1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 14
Текст из файла (страница 14)
1, то х ~ д, д, 1 и зм ат с ал, зл ат с ал„ вЂ” =ах лах де~ а;а т ч д,7 ,1 Следовательно, выражение для двойной суммы в уравнении (7') пре- образуется к виду ат,, Возвращаясь к равенству (2), получаем уравнение Даламбера— Лагранжа в обобщенных координатах в виде и ~~, ~д ~ дт ату (9) l дтт дт — — — — (1=1, 2, ..., и), "С ~ даг~ дй (10) В этом уравнении все вариации обобщенных координат Ьд,.
произвольны, а потому, полагая все, кроме одной, равными нулю, получим, что вырансение в фигурной скобке при этой вариации равно нулю. Рассуждая так же по отношению к оставшимся теперь и — 1 слагаемым, найдем, что выражение в фигурной скобке и прн следующей вариации равно нулю, и т. д. Таким образом, получим следующую систему п уравнений: $8! уРАВнения дВижения В Ововшенных кООРдинАтлх 77 Эта система есть система обыкновенных дифференциальных уравнений втоРого поРЯдка относителыщ обобщенных кооРдинат сус, с7,, ..., с7„(см. п.
2). Интегрируя ее„находим координаты системы с7 как функции времени и 2л произвольных постоянных, которые опрелеляются обычным способом по начальным условиям. Следовательссо, система уравнений (10) вполне определяет движение. Уравнения (10) называют уравнениями Лагранжа 2-го рода. Важное преимущество уравнений (10) по сравнению с уравнениями движения в лекартовых координатах состоит в том, что число этих уравнений равно числу степеней свободы системы и от числа частиц, образующих систему, не зависит; кроме того, уравнения (10) не содержат наперед неизвестных реакций связей. Поэтому уравнениями Лагранжа 2-го рода широко пользуются для изучения движения голономных систем.
2. Выражение кинетической энергии в обобщенных координатах. 1(ннетнческая энергия системы в декартовых координатах имеет вил (11) Для преобразования этого выражения к обобщенным координатам подставим в равенство (11) выражения производных от декартовых координат по времени. Принимая во внимание зависимости (1), получим х, = у — ' с7, + — ~ (т = 1, 2...., ЗМ). жч дх~ ° дхч с=с При этих значениях х, равенство (11) дает или, возводя в квадрат и меняя порядок суммирования, а Злс ссс-с с ая 1 + 1 ~ч~т~ (дхч)а ми! тв твлвнвния движения системы млтевилльных точек 1гл, и Введем обозначения дхл дх„ Лà — = Ы1!', у дэ дат т=1 зм зж т=! м=1 (1 3) где а, = а н Тогда 1 жч ° ° ъч ° 1 Т= 2,7а а~уЧ,77+ ДадЖ-+ 2 с=Т,+Т,+Т,, (14) В 7=1 причем вообще а д.с~рнчю ...Ч„;г, и Т,, Т, и Тз соответственно будут функциями второй, первой и нулевой степени от скоростей.
Следует заметить, что в выражении (14) коэффициенты а, д, с могут явно от времени не зависеть, Таким образом, в общем случае кинетическая энергия системы представляет собой функцию второй степени от обобщенных скоростей д. Если система склерономна (связи явно от времени не зависят), то в правые части равенств (1) время явно не войдет и — "' =О (э=1, 2, ..., ЗМ). дт Тогда д,=О, с=О (1=1, 2, ..., и), и выражение кинетической энергии в этом случае приобретает вид 1 %ч Т= — т„а, д,о,, (1б) с, т=~ где а11 бУдУт фУнкциЯми только кооРдинат дн да, ..., Рю Таким образом, в случае склерономной системы кинетическая энергия есть однородная функция второй степени от обобщенных скоростей, или, иначе, квадратичная форма от этих скоростей.
Из равенств (14) или (15) видно, что левые части уравнений (10) представляют собой некоторые функвии от д„д,, дн н, следовательно, уравнения Лагранжа 2-го рода действительно являются системойобыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат дв Явный вид этих уравнений будет получен в п. 7. $ З! УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 79 Механическую систему с л степенями свободы, положение котоРОй ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ И ОбабЩЕННЫМИ КООРДННатаМИ дь да ..., дл, МОЖНО.
следуя идеям Г. Герца, рассматривать как одну точку в пространстве л измерений. Тогда уравнения д, = д,((), д2 = д2 ((), .... д„ = д„ (1) представляют собой закон движения втой «изображающей» точки или, если на время д смотреть как на параметр, — уравнение траектории этой точки в параметрической форме; эта траектория будет, очевидно, кривой в пространстве и измерений, и ее можно назвать траекторией системы. Каждая точка этой траектории соответствует конфигурации системы в данный момент времени, определяемой совокупностью значений координат дн д2, ..., д .
зн Если приписать «изображающей» точке массу М= ~ т,", т. е. у=! массу, равную массе всей системы, то выражение кинетической энергии (13) можно преобразовать следующим образом. Согласно равенствам (13) зм дх„дх ъ1 тл 'дх„дх дди дд! л' д М дд1 дду ' л=! -1 а,.= ~т, Тогда, полагая зм Х т„дх дх — — — »=а'Л М дд1 дд/ '!' 2=1 л а,' г(д11(д. = 1122, 1, 1=1 получим л 1, 1=1 (13') Выражение л Цаг ~~~ а' 1(д г(д 1, 1=1 г«1бд1+~22бд2+ ' ' ' +Ю!бдл' (16) представляет собой фундаментальную метрическую форму, определяющую метрику рассматриваемого л-мерного пространства; г(г является элементом дуги «траектории системы», т. е. траектории точки, изображающей систему в л-мерном пространстве.
3. Обобщенные силы. Из равенства (3) (см. п. 1) следует, что выражение элементарной работы действующих на систему активных сил имеет вил 36 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1ГЛ. П По аналогии с выражением элементарной работы силы, действующей на точку с координатами хн ха хз. ЬА = Х~бх~+ Хзблз+ Хзблз величины (), и называют обобщенными силамн. Из равенства (16) видно, что обобщенные силы можно определить как коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении элементарной работы действующих на систему сил. Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты и определяется соотношением %) = — ° (А) =[р)' Например, если д — угол, то Я имеет размерность момента силы.
Величины ф могут вычисляться по формуле (4). Однако практически часто удобнее пользоваться другим приемом. Так как все Ьд между собой независимы, то для определения Я, можно сообщить системе такое виртуальное перемещение, при котором Ьз~ ~ О, а все остальные бр равны нулю. Подсчитав работу ЬА, всех сил на этом перемещении, мы, согласно равенству (16), будем иметь ЬА, = Я,Ьун (17) Следовательно, коэффициент при Ьд; в выражении (17) и дает искомую обобщенную силу С2н Пример. Пусть тело совершает плоскопараллельное движение параллельно плоскости Оху под действием снл г"ь Рь ..., Ра Примем за обобщенные координаты декартовы координаты хс я ус центра мзсс тела н угол поворота ч вокруг оси Сз', перпендикулярной к плоскости Оху и проходящей чевез центР масс (Р, = л , дз — У, д = Т), Тогда, сообщаа телУ виРтУальное перемещение, прн котором коордйнзта хс получает приращение Ьхс, найдем, что на этом перемещения элементарная работа ЬА, (~Ч" Р~~) Ьх н ~'„1, = Ч1', Р „.
Аналогично найдем, что 9, = ~' 7'чг, Сообщая теперь виртуальное переме» щение, при котором тело совершает поворот вокруг оси Сл' на угол бй, получим ЬАз=("'~~ аоа, Р 1 Ьт я 1), = ~ аоа,, Р . I ч Случай потенциальных сил. Если все действующие на механическую систему активные силы потенциальны, т. е. для них сУществУет потенциальнап фУнкциЯ (7(хн хз, ..., лзлй 1), то Хч= д (ч= 1, 2, ..., 367). дУ дхч Э з] уРАВнения дВижения В ОБОВшенных ХООРдинАТАх 61 учитывая, что х =!р„(гу1, !уз, ..., гу„; у), мы можем представить У в виде У(гу1, !ун ..., гук; г). Тогл.а по формуле (4) получим ЗА ЗМ хк у=! ч=! или дУ Я = —, дгу! ' (18) Полагая здесь т+У=у.(у, д, т), (20) окончательно получим — ~ —.) — — =0 (1=1, 2, ..., и). гду.к дЕ (21) дг 1дгу! ) д!у! Уравнения (21) являются уравнениями Лагранжа дая голономной системы.
находящейся под действием потенциальных сил. Функция Т =Т+ У= Т вЂ” 1У, представляющая разность между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа нли кинетическим потенциалом (по Гельмгольцу). Эта разность, как и кинетическая энергия Т, является вообще функцией второй степени от скоростей, т, е. Лу+ (!+ уз (22) где у.з и у.! являются соответственно функциями второй и первой степени от скоростей гуу, а уе зависит только от координат гу!. Из уравнений (21) видно, что движение системы вполне определяется заданием для нее некоторой фун)гиии (.(гу, гу, у), которая вооб!це может и не определяться равенством (20).
Если функция У. определяется равенством (20), где У = У (гу, г), т. е. имеет вид (22), 6 Н. Н. Вукгокьч т, е. обобщенная сила в этом случае равна частной производной от силовой функции по соответствующей обобщенной координате. 4. Уравнения Лагранжа для системы, находящейся под действием потенциальных сил. В этом случае уравнения (10), если заме- мить в них сУ! значениями (18), примут вид — — ) — — = — (! = 1, 2, ..., л). д гдТ1 дТ дУ (19) гу! ~ дгу! ) дгу! дгу! д(У Учитывая, что У= У(гу1, гу,, ..., гу„, г), и, следовательно, —.
=О, дгу; можно уравнения (19) представить в иной форме, а именно д д(Т+УУ) д(т+УУ) 0 ду дгу! д!уг 82 УРАННЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК (ГЛ !1 Но поэтому предыдущее равенство можно представить в виде л и 1=! 1=! Пусть Л от времени явно не зависит, т. е. 1..= 1.(а, и). Тогда дб ° дЕ " Л, Ч+ — Ч1= да1 дй! й! и равенство (23) примет вид н —:,~х(-:,")- ~= Отсюда имеем интеграл Х~ ! дб — и1) — !'. = сопя!.
11 дй! Рассмотрим отдельно следующие случаи. 1) Произвольная динамическая система. В этом случае (24) (25) 1'. = Е .+ с1 + 1.0, (26) где Ег и Ц являются, как было выше указано, соответственно функциями второй и первой степени относительно скоростей ио а й зависит лишь от одних координат а1. По известной теореме Эйлера об однородных функциях — а!= ч —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
