему с двумя степенями свободы. Выбираем обобщенные координаты: угол поворота вокруг осе ОС, который обозначим р, и угол поворота стержней ОА и ОВ вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости ОАВ, который назовем <р. Определим значение )гла фм соответствующее вращению системы с постоянной заданной угловой скоростью ~)а = ым Для этого достзточно рассмотреть относительное равновесие одного из шаров (см.
рнс. б). К шару приложены: сила тяжести Р(Р= лгу) и реакция стержня Ф. Присоединив к этим силам нормальную силу инерции Х„(l„гл(а1пфаы3), можем рассматривать совокупность трех сил как уравновешенную систему. Спроектировав все силы на направление, перпендикулярное М, найдем 1л соа ф> — лчу з! и фа = О, откуда ю3 =— й 1соа~ра ' (2) Таким образом, заданной угловой скорости вращения системы соответствует вполне определенный угол <р. Это установившееся движение системы называется невоамущенным движением.
Для составления дифференциальных уравнений движения системы воспользуемся уравнениями Лагранжа. Кинетическая энергия системы равна т= —,' М+1аг] Момент инерции 1а относительно оси з (рис. а) складывается из момента инерции 1а всех вращающихся частей, кроме шаров (этот момент инерции остается неизменным при изменении угла ф), и из момента инерции шаров, зависящего от угла <р: 1, = !а+ 2т1Я ып' ~р.
Момент инерции 1а шаров относительно оси х (рис. а) равен 1а = 2т1а. (б) Переходим к определению обобщенных сил. Первая обобщенная сила Оа находится как коэффициент при соответствующем возможном перемещении в выражении для элементарной работы: бАа=Е, Ьр. Таким образом, кинетическая энергия системы выражается в обобщенных координатах в виде т = — )(10+ 2гл(а йпа Ч) 1~ + 2лгР~р 1.
(б) З2У УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ Следовательно, обобщенная сила будет ()а-Е.= — !о(Ф-Фо) (й) Вторая обобщенная сила С! находится как частная производная от потенциальной энергии по углу ср. Е(ействительно, при изменении угла ср работу совершает только сила тяжести шаров, так как центр тяжести остальных вращающихся частей системы остается неизменным, а работа момента Е, при изменении угла ф равна нулю.
Тогда с точностью до произвольной постоянной потенциальная энергия шаров равна (О) П вЂ” 2тя! соя ср. Составляем далее уравнения Лагранжа сЫ ( 1~)) д д ' 1 д1с дП вЂ” -(! Ф) — — ~' — '= —— дг о 2 дср дф ' Рзссматривая малые колебания системы около положения невовмусценного движения (2), полагаем Ф = Фо+ х. Р = 1!о+У = сов+У (12) (1О) (11) (13) Второе дифференциальное уравнение малых движений находим нз (11) !оф — р тР .
2 з1п ср соз ср = — 2то! з! п Ф. (1б) Внеся в это уравнение значения (12) н (б), получаем У вЂ” 2 (Ро+Р)оз!п(21Ро+2х)+ ! а!п(сРо+х)=*О, (17) Раскрываем скобки и подсчитываем для малых движений все члены с точностью до величин первого порядка малости включительно.
где х, у-малые приращения переменных Ф, р. Внеся значения пере- менных в уравнении (10), находим 2тР оси ср соз ср ср Р + !ТР = — !с (ф — Фа) или, учтя (12), 2тР а!и (сРо+ х) сов (сРо+ х) Е (соо+ Р)+ ! (Ео ~ 2 Рз1по(фо+х)И)= -!сх. (14) Для составления уравнения малых движений подсчитываем все члены с точностью до величин первого порядка малости включительно, полагая асп х х, соз х а 1. После несложных преобразований находим (!о+ 2тР з!по сро) Р+ тР з1п 2фо' 6ох+ !ах = О (1б) теоэия мАлых движении системы [Гл. хчпз После несложных преобразований, учтя равенство (2), найдем У вЂ” )[а з1п 2фо 'Я+ (8[ соз фа — р8 сов 2фз) л О. (18) Таким образом, получена система двух днфференцвальных уравнений (15), (18) малых движений системы.
Для регаения этой системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами полагаем =С„е', р=С (19) где ффр — постоянные величины. Подставив эти значения в урав« пения (18), (18) и сократив на общий множитель еаг, получаем характеристическое уравнение (, в + а[па фа) ра+ рб а[па фа (1 + 2 сова фа+ — ~~р+ + а ~) з[п2ф =О. (20) Кратко это уравнение записывается в виде а,р'+ «ар+ аа О, (21) где а, -л — „-+з[п ф„а; О, гь а ~3з[паф ~1+2соаафз+ — ',), А аа 2 1, Цз[п2фа. (22) Условие Гурзица отрицательности вещественной части корней уравнения третьей степени имеет вид 1~ «,! аа.»0, 1 [=«таз — аааа»0, 1«а аа~ (28) ат аа 0 а, а, ат о о = аа (агав — аааа) » О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
