1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 13
Текст из файла (страница 13)
2 3 1, будут зж 2 .,' — Ябх,=О (и=1, 2, ..., а) ч К дх т=1 (5) ~а Ьх„=О (р=1, 2, ..., г). (6) ч=~ Таким образом, ЗМ вариаций Ьх„связаны а+ г условиями (5) и (6), следовзтельно, независимых вариаций будет ЗМ вЂ” (а+ г), а остальные (а-+г) будут зависимыми. Определив из уравнений (5) и (6) а+ г зависимых вариаций через ЗМ вЂ” (л-+ г) независимых (которые можем выбрать произвольно), подставим выражения зависимых вариаций в уравнение (4); после этого оно будет содержать только независимые вариации. Ввиду произвольности этих вариаций множители при них должны быть равны нулю, что дает ЗМ вЂ” (а+-г) уравнений; присоединяя к этим уравнениям а + г уравнений связей (1) и (2), получим систему ЗМ уравнений, определяющих ЗМ координат точек системы кзк функции времени.
Э Ч УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 71 Но исключение зависимых вариаций удобнее выполнить, пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, подобно тому как это делается з аналитической статике. Для этого умножим каждое из а уравнений (5) соответственно на»1я(и= 1, 2,..., 11) и каждое из г уравнений (6) на )тр(р= 1, 2, ..., г) и сложим полученные раВенства почленно с уравнением (4); получим одно уравнение З1Ч А г Х(Х" л1ч а!1 + Х»"" д + Х1зраР„)бхР=О.
(7) т 1 я=1 Р! Пользуясь неопределенностью лагранжевых множителей». и )1, число которых равно а+г, выберем их так, чтобы множители при л+ г зависимых вариациях обратились в нуль; тогда множители при оставшихся ЗМ вЂ” (а+г) независимых вариациях должны быть также равны нулю; таким образом, получаем ЗМ уравнений л Г т,— „~ =Х -+ )»1 — "+ ~)1 аят (ч= 1, 2, ..., ЗМ). (8) Р=1 Присоединяя к этим уравнениям а-+ г уравнений связей У'. (х; 1) = О (х = 1, 2, ..., й) (2') ЗА ~! а„,х +ар — — О (р=1, 2... г), (3') получим полную систему ЗМ+ к+ г уравнений для определения ЗМ координат точек системы, а также а+ г лагранжевых множителей»1 и !1. Проинтегрировав эту систему при заданных начальных условиях, мы найдем х, »„11 как функции времени 1.
Уравнения х,=х,(1) определяют закон движения системы. С помощью же множителей».„(1) и )1р(г) найдутся динамические реакции связей. В самом леле, сравнивая уравнения (8) с дифференциальными уравнениями движения (1), мы видим„что А »тт=,~~»"я д + С~~!"Р Р я-1 р-1 Таким образом, механическое значение множителей» и !Ар такое же, как и в статике, т. е. они пропорциональны реакциям связей. Равенства (9) определяют реакции связей, заданных уравнениями (2) и (3), если эти связи являются идеальными. Отметим, что справедливо и обратное утверждение, т. е.
связи, заданные уравнениями (2) и (3), будут идеальными, если их реакции можно представить в виде (9). Итак, уравнения (8) вместе с уравнениями связей (2) и (3) определяют движение любой неголономной системы с идеальными связями при условии, что неголономные связи являются линейными функциямн скоростей '). Эти уравнения движения системы в декартовых координатах принято называть уразненилли Лагранжа 7-го рода, Поскольку интегрирование уравнений (8) является задачей весьма сложной, то обычно ими пользуются лишь для определения реакций связей, а закон движения системы находят с помощью других уравнений, которые будут получены ниже.
2, Интеграл энергии. Уравнения Лагранжа 1-го рода (8) дают интеграл энергии, если: 1) силы, действующие на систему, имеют потенциал, т. е. если сУществУет фУнкциа (1(х1, хз, ..., хзА!) такав, что — =Х, (У=1, 2, .... 31!7). д(7 дхт (10) и 2) связи идеальны, причем конечные связи (2) склерономны, а дифференциальные связи (3) однородны относительно скоростей, т. е.
— "=0 (И=1,2, ..., л); а =0 (р=1, 2, ..., Т). (!1) дуя дг Умножая каждое из уравнений системы складывая, получим 3!У Х дзх.„ гл — дх т Лез т (8) соответственно на дх и ЗА = ХХ„дх,-+Х Х),„„"Ю'. т=1 т=!я=! дх,+ «~ )~~~ )!рар,дх,. (12) т 1р=1 Преобразуем уравнение (12). Для левой ЗА! ЗА! т=! т ! части имеем далее, на основании равенства (10), ЗА! зн ~ Х„д,=~ —,'" д,=ди. т=! т=! (14) ') 14з практике уравнениями, которме мы получаем дзя идеальных свяаей, можно пользоваться и в случае связей, для которых работа сил трения ие равна нулю. Эти силы можно рассматривать как неизвестные активные силы, связанные с нормальными реакцнямн иекоторымн эмпирическими зависимостями (например, в виде законов трения скольжения нзи качения).
72 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК !ГЛ. 11 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ Дифференцируя уравнения голономиых связей (2), получим зм Х., — с(х + — с(! = О (и= 1, 2, ..., й), дЛ, дЛ, дхт Р дг =! откуда зм — р(х = — — р!!'; дуя ду„ дх, т др р=1 (15) кроме того, из уравнений неголономных связей (3), которые можно представить в виде ар! ~вюйар,дх,+арсИ=О (р=1, 2,, г), т=1 имеем ЗА! ~ а.„дх,= — а,д!. т=1 (16) Принимая во внимание равенства (13), (14), (15) и (16), преобразуем уравнение (12) к виду А г(7'=!((7 — )~~~ )ь„+" г!! — ~„11 а !!!.
(! 7) Если имеют место условия (11), то второй и третий члены правой части уравнения (17) обращаются в нуль, и мы имеем г!т = ди. откуда, интегрируя, получим интеграл энергии (13) Итак, уравнения Лагранжа 1-го рода дают интеграл энергии, если: 1) активные силы, действующие на систему, имеют потенциал; 2) геометрические (конечные) связи системы идеальны и склерономны, т. е. от времени явно не зависят; 3) дифференциальные (неголономные) связи системы идеальны и являются линейными и однородными функциями скоростей. Очевидно„что уравнения Лагранжа 1-го рода дадут интеграл энергии и в случае, когда неголономные связи являются склерономными, т. е. когда ар, не зависят явно от времени и ар= Он но это требование ие является необходимым; необходимо лишь, чтобы было ар — — О, т.
е. чтобы эти связи были однородны относительно скоростей. 74 уРАВнения дВизкения системы мАтеРиАльных точек 1гл ы ф 8. Уравнения движения системы в обобщенных координатах 1. Уравнения движения голономной сястемы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа 2-го рода). Рассмотрим движение по отношению к основной инерциачьной системе отсчета механической системы, состоящей из М материальных точек. При этом положения точек системы определяются ЗИ лекартовыми координатами х,. Пусть на систему наложены только голономные связи вида У„(х; Т)=0 (и=1, 2, ..., (Т). Тогда число независимых координат будет равно и положение системы можно однозначно определить л соответствующим образом выбранными независимыми ме!Кду собой параметрами любой размерности и!, оз, ..., о„, которые называют обобщенными (или лагранжевыми) координатами системы. Заметим, что параметры и, могут быть отнесены и к любой подвижной системс отсчета, движение которой по отношению к основной системе известно.
Поскольку параметры и! определяют положение системы однозначно, то все декартовы координаты х, могут быть выражены через д! равенствами вида х, = (р, (б! Ч! ° ° ° б ' г) Уравнениями (1), по существу, учитываются зсе наложенные на си. стену голономные связи. Если функции !р, явно не содержат времени, механическую систему называют склерономной. Так как е бх = 7 — 'бб! (У=1, 2, ..., З7!Г), 'кт дх„ А'я' ди! 1=1 то, подставляя эти выражения вариаций координат в уравнение Даламбера †Лагран, получим ~)„(Х,— т, ~,') )~~-~-'-бд! = О, ! ю=! илн, раскрывая скобки, зы з зы т=! т=! Первая из сумм в левой части равенства (2) есть элементарная работа бА всек действующих на систему сил, так как ЗА! зм л ЬА= ~ Х Ьх,=~~ Х )~~ — ~б!у!.
л 1 и=! !и! Ясно, что зм л и ЗЧ бА='))',')',Х,' ' б„='~',Ьу,~',Х, дхл =Уд,(йуи «=11=! 1=! где величина ЗА! УХ дх. " дб! ли! (4) называется обобщенной силой, отнесенной к координате д1. Преобразуем теперь второй член левой части уравнения (2), Имеем зм л зл л л=! 1=! Сделаем теперь предварительно несколько замечаний относительно дифференцирования координат. Очевидно, что дхи дхи дхл дх, . дх, — '=— х = — "71+ — 'уз+ + — 'у + — '= б! и ду! д,у1 ' ' ' дии и ду и Сч дхл ° дхл ~> !у! '+ — ° ли! дую д! 1=! Взяв от обеих частей частную производную по д1, получим дх„ дх дуу ду! (6) Далее и у л л'х„ Выражение в скобках есть, очевидно, — '=х; следовательно, л! (7) а з! уРАВнения дВижения В ОБОБщенных ХООРдинАтАх 75 76 хиавнкиия движения системы матьвилльных точек 1гл и На основании равенств (6) и (7) преобразуем двойную сумму в пра- вой части уравнения (6); имеем и 'зм 1=1 'ч=1 (7') Введем теперь выражение кинетической энергии системы ~~ Лгчхч1 (8) тогда, так как х ) д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
