1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 9
Текст из файла (страница 9)
йе йМ йг е йг (4) Как видим, и при отделении и при присоединении частиц уравнения (3) или (4) имеют один и тот же вид, с той лишь разницей, что йМ в случае присоединения частиц — ) О, а в случае их отделения йк йМ вЂ” ( О. йг Если абсолютная скорость присоединяюшихся (отделяющихся) частиц равна нулю, т.
е. и=О, то уравнение (3) можно представить в виде й (Ме) йг (3) (6) однако М в левой части является при этом величиной переменной. Заметим, наконец, что если ввести величину (7) то уравнение (4) можно представить тоже в виде уравнения движения точки постоянной массы (8) Из уравнения (8) следует, что эффект отделения (присоединения) частиц эквивалентен действию на точку (тело) некоторой добавочной силы Ф, называемой реактивной силой. йМ Обозначим через 0„„= ~ — „~ секундный расход отделяемой (или присоединяемой) массы, и пусть Ф, и Ф,— реактивные силы соот.
аетственно при присоединении и отделении частиц. Тогда Фз = — О,„,м,, Ф1 01еекне (9) 4 Н. Н. Букгокьч если же относительная скорость присоединяюшихся (отделяющихся) частиц есть нуль, т. е. и,=О, то уравнение Мещерского принимает такой же вид, как для точки постоянной массы, т. е. зо ошцис теогнмы динамики системы млтвгилльных точек (гл г Направим ось х вдоль вектора скорости о ракеты (рис 24) и допустим, что относительная скорость Рис. 24. отделении частиц и, (скорость вылета продуктов горения топлива из сопла ракетного двигателя) постоянна и направлена противоположно и Тогда, проектируя обе части равенства (10) на ось х и учитывая, что о,= о, и„= — и„будем иметь М г(п = — и, гг М Отсюда, интегрируя и полагая в начальный момент скорость ракеты равной оз, а массу равной Мз, получим окончательно =~~+гт,1 м, (11) формула (11) устанавливает, по какому закону возрастает скорость раКеты с уменьшением ее массы Если начальную массу топлива обозначить М„а массу корпуса ракеты со всем оборудованием и полезным грузом через М„то Ме= М„+ М,, а масса ракеты в момент, когда сгорит все топливо, будет равна М„В результаге найдем, что предельная (наибольшая) скорость, которую получает ракета, когда будет израсходовано все топливо, определяется равенством о, = ор+ и„1п (1 -+ — ') .
(12) Это известная формула К Э Циолковского, опубликованная в его работе 1903 г, т. е реактивная сила равна численно произведению секундного расхода массы на относительную скорость отделения (присоединения) частиц и направлена противоположно вектору и, в случае отделения частиц и так же, как вектор и„в случае присоединения частиц Отметим в заключение, что преобразования, проделанные с уравнением (3), можно таким же образом произвести и с обобщенным уравнением (2).
Рассмотрим несколько примеров приложения уравнений Мещерского 3. Движение ракеты вне поля снл. Формула Циолковского. В качестве первого примера рассмотрим случай поступательного движения ракеты вне поля сил (1-я задача Циолковского). Тогда, по- лагая в равенстве (4) Р = О, полу® чим для движения ракеты в этом случае векторное уравнение лв лм М вЂ” „= и,— „. (10) динАмикл тОчки ПЯРеманнои мАсстя 51 Из формулы Циолковского следует тот интересный факт, что предельная скорость ракеты зависит только от относительного запаса топлива и относительной скорости истечения продуктов его горения, от того, по какому закону расходуется топливо, предельная скорость ракеты не зависит Для закона движения ракеты в рассматриваемом случае получаем нз (11), полагая, что при Гр = О.
х = О х=прг+и, ~1п ' р(1 Мр (15) Следовательно, закон лвижения будет зависеть от закона расхода топлива, т е от вида зависимости М(1), которая для вычисления интеграла, входящего в правую часть равенства (13), должна бысть задана х 4, Вертикальное движение ракеты в однородном поле тяжести. рассмотрим ракету, движущуюся верти- кально вверх в однородном поле тяжести при отсут- ствии сопротивления среды (2-я задача Циолковского). Направим ось х также по вертикали вверх и примем, что вектор и, относительной с«оросги отделения частиц постоянен и направлен по вертикали вниз (рис.
25). Учитывая, чго на ракету действует сила тяжести Р = Мя, получим уравнение движения (4) в проекции на ось х в виде Р =АгУ (14) ле ляг М вЂ” = — Мтг — л —. ей лг Интегрируя зто уравнение и полагая, что при с=О Л4=-Мр, ор=О, найдем следующий закон изменения скорости. о= — л,1п м — Ф (15) Рнс, 25. М= М е-"', е (16) где а — постоянный коэффициент, характеризующий быстроту изме- нения массы. Тогда уравнение (15) причет вид лх о= — =(аи — е)г. Г г (17) Для дальнейшего интегрирования уравнения (15) надо задать какой-го закон изменения массы Примем, что масса М убывает по показательному закону 52 Овшие теОРемы динлмики системы млтеРиАльных тОчск 1гл а Отсюда, интегрируя и считая при 1= О х = О, найдем аакои дви« жения ракеты: Ге х = (аи, — а") —, (18) В этом равенстве аи, есть, очевилно, ускорение, сообщаемое ракете реактивной силой, в чем можно убелиться и непосредственно; в самом деле, вычисляя с учетом равенства (16) реактивную силу, по формуле (7), получим им Ф = — и — = аи Мее-а' = аи М, х — г ие = г о Из уравнения (17) слелует очевидный вывол, что вертикальный подъем при и =О возможен лишь в случае, когда аи,) и, т, е.
когда ускорение, сообщаемое реактивной силой, больше ускорения силы тяжести Допустим теперь, что масса ракеты может убывать до некоторого аначения М, (разность Ма — М, равна запасу топлива), и найдем, какой будет полная высота Н подъема ракеты. Время 7, движения под лействнем реактивной силы (активный участок траектории) определяется из равенства М| = Мое а', откуда и где л 1н МО. (19') ! Подставляя это значение ~, в равенства (18) и (17), найдем для длины х, активного участка и скорости О, в конце этого участка вначения х,=из ',~, т,=и ' к, (20) (21) Как вилим, Н, в отличие от и, зависит от параметра а, определяющего быстроту расхода топлива. При этом Н тем больше, чем больше а. Наибольшая высота подъема ли Н*= — ' 2А (21') После момента 1, масса раиеты остается постоянной; имея в этот момент скорость пн ракета пройдет еще до наивысшей точки путь а, (аи — Р)' Ь = — ' = иа 22и 2иа' Тогда для полной высоты подъема получим значение Н=х,+7е или ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ получается при а= Оо, т.
е. прн мгновенном сгорании топлива. Практически этот результат означает, что для получения наибольшей высоты подъема в однородном поле тяжести при отсутствии сопротивления надо возможно быстрее сжигать топливо Решим теперь другую экстремальную задачу. Найдем, при каком значении и длина активного участка х, будет наибольшей (такой режим обеспечит движение с наименьшим ускорением, т. е. с наименьшими перегрузками). Из (20) получаем дх1 2а — ага и . да 2аа Приравнивая эту производную нулю„найдем, что указанный оптимальный режим имеет место, когда а=— 2я.
аа (22) Полная высота подъема Н в этом случае вдвое меньше оптимальной, определяемой равенством (21') Можно поставить еще одну оптимальную задачу: при заданной длине активного участка х, нзйти значение а, для которого число и (характеризующее у ракеты запас топлива) будет наименьшим, Для этого из (20) выражаем ия через х, и а; находим 2х,а' л аи,— Р Вычисляя отсюда праизводну1о от из по а и приравнивая ее нулю, получим, что и имеет минимум при том же значении а, которое определяется равенством (22). Таким образом, в данном случае один и тот же закон изменения массы обеспечивает максимум х, при заданном значении и и минимум и при данной величине х,, Рассмотрим теперь другую, так называемую обратную задачуг найдем, по какому закону должна изменяться масса ракеты, чтобьг ракета совершала вертикальный подъем с постоянной скоростью.
1(ля этого положим в уравнении (14) п=соиз1; получим для определения закона изменения массы уравнение и — + Мй'= О. а'М 81 (23) т. е. когда ускорение, сообщаемое реактивной силой, вдвое больше ускорения силы тяжести. По знаку второй производной легко убедиться, что при найденном значении а величина х, действительно имеет максимум.
Из равенств (20) и (21) находим, что при аи,=2я' азия л и Х1 .= — ', Н =- — '. 1 ааа 88 ' лд. 54 Оещие теОРемы динАмики системы млтеРНАльных тОчек 1гл, т Отсюда, интегрируя и полагая при 1=0 М= Мв, найдем я ~ '"4 = Мга (24) Таким образом, равномерный подъем ракеты возможен только в том случае, когда закон изменения массы имеет вид (16); при этом должно быть а = д!и„или аи, = е' (ускорение, сообщаемое реактивной силой, равно ускорению силы тяжести). При выводе уравнения (14), а следовательно, н (23) мы считали вектор а, направленным вертикально вниз. Рассмотрим еще, какой результат получится, если считать скорость и, направленной по вертикали вверх.
Тогда в уравнении (23) вместо и, будет стоять — и„и мы, интегрируя, получим М=М а Следовательно, равномерное движение по вертикали возможно и тогда, когда масса возрастает по показательному закону. В этом случае реактивная сила направлена так же, как вектори„ т. е, вертикально вверх, и уравновешивает силу тяжести. Такой случай мог бы иметь место, конечно, не при движении ракеты, а, например, при падении капли воды в насыщенной водяными парами атмосфере, если допу- стить, что масса капли вследствие конденсации на д ее поверхности пара будет возрастать по закону (24'), а сопротивление движению пренебрежимо мало. 5. Вертикальное движение тяжелой нити.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
