1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Находим Аа (Уй — Уд) — В (уй — Рд) + сд Вдет+ саййей = — ( — А) ай81й!п (а1 — е), (17) Ав(2 -2~+В(Уа-Я)-с 11ду -са11ауй —— *=(В- А) ва81соа(аг- е). (18) Уравнения (16)-(18) идентичны дифференциальным уравнениям малых колебаний вала, полученным в задаче 18.43. И в этом случае в выражении для кинетической энергии нельзя отбрасывать величины второго порядка малости, чтобы получить в уравнениях Лагранжа уравнения с точностью до малых йеличин первого порядка малости. 317 эстончивость движения э н) В 11.
Устойчивость движения 1'. Йсследов ание по общему решению. Для изучения устойчявостн движения системы матернальных точек запншем двфференцнальные уравнения движении в виде системы первого порядка — 3'а(умуа„...у„, 1) (й=1, 2,„., 2а), (1ч) где уь — обобщенные координаты нлн обобщенные скорости системы, являющиеся функциями времени 8. Если система функцнй у.=Л® у =у (г), ".. у. =у.
(г) (2ч) является частным решением системы (1*), соответствующем заданным начальным условиям движения ут-уть уа=уаа "., у,=у„„прн г-б, (з ) то решение (2э) определяет невозмущенное движение снстемы. Невозмущенное движение системы называется устойчивым, есле прн малом нзмененкн начальных условий решення системы (2а) переходят в решения, мало отличающиеся от исходных для сколь угодна больших эначеннй г. Такое невозмущенное движение называют также движением устойчивым в малом.
Если отклонения от невозмущенного движении, кроме того, прн неограннченном возрастание времени стремятся к нулю, то такое невозмущенное движение называется асямптотнческн устойчнвым. В некоторых технических задачах недостаточно нселедовать устойчивость движения в малом. Тогда следует отбросить ограннченкя, наложениые на отклонения начальных условий возмущенного движения, от нзчальных условий невозмущенного движения. Невозмущенное движение системы называется аснмптотнческн устойчивым в целом, если прк любых иных начальных условиях, чем (Зч), решение системы уравнений (1а), начиная с некоторого определенного значення времене, будет отклоняться от решення (2*) на величину, меньшую наперед заданной.
Отклонения начальных условнй двнження от заданных уразненнямн (З~) называются возмущеннямн. Возможны н другие определенна устойчнвостн движения. В частности, во многих задачах современной техники важно обеспечить малые отклонения в решении днфференцнальных уравнений возмущенного двнженея от решения невоэмущенного движения на конечном интервале времене. Прв решение задач на устойчивость движения в этом пункте будет применен прямой метод ннтегряровання днфференцнальных уравнений возмущенного двнженнж Этот метод наиболее зффектнвен по своим результатам, однако его применение ограничено небольшнм числом возможных прнложеннй ввиду математических трудностей, связанных с получекнем решения в замкнутом вида 318 тноэия малых движднип снствмы !гл хип! При решении задач на устойчявость движения методом интегрированна дифференциальных уравнений воамущенного движения рекомендуется сле.
дуюшик порядок действий: !) составляем дифференциальные уравнения иевозмушенного движения системы; 2) находим частное решение этой системы дифференциальных уравнений, соответствующее ааданным начальным условиям и определяющее невоямушенное движение системы; 3) аадаемся другими начальными условиями движения; 4) составляем дифференциальные уравнения вовмушенного движения; б) проинтегрировав дифференциальные уравнения вовмушенного движения, находим их решение; 6) сопоставляя решения дифференциальных уравнений невозмушеннаго и возмущенного движений, судим об устойчивости невоамущенного движения. Задача 18.49.
Точка А движется равномерно и прямолинеино со скоростью е,. Точка В находилась в начальный момент на расстоянии а от точки А. Прямая АВ, соединяющая обе точки, в начальный момент образовывала угол фа с перпендикуляром, восставленным к прямолинеиноп траектории точки А (рис. а). Угол Т,, обрааованный скоростью точки В с линнея АВ, нааывается углом упреждеиик Точка В будет сближаться с точкой А, вплоть до точного попадания, по прямолинепной относительной траектории, если выбрать угол упреждения у, согласно равенству а!пуа=* еа соафаЮлсоаф„ э так как при этом относительная скорость точки В будет направлена по ВА (рис. а). Равенству (1) соответствуют два значения угла -+.ф (рис, б) Таким обрааом, прямолинепное движение точки В воаможно при подходе к точке А с переднеп полуплоскости и с авдиев полу- плоскости по прямым ВА и В А Определить устойчивость движения точки В по ВА и ВтА Решение. Рассматривая движение точки В как сложное движение, складывающееся иэ пераносиого движения вместе с точнов А и относительного движения по отношению к тачке А, аамечаем, что при соблюдении равенства (1) вектор относительной скорости точки В направлен в точку А (рис.
а). Наблюдатель, движущийся 3!й кстойчнвость движения вместе с точкой А, видит точку В дзижушейся по прямолинейной относительной траектории ВА с постоянной скоростью я!,. Это н будет неваамущенное движение точки В. Ря л з ф я! !а.!а»Р, а! К задаче !Злз, Рассмотрим теперь возмущенное движение точки В, полагая, что угол упреждения у не удовлетворяет равенству (1). Обозначив расстояние АВ через а, находим проекции относительной скорости на АВ и на ось, перпендикулярную АВ: а = — о соз у - о, а!и !р, (3) аф =па!п у — о, соаф (4) Б этих уравнениях через !р обозначен угол между осью к и прямой АВ в данный момент времеви.
Разделим уравнение (3) на равенство (4) и помножим обе части на иф Тогда найдем йа зонт+за а!п|а (б) в о,соаф — вант При интегрировании этого уравнения с разделенными переменными необходимо рассмотреть три частных случая: 1) з!па у с йь! 2) з!па у = Аа! 3) а!па у > йа, 320 теоаия малых двнжянни снстимы !гл. хяп! Первый случай (малыя угол упреждения; е!пеу(йе), Про. интегрировав (б), находим сое т ! С =! ~~ '" " " ) х . ип т — й сое Е 1 ' (0) где С вЂ” произвольная постояннац а через й обозначено отношение скоростеи й = о,й~. Освободившись от логарифмов и определив С по начальным условиям (при 1 = 0 имеем а ае, ф фе), находим ( — й+ мп т сое еае+ г'й' — ею' т е!и еае !.
— й+е!птсоеер4-$'йе ~ — е!пет мпеа со1 т Уа' — в!е т х. е!и т — й соя ф 1 е!и т — й савве ' ейе т — й сое фе 3 ип т — й сое ф ' (7 й~1, й=1, й) 1. ~ 1 при сое т =1 при с, 1 при Если й(1, то точка В настигнет точку А прн угле ф„определенном равенствами е!и т ° Г е!и'т соз фе = —, е!и !ре — ~г 1 — —, (9) так как тогда а обратится в нуль, что следует из (7). Сопоставив значения ф, по формуле (9) с равенствами (1) и (2), заключаем, что угол фе= — ф, для угла упреждения у. Иначе говори, в конце движения точка В выходит на траекторию невозмушенного движения, находящуюся в задней полуплоскости. Следовательно, движение по относительион траектории АВ, находяшеися под углом ( — фе) к оси л, устойчиво в большом. Каково бы ни было начальное возмушение, точка В в конце движения вернется на прямую АВ.
С другой стороны, из равенства (4) имеем (10) Это уравнение относительнои траектории точки В в возмушенном движении. Заметим, что при разных й нокааатель степени различен: 321 эстоичнвость движвния $ н1 Следовательно, прн переходе через прямую, расположенную под углом ~рт, определяемым равенствами (рис г) соя$т —, э1пфт = у 1 — — Ээ-~- угловая скорость вращения линии АВ меняет внэк. Если начальный угол 1рэ меньше ф и больше фэ то в процессе движения угол зр монотонно уменьшэется вплоть до ~р ф„когда точка В совмещяется с точкой А, Если Угол ~Рэ больше фт, но меньше фэ то Угол в пРоцессе движения монотонно увеличявэется вплоть до $ фь прн котором опять-таки точка В совмещэется с точкой А (ряс.
г). Следовательно, невоэмущенное движение по относительной траектории АВ, расположенной в передней полуплоскости, неустойчиво в мелом. Как бы мало ня было отклонение точки от траектории невоэмущенного движения, находящейся в передней полуплоскости, она при дальнейшем движении будет все дэльше отклоняться от невоэмущенной траекторяи, приближаясь к другой прямолинейной траектории невозмущенного движения, рэсположенной в зэдней полуплоскостн. Второй случай (э1пэу=ля).
Проинтегрировав уравнение (5) я определив произвольную постоянную интегрирования по начальным условиям (при 1 0 имеем а а, зр = ф,), находим уравнение относительной трэекторин возмущенного движеяия МТ.-ь (' Ф Ф.1 а 1 — сшчя а ~ а — (ыэ — — ыэ — '~ 2 / л аэ 1 — сова ( ) Уравнение (10) в этом случае принимает внд ф= — '(1-соэф). а (13) Следовательно, угловая скорость поворота линии ВА всегда положительна.
Иэ уравнения (12) следует, что расстояние а обращается в нуль при ф-+ 0 с отрицательной стороны. Таким образом, в этом случае обе траектории невоэмущеяного движения (рнс. г) сливаются в одну прямую Ал, углы ф н ~рэ обращаются соответственно в нуль. В этом случае следует судить об устойчивости движения по прямой Ал на основании знаке возмущения. Если начальное отклонение находится в первой четверти, то точка В будет отклоняться все дальше от прямой Ал и совпадет с точкой А при ф-+ 0 с отрицательной стороны. Если начальное отклонение лежит в четвертой четвертя, то точка В будет приближаться к прямой Ал, угол ф, будет стремиться к нулю. В этом случае движение устойчиво з большом. Т р е т и й с л у ч а й (и!пэ Т ) йэ). Проинтегрировав уравнение (б) и определив произвольную постоянную интегрирования по начальным 11 м.
и, Бать я яр.. и гц твоэии малых двнжяним снствмы [гл. хппг Иэ этого уравнения следует, что расстояние до точки А обращается в нуль при неограниченном воарастанни угла ф. Иэ уравнения (4) находам угловую скорость поворота прямой ф — (э1пу-йсоаф), а (18) откуда следует, что угловая скорость ие меняет знака Ее знак совпадает со энаком а1пу. Таким обраэом, воэмущенная траектория точки  — спираль, проходящая через точку А.
Иэ уравнения (18) следует, что угловая скорость вращения прямой ВА по мере приближения точки В к А иеограннченно возрастает. 2'. Устойчивость движения по первому приближен и ю. Решение задач на определение устойчивости движения прямым методом интегрирования дифференциальных уравнений воамущенного дввжения в большинстве случаев не может быть осуществлено ввиду невозможности получения решения в аамкнутом ниде. В свяви с этим широкое распростраиеняе получил способ определения устойчивости движения по первому приближению. Этот способ был иэвестен задолго до появления классического труда А. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
