1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Если колебання происходят со скоростямн, соответствующнмн ннсходящей ветвн байя, то с уменьшением силы трения скорость двнження н, аначнт, амплитуда колебаний увеличивается. Однако прн этом скррость попадает в вону, соответствующую восходящей ветви «!а«!ь н сила трення начинает воарастать. Это в свою очередь ведет к уменьшеяню амплитуды колебаний, Так пронсходнт процесс Автоколэвлння установления колебаний и появляется установивШийся режим авто- колебаний, не зависящий от начальных условий движения. Системы, в которых происходят автоколебания, называются аэлаотголебашельли.ии.
Эти системы имеют широкое распространение в рааличных областях техники, Так, автоколебання возникают в электрических генераторах, в системах автоматического регулирования, в металлорежущих станках прн снятии резном стружки. При движении смычка по струне появляется сила трения, вызывающая автоколебання и звучание струны. Сердечно-сосудистая система также является автоколебательной: движение крови в сосудах вызывает поперечные колебания их стенок, которые в свою очередь спрсобствуют движению крови в сосудах. При решенно аадач на азтоколебания можно пользоваться наложенными выше приближенными методамн интегрирования нелинейных дифференккальных уравнений.
Так, в п. 2' показано применение аналитических методов, а в п. 3'-графнческого метода на фаэовой плоскости. 2'. Исследование автоколебаний аналитическими методами, Задача 20.24. На рнс. а наображен физический маятник А веса Р, насаженный на вал В, который вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг неподвижной оси л. Прн этом между валом В и маятником А возникает момент силы трения и,„. Л / ь г 6 а) 6 К задаче 2024.
На рис б приведена характеристика изменения момента силы трения и, в зависимости от ф,-относительной угловой скорости вращения маятника по отношению к валу (см. описание соответствующей характеристики в п. 1'). Значению постоянной угловой скорости ы вала соответствует точка перегиба Ь на нисходящей ветви А4АГ характеристики. Этой ветви соответствует уравнение Рп,р — — У(ф,Д. Найти уравнение установления автоколебаний маятника, а также амплитуду его установившихся автоколебаний, если У, -момент инерции маятника относительно оси вращения л; 1-расстояниэ От точки привеса до пентра тяжести С маятняка.
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕВАНИД В начальный момент маятник находился в покое и был отклонен от вертикали на угол ~рв Радиусом вала пренебречь, Решение. Положение маятника определяется углом поворота ~р, отсчитываемым от вертикали. Проекция его угловой скорости на ось х равна ф. Рааложнм вращение маятника на переносное вращательное вместе с валом с угловой скоростью ю и относительное по отношению к валу с угловой скоростью а,.
Так как ю ю„+ +ю~ю, то юю~~юаа юег В данном случае юю =фи шаг=% юях — -ча. Поэтому получим фи =ф+ю. Здесь штрихами обоаиаченьг проивводные по ф. По условию величина постоянной угловой скорости ю соответствует точке перегиба (. на ветви ЛтЮ характеристики момента трения (см. Рнс. б) лг,р — — У'(ф,). Как известно, в точке перегиба .Г" (ю) = О. (з) Учтя, что ветвь ЛЖ является нисходящей, имеем У' (ю) ( О, У" ' (ю) ) О. (4) Приняв во внимание равенство (3) н ограничившись в вычислениях членами рааложения, содержащими ф в третьей степени включительно, запишем формулу (2) в виде ш ~( )+~ ( )'р+ 6 ~ (б) Перейдем к составлению дифференциального уравнения вращения маятника вокруг неподвижной осн х.
При отклонении маятника в сторону воврастания угла поворота ~р к маятнику со стороны вала приложен момент трения ш,р в направлении хода часовой стрелки (см. рис. а). Дифференциальное уравнение вращения имеет внд У,ф = лг (Р) + и, ()гт) + лг„(ага) + лг Прикяв во внимание, что ш,(Р)= — Р1а1п<р, лг,(тст)=т,()гя)=О, нг,а,= — гл,м испольвовав формулу (5), а также приближенно приняв в1пю ~р, запишем: )Я = — РОр — У(ю) -Г (ю) ф — а Г" (ю) Ф (б) Йспольаовав формулу (1), равложим момент трения ла =у(ф,) в ряд Тейлора по степеням ф: +р) ~( )+у ( ) р+ 2 ~ ( ) ра+ +;-'У"'(ю) ф'+... (й) 471 Автоколеэлння Перейдем к отсчету угла поворота 9 маятника от положения статического равновесия Воспользовавшись рис, в, имеем (8) и, следовательно, ф=в, Внеся соотношения (8) н (9) в уравнение (6), найдем 1,9= — Р19+ РФ -у( ) -1 (~) 9 — 6 У (~) 9 ° (10) Использовав условие (7), запишем уравнение (10) в виде 9+(2л„-[-лаба) 9 4- Ува9 = О, где обозначено Р1 У' (н) 1 У'" (а) Аа= —, 2лт — — —, Яа= —— (11) (12) Приняв во внимание неравенства (4), найдем лт ~ О, ла ) О.
(18) Нетрудно видеть, что уравнение (10) и уравнение (1э), приведенное в обзоре теории, тоясдестэенны. Следовательно, маятник совершает автоколебання. Запишем уравнение (11) в виде 9+ Ааб = — 2лт9 — л,ба. (14) Аналогичное уравнение [11 в задаче 20.6 было проинтегрировано методом эквивалентной линеаризацни.
Различие между этими уравненнами ваключаетса лишь в том, что в задаче 20.6 было ла )О, а в данном случае л, ( О. Подобно формулам (3) задачи 20.6, будем искать 9 и 9 в виде б=аэ1пф, О=аысозф. (16) Не повторяя решения задачи 20.6, используем ее уравнения [8) и [01: 3 а = — ~л~ + — папаня) = а, (16) (17) На рис. в изображено положение статического равновесия осн РЕ маятника при врашаюшемся вале в направлении хода часовой стрелки с угловой скоростью яь В атом положенин маятник отклонен на угол [).
Итак, при ф=О и $=0 имеем ф — р, Подставив эти значения в формулу (6), найдем условие статического равновесия Р1 11 —,г (ю) = О. (7) НЕЛИНВИНЫЕ КОЛВИАНИЯ 1гл. хх Из дифференциального уравнения (17) следует 81+ См (18) где С(-постоянная интегрирования. Напомним, что в аадаче 20.6 имело место л, : О, нз) О, В данном случае л~ ~ О, «з.т О (см.
(13)). Позтому интегрирование уравнения (16) дает отличный от решения уравнения (8) результат, Разделив в дифференциальном уравнения (16) переменные, запи- шем аа = — л а. а(1+ 3- — ~аале) Введя обозначения Лз= — — 'а' Аз -л,=ч «О, (20) представим уравнение (19) и виде аа а (1 — Леле) Прияяв во внимание при интегрировании уравнения (21), что (21) а(1 — Леле) а +2(1 — Л ) 20+Ля) ° найдем й' =ече РТ вЂ” Леле Решив зто уравнение относительно а, получим (22) Внесем результаты (18) и (22) в уравнения (16): 6 = ' Нп(йс+С,), Ухе+С*„е не 8 = соя(лт+Ст), (23) )~де-(-Се~=а'Г Во втором уравнении (23) у~тена аторая формула 171 задачи 20.6: ы а. Согласно условию задачи ирн г=О имеем ~р=~ре, ф=О. Использовав (8) и (9), запишем эти начальные условия движения в виды пРй 1*=0 имеем 6 фе+Р, б О. Подстановка их в (23) пРиводит к системе уравнений 1 р'Р+с,' лвтоколввлння Учтя выражение (20) для Ха, получим а= 1ип а(1)= — ~~ —, 2 Г2« где / Р1 Р' (н) 1 Г'"(а) ~» 21« 6 1, (26) Итак, процесс установления приводит к автоколебаниям с постоянной угловой амплитудой (26), не аависяшен от фб — начального положения маятника Если бы по условию задачи требовалось определить только амплитуду установившегося режима автоколебаний, то, минуя интегрирование уравнений (16) и (17), можно было бы сраау получить искомый результат.
Действительно, при постояннон амплитуде а ее первая производная д по времена равна нулю. Позтому, приравняв нулю правую часть уравнения (16), и учтя, что — л»=т, непосредственно придем к результату (26). В заключение рассмотрим движение маятника, на который, помимо момента силы трения между валом и маятником, действует также момент вязкого трения, изменяющийся по закону «г... = — Ьф, где Ь=»0, а ф — проекция угловой скорости маятника на ось г.
При нЬличии етого дополнительного момента уравнение (6) примет вид Ы= — Р(ф-Пыжа-(Ь+Г(ы)) ф- ~-У'" (ы) ф' Решив вту систему, найдем С' 1 (т»+(1~ С ° — ". (24) (чъ+ )' После подстановки аначеяий (24) в первое уравнение (23), учтя, что О ф+)), получям ф~ д,+6 сов лг — р, (26 )Г»(ЧЧ+ +(1 — »(Чь+Ф)») « ' () где, согласно формуле (7), 1) у(ауР1. Уравнение (26) описывает искомый режим установления автоколебаняй маятняка. Эти колебания, вызванные моментом сялы трения между валом и маятником, происходят с постоянной круговой часто. той А и переменной «амплитудон» а (г) Х«(ф»+ р)»+11 З,а (Чч+р)а] е"»г С течением времени а(Г) увеличивается и стремится к пределу, равному Иш а(г) = Иш и»+ р г» г» ь»(ЧЬ+ )»1(1 Ха(а,+ )»)«-»и 1гл.
хх 474 нилннепнык колввлння Перейдя к углу поворота 6, отсчитываемому от положения статического равновесия, получим уравнение (11), в котором Аз и ла имеют значения, укааанные в формуле (12), а через 2ль обозначено не /г' (ю)//„а 2лт —— +/ ( ). (27) Так как Ь О, а,/'(в)(0, то козффициент 2лт может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Повторив решение уравнения (11), придем к уравнению (19), которое выше было проинтегрировано для случая лт О. Итак, в соответствии с обозначением (27) при Ь+~'(ю) 0 маятник совершает автоколебания амплитуды а= — агг — (см. формулу (26)), где 2 Гхч =ЬУ 8; Ь+/' (и) ч — лд ~— 2/~ дополнительно рассмотрим следующие случаи. При лг) О, т. е.
при Ь+/'(ю)) 0 уравнение (19) примет вид ла = — пг 8/, (28) где обозначено лз 3 па 8 лг (29) Уравнение (28) было проинтегрирозано в ходе решения задачи 20.4. Запишем его решение (см. формулу (12) задачи 20.4 на стр. 390)): в -пн (30) Л~ г", где а1 и 7 даны формулами (27) и (29), При /-ь со имеем а-+ О, т. е. движение маятника затухает. В случае лг = О, т. е. прн Ь+/'(ю) = 0 из уравнения (16) найдем 8 = — раз, где обозначено р=--лайз~О, 3 8 (31) Отделим переменные: Ыа/аа= — рг/Г; проинтегрировав, получим 1 ~'йр/+С, ' (32) где р дано формулой (31).
При 1-+со имеем а-ьО, т. е. движение маятника затухает, Итак, при наличии дополнительного момента вязкого трения лгю,,= — Ьф, где Ь - О, при условии лак О, т. е. Ь +/'(оэ) С О маятник совершает автоколебания по закону (26) прн и = — лт лвтоколииання . В случаях же пт-~ О и ла О, т. е. при Ь+У'(ы) ~ О 3 и Ь+у'(ю)=О колебания маятника затухают (см. формулы (30) и (32)). Обычно в автоколебательных системах раяличают три элемента: 3) исглочлим лилзалид (в данном случае — вал В, вращающийся. с постоянной угловой скоростью ю), 2) нелинейный или чувствительный ллеменш (момент трения между маятником А и валом В), 3) колабзтельный контур (маятник А). Задача 22.26.
На рис. а изображена упрощенная схема лампового генератора, Основными элементами электронной лампы — триода В-являются катод К анод А и сетка Р. а) К задаче 20.2з. На аноде А ва счет внешней батареи, не покааанной на рисунке, создается положительный потенциал по отношению к катоду. Таким образом в лампе имеется электрическое поле, направленное от анода к катоду. Катод К нагревается при пропускании по нему тока от внешнего источника (батареи канала, не показанной на рисунке).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
