1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 52
Текст из файла (страница 52)
функции Х„непрерывны и допускают для каждой совокупности начальнык условий единственное решение. Здесь е-достаточно малое положительное число. Уравнения возмушенного движения (1э) в большинстве случаев иелинейны и не смогут быть проинтегрированы в замкнутом виде. Ввиду этого Ляпунов предложил качественный метод исследования устойчивости движения. Пользуясь этим методом, можно, не интегрируя дифференциальные уравнения возмушенного движения, ответить на вопрос об устойчивости невозмушенного движения системы.
Второй метод Ляпунова основан на исследовании некоторых функций Р(х1 "° хл) 334 теОРия мАлых движений системы 1гл. хчддд 2) Функция У(хд, ..., л„) называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (3") может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль не только при хд ... ° х„= О. 3) Функция У(хп ..„х„) называется знакопеременной, если она в области (Зл) может принимать как положительные так и отрицательные значения.
Обших критериев, позволакицнх относить функции Ляпунова к одному нз вышеуказанных типов, не существует, однако можно сформулировать некоторые частные теоремы. Так; 1) любая форма нечетного порядка является знакопеременной функцией; 2) если форма является квадратичной, то, согласно теореме Сильвестра, для того чтобы квадратичная форма была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее дискримннанта были положительны (см.
% 1 этой главы), 3) знакоопределенность или знакопеременность однородной формы остается неизменной, если к ней добавить любую форму от тех же переменных и того же порядка с достаточно малымн коэффициентами, 4) если функция не содержит всех координат, то она не может быть знакоопределенной. Такая функция может быть знакопостоянной нли знакопеременной, б) если по совокупности членов наинизшего порядка в разложениях аналитических функций можно судить о знакоопределенности нли знакопеременностн этих функдий, то для достаточно малых значений )хь~ члены более высоких порядков можно не рассматривать.
Еслн по совокупности членов наинизшего порядка в разложениях аналитических функций можно установить, что последняя является внакопостоянной, то в этом случае знакоопределенность или знакопеременность решается из рассмотрения членов более высоких порядков, Производная по времени от функции Ляпунова имеет вид дУ дУ дУ дУ вЂ” = — А+ —.да+" + — йл. дд дхд д дхд ''' дх„ Внеся в это выражение значения производных .ха нз (1л), найдем полную производную от функции Ляпунова, составленную в силу уравнений возмущенного движению дУ дУ дУ дУ вЂ” — х +- — х +...+ — ° х,.
дДГ дхд дхд ' ' ' дхл Перейдем к формулировке основных теорем второго метода Ляпунова об устойчивости и неустойчивости движения: Теорема А. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию У(хд..., 83б эстопчнвость движнния % и1 Определить устойчивость частного решения х у=О. Решение. Составим функцию Ляпунова в виде У- — (х'+у'). 1 2 (2) Производная по времени от втой функции будет дУ <ь ня — = х — +у —.
эг Н Ж' Заменим производные г(х/й и !)у/й их значениями нз уравнений (1). Тогда получим — х ( — у+ ахэ)+у (х+ ауэ) = а (ха+у'). (В) При а~О функция Ляпунова (2) н ее полная производная по времени (3) будут знакоопределенными одного знака (определенно- положительными), Следовательно, согласно теореме В, невоамущенное движение х О, у 0 неустойчиво. При а ч" О функция Ляпунова (2) н ее полная производная по времени (8) будут энакоопределенными функциями противоположного знака. Согласно теореме Б частное решение устойчиво асимптотически. При а =0 уравнения возмущенного движения принимают внд — = -у — =х. !!У И ' й (4) ..., х„), полная производная которой по времени, составленная в силу этик уравнений, есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с У, или вта производная тождественно обращается в нуль, то невозмущенное движение устойчиво.
Теорема Б. Если для дифференциальных уравнений возмущенного двнженив можно лапти энакоопределенную функцию У(хы ... ..., х ), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная знака, протиноположного с У, то невозмушенное движение устойчиво асимптотически. Теорема В. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти функцию У(х» ..„х„) такую, что ее полная производная по времени, составленная в силу этих уравнения, есть функция знакоопрелеленная, а сама функция У может принимать значения знака, противоположного с !2Ъ7аУ, то невоэмущенное движение неустопчиво.
Задача 18.63. Дана система дифференциальных уравнений возмущенного движения ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ [гл, хин Проднфференцировав первое нз этих уравнений по времени н учтя второе, находим азх а!А — +х=О. Аналогично находим Отсюда получаем х=асоз(!+Фа), у=аз)п(Ф+Гз), Таким образом, при а О движение устойчиво. Заметим, что систему (4) можно рассматривать как линеаризованную систему уравнений (!). Ответ, полученный в данном случае для линеаризованной системы, не совпадает с правильными ответами, полученными для исходной системы. Характер движения здесь определяется именно нелинейными членамя и отбрасывать их нельзя.
ГЛАВА Х1Х ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА В 1. Преобразование Лапласа 1'. Вводные замечания. Изображением по Лапласу((.-изобра. жением) или преобразованием по Лапласу функции УЯ вещественного аргумента 1 называется интеграл Ю(1)) -~У(1) а-" и-Р(р), ь ( ') Для многих динзмических систем, содержащих силы сопротивления, под установившимся движением понимается движение, не зависюпее от начальных условий и определяемое только действующими на систему силами. Простейшим примером установившегося движения являются вынужденные колебания, возникающие в линейной механической системе.
Это движение устанавливается не сразу, а через некоторый промежуток времени после начала движения. Процесс прихода системы к установившемуся движению нааывается переходным процессом. Обычно переходный процесс является затухающим колебательным или затухающим апериодическим.
В машинах переходный процесс возникает при пуске и остановке, при переходе с одного режима работы на другой, а также при сбросе или увеличении полезной нагрузки. Во многих случаях при исследовании переходных процессов в динамических системах удобно пользоваться ие классическим методом интегрирования дифференциальных уравнений движения, а операционным исчислением, в основе которого лежит преобразование Лапласа. Одна иэ причин этого состоит в том, что при интегрировании дифференциальных уравнений вычисление постоянных интегрирования при большом их числе является трудоемкой операцией. При использовании преобразования Лапласа начальные условия учитываются автоматически и операция вычисления произвольных постоянных отпадает. Вторая причина заключается в том, что преобразование Лапласа позволяет ааменить операции дифференцирования и интегрирования функций простыми операциями умножения и деленна Это дает возможность сводить решение дифференциальных уравнений к решению алгебраических уравнений, 338 пи»входные пгоцвссы и пввоввлзовлнии.лапласа 1гл, хгх где р = а+!а — некоторый комплексный параметр.
Поскольку р в подынтегрзльном выражении является параметром, значение интеграла определяетсв величиной этого параметра и видом функции у(1), но не зависит от переменной интегрирования й Таким образом, интеграл является функцией комплексного аргумента р, что и подчеркнуто в равенстве (1*). функцию у(1) называют оригиналом, а функцию гч(р)-изображением и кратко записывают это обстоятельство так: Р(р) + )г(1) или да)«-Р(р), что читается «г'(1) преобразуется в гч(р)» (стрелка всегда направлена к оригиналу). Условимся оригиналы обозначать малыми буквами латинского алфавита, а их изображения — соответствующими большими латинскими буквами.
Например, будем считать, что (3 ) л(1)+ ~(р), у(1)+ У(р). 1(ля многих часто встречающихся функций составлены таблицы изображений, которыми и следует пользоваться при решении задач. Обратим внимание на следующие обстоятельства: 1) Интеграл в равенстве (1») является несобственным интегралом первого рода, если функция у(1) непрерывна или имеет только разрывы первого рода, что будет в дальнейшем предполагаться. Следовательно, встает вопрос о его сходимости. Можно показать, что для функций, растущих не быстрее, чем экспоненциальная функция е", этот интеграл всегда сходится, если вещественная часть а числз р достаточно велика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
