1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 16
Текст из файла (страница 16)
35). Пилиидр находится иа шероховатой горизонтальной плоскости, вдоль которой может катиться без скольжения. Системз имеет, очевидно, две степени свободы, и ее положение определяется параметрами х и ф (р, = х — расстояние ци- А линдра от его нача тьного положения, ре = 1р — отклонение стержня от вертикали). маа е Вычислим сначала кинетическую энергию Т„цилиндра н Т, стержня.
По теореме Ненига 1 Р т 1 Реот т = — — РА+ — — ы, 2 л 2 2г Р 1Р т 1р!' В Т = — — ос+ — — м, (а) ст 2 3 2 123 ст Рис. 35 где множители перед м и м,т являются соответственно моментами инерции т т цилиндра и стержня относительно осей, проходящих через точки А и С перпендикулярно к плоскости рнс. 35. Вырзжая все скорости через х и ф и учитывая, что о = о (-о„,, где численно о = 0,5(ф, е = о , имеем ете ' ' лер А' х ° т !тфт юА=х. м = ' м =ф. ос= — +хе+(фхсоаф. А ' к 7с ст ' 4 В результате окончательно получим 3Р.
Р !. (т Т= Т + Т = — — хт+ — хт+ (хф сов ф-(- — фт). 4Е 2У~ 3 Отсюда дТ ЗР+2р ° р! ° дТ х+ — фсозср; — =0~ дх 2бт 2л с)х дт р 7! . р — = — — х соз ф + — ф,' — = — — (хср з1п ф. дф х(2 3 ) дф 2д Для вычисления обобщенных сил сообщаем сначала системе перемещение,. при котором х получает приращение бх, а ф = сопзС получаем бА, = 0 и, следовательно, О, = О. Сообщая теперь другое, независимое от первого. 88 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ, Н перемещение, при нотором р получает приращение б(А а х= сопя!, найдем 1 2 4А, = — р — з!и ф бгс; следовательно, ()т = — р — з!ну".
2 2 Составляя теперь уравнения Лагранжа, получим после очевидных со- кращений — [(ЗР+2р) х+рйрсоз 2] =О, й (а) й / ° 2 — ! х соз ф + — !в + хтр з! п в = — е з!и ф. йЕ (, 3 Таковы искомые дифференциальные уравнения движения системы. Чтобы найти закон малых колебаний, примем, считая угол у малым, з!пгу кк <р, созфъ1 н пренебрежем членом х~зф, содержащим произведения малых величин. Тогда окончательно получим слелующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы: (ЗР+2р) х+р(]р=О, х+ — !!)+лир=О, 2 3 (б) Исключая из этих равенств х, найдем для определения м уравнение 'р+Азв=О, где 3 (ЗР+ 2Р) А 6Р+ р Интегрируя уравнение (в) и полагая при !=0 м йм 4~=0, получим (в) (г) глз соз Зй (л) После этого, интегрируя первое из уравнений (б) и полагая при Т = 0 х = О, х = О, вайлем х = !в, (1 — соз АТ).
Р ЗР+2р У лг (е) Уравнения (в) и (е) определяют закон малых колебаний системы, частота которых равна Л. Такой сравнительно простой результат для системы Рис, 36. с двумя степенями свободы получился здесь благодаря тому, что !3, О. В общем же случае прн (;), ~ 0 и 1;), ф 0 колебания системы с двумя степенями свободы выглядят значительно сложнее (см. гл. П!), 4. Рассмотрнм материальную точку с массой т, которая движется в потенциальном силовом поле с потенциальной функцией (г (х, у, л) относительно подвижной системы отсчета хул, вращающейся с постоянной угловой скоростью м вокруг оси л (рнс. 36); вращение происходит по отношению к инерциальной системе отсчета х1у,»и Выберем в качестве обобщенных координат координаты точки х, у, л в подвижной системе отсчета.
Для составления уравнений Лагранжа вы. числим проекции абсолютной скорости точки на подвижные оси (напоминаем, что в уравнениях Лагранжа Т есть кинетическая зиергия абсолютного движения). Имеем о» х з)у! ОГ у+Эх ю» х Тогда кинетическая анергия точки будет ((х — у)г+(у+ )г+ '), 1 или Т вЂ” т (хг+ уз+ х') + тв (ху — ух) + — тат (ха+ уг), (ау 2 2 Отсюдз дТ т (х — ау), — = т (ау+а'х); дх дг т (у+ах), — = — т (ах — агу); ду дг дх дУ ду дТ де дт тл, — =О. де Теперь, составляя соответствующие уравнения Лагранжа, будем иметь дУ . т (х — 2ву — в'х) = — ' д 1 дУ .
т(у+2ах — а'у) = —; ду ' дУ тл дх ' (б) Мы получили дифференциальные уравнения относительного движения точки. Как видим, при применении метода Лагранжа зги уравнения составляются так же, как и уравнения абсолютного движения; все определяетсв лишь выбором соответствующих обобщенных координат. Первые два нз уравнения (б) можно представить в виде тх =-д — + 2тау+ тагх; дУ дх дУ ту = — + ( — 2тах) + твгу. ду Легко видеть, что последние члены в правых частях уравнений (з) представляют собой проекции переносной (центробежной) силы инерции, а предпоследние — кориолисовой силы инерции. Таким образом, результат совпадает с тем, который дает метод, изложенный в части 1, $ 39. В рассматриваемом примере уравнения, дающие связь декартовых координат точки в основной системе отсчетз, т.
е. хи уо еь с обобщенными координатами х, у, л, имеют вид х,=хсозаà — уз1пвй у,= — хз1пв(+усозаГ, е,=х и содержат явно время. Следовательно, система не является склерономной (в силу условий, налагаемых движением системы отсчета хуе, к которой отнесены обобщенные координаты); позтому здесь, в отличие от предыдущих примеров, кинетическая энергия ие является однородной квадратичной й З1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 3% йб чглвнения движения систеыьГ млтввилльных точек Ггл. и формой от скоростей и, кзк видно из равенства (а), имеет вид Т = Т, + Т, + Т, где Тз= —,т (ха+уз+ха); Т1 — — та(ху — ух)', 1 или — т (х'+ у'+ хз) — — тьР (ха+ у') — (Г = а. 1 ° ° ° 1 2 2 В атом равенстве первый член можно рассматривать как кинетическую знергию точки в относительном движении, а второй — как потенциал переносной (цеитробежной) силы инерции, который накладывается на поле потенциала (Т.
Гироскопический член Т, = та(ху — ух) в выражение интеграла (г) не входит. В соответствии с равенством (31) гироскопическая сила должна иметь проекции: Г сГ дТ~ 'Г дг дх Но дт, — = — тау, д.с дт, — — = — тау дт дх дТ, и — = тау. дх Следовательно, К = 2тау; аналогично 0 — 2тах, т. е. гироскопической силой здесь является кориолисова скла инерции (см. равенство (в)). Ее работа дА=()хдх+ф„ду 2та(унх — хс)у)=2та(ух — ху)да=О (см. также ч. 1, $ 39, п.
4). По втой причине и отсутствует гироскопический член в интеграле (г). 7, Уравнения движения для склерономной системы, разрешенные относительно вторых производных, Для склерономной системы кинетическая знергия будет однородной квадратичной формой скоростей, а уравнениями движения будут уравнения (10), т. е.
— — — — — (а=1, 2, ..., и), (36) дГ ( дра ) дяа где, по предположению 1 Сч ° ° 1 Хч Т = 2,7 Г оц~йЧ) = 2 д~ о у9~г)~ ьл Очевидно. что дТ 1 жч дам дйл = лала дйа Р'й) н) 2 1 Т = — та'(ха+у'). 2 Но поскольку оказалось, что Т, как и (Г, явно от времени не зависят, .здесь имеет место обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби) Тз — То — (Г = Л 91 »а! явлвнвния движяния в ововшенных хоовдинлтлх Подставляя эти выражения в уравнения (36), имеем а а л да(» ° 1 мч дад ~~' аг»д, + д~д — д!д7 — — 2,7 — дгд7 —— 0„(lг = 1, 2...,, п).
г=! Д 7=~ ' д !=» (31) и уравнения (31) примут вид Х' ' .уа2!д д д / мч 1 /да!» да7» дан) .. а.»дг + ,уа 2 ! д + д — д ) д!д7= Г) (7» = 1 » , и)- .Уа 2'! дд, дд, дд»l », 7 (38) Введя теперь символ Кристоффеля -'~'",';+ — '",'," — — ",",) ==ГЛ (39) получим уравнения движения (38) в следующей форме: аг»дс+ ) ~ ~ дауд! О» (7» = 1, 2, ..., п). (40) г=» И 1=1 7) = й аг» !) дискриминант квадратичной формы »), соответствующий элементу ад», обозначим че- Обозначим через ~~.", аг»д,д»! минор ь» рез Аг»', тогда Ад» а㻠— —— 0 будет элементом определителя, взаимного с й, причем будут иметь место два следуюШих соотношения: ~а»;ац — — О (еслн (Ф 1), » ~ а»,а»,— 1 (если 1=1).
» В эти уравнения вторые производные входят линейно, и нетруднсь разрешить эту систему и уравнений относительно дн д»... „д„. Более изящное решение получим, введя особый символ, так навываемый символ Кристоффеля. Разбивая второй член левой части в уравнениях (37) на два и переставляя в последнем из ннх индексы 1 и Л, будем иметь жч дад~ .. 1 ~~ дам .. 1 ч;ч дау» .. С 7 д2 гглвнения движения системы млтегилльных точек 1гл. и Умножим теперь обе части уравнений (40) на аы и нросуммируем по л; получим л я и и б !~~~аглая!Ч!+ ~) ~гд~ |а Ч Ч =~~» аяфв, я=! г=! 1,/=! «=1 ь=! При у =у член первой двойной суммы будет Ч!~ а, ам =Ч',; есди же то члены первой двойной суммы обращаются в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
