1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(10) Сообщим точкам системы виртуальные перемещения (см, ч. 1, 9 28) и уииожим каждое из уравнений (!0) скалярно на виртуальное перемещение Ог соответствующей точки; сложив полученные выражения почленно, будем иметь ~(Р,—,— "„„';+8),) О,=О, т Но для связей идеальных и неосвобождающнх,'~,К ° ЬР„=О (см. ч. 1. й ЗО). Следовательно. «'(Р, т,Я).бг,=О. т (П) $61 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ Выражая скалярное произведение, стоящее под знаком суммы в уравнении (11), через проекции сомножителей, получим ~~ ((луч лгу дгь ) блу+ (лиу лгу,д2 ) бУР+ причем суммирование распространяется на эсе точки системы. Уравнение (11) представляет собой соединение принципа Даламбера с принципом виртуальных перемещений и иногда называется уравнением Даламбера — Лагранжа или символическим уравнением динамики. Это уравнение является наиболее общим уравнением механики и, можно сказать, включает в себя всю механику; из него можно получить как следствие общие теоремы динамики н уравнения движения механической системы.
ф 6. Общие теоремы динамики, вы одимые из уравнения Даламбера — Лагранжа 1. Предварительные замечания, Общие теоремы динамики, изложенные в й 3, устанавливают зависг-Чости между динамическими величинами, характеризующими движение системы, и действующими на систему силами. как активными, так и реакциями связей, причем связи могут быть любыми. Эти теоремы можно получить и из уравнения Даламбера — Лагранжа, если. отбросив с чзи, заменить их соответствующими реакциями и рассматривать эти реакции как активные силы, а все точки системы считать при этом свободными. т. е. имею- шими любые виртуальные перемещения. Пользуясь указанными теоремами, можно, как мы видели, изучать движение системы и определять реакции связей, При этом, если нас интересует только изучение движения, то реакции связей из соответствующих уравнений нужно тем илн иным способом исключать.
Уравнение Даламбера — Лагранжа позволяет получить другие выражения общих теорем динамйки, не содержащие реакций связей и дающие непосредственно зависимость между динамическими величинами, характеризующими движение системы, и действующими на нее аклгиаными силами. Однако при этом на связи системы должны быть наложены некоторые ограничения. 2. Частный случай теоремы об изменении количества движения системы. Пусть на систему наложены идеальные стационарные связи, обладающими тем свойством, что они допускают поступательное перемещение системы как абсолютно твердого тела параллечьно некоторой неподвижной оси х.
Тогда к виртуальным перемещениям 5 Н. Н. Буцуоььц бб РРАВнения дВижения системъ| мАтеРиАльных точек |гл, |! системы будут принадлежать и такие, для которых перемещения всех точек системы одинаковы, т, е. бг «обз (т 1 2 и) где бз имеет одно н то же значение для всех точек системы, а «о= сола|. Уравнение (11) нз й 5 для такого виртуального перемещения системы примет внд ~(р,— т,— "„,",) «збз=б. Ч Отсюда, сокращая на бз и учитывая, что получим (2) Заметим, что в правую часть равенства (2) входит сумма активных сил, и притом только внешних, ибо сумма всех внутренних сил.
как попарно равных и противоположных, дает нуль; чтобы подчеркнуть это обстоятельство, здесь и введен символ «(а, е)». Учитывая, что Д ° хь=ьс и Р ° хв=Р„, где ь) и гт суть проекции векторов !В и Р на ось х, будем окончательно иметь Ф=Х"". (3) Уравнение (3) дает следующее выражение теоремы об изменении количества движения системы; если на систему наложены идеальные стационарные связи, допускающие в любой момент времени поступательное перемегцение системы параллельно некоторой неподвижной оси, то производная по времени от проекции количества движенип системы ни вту ось равна сумме проекций на ту же ось всех действуюгцих на систему внешних активных сил.
Выше мы имели |;|=Хтуо.= «юс где ос есть скорость центра масс, а М вЂ” масса всей системы. Отсюда 0л 'Иосл где ос есть проекция скорости центра масс системы на ось х, параллельно которой возможно поступательное перемещение системы. Подставляя это значение Я в равенство (3), получим (4) » ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ а б] Это равенство выражает теорему о движении центра масс системы в форме, аналогичной той, которую уравнение (3) дает для теоремы об изменении количества движения, 3. Частный случай теоремы об изменении кинетического момента системы.
Пусть наложенные на систему идеальные стационарные связи допускают поворот системы как абсолютно твердого тела вокруг некоторой неподвижной оси х (рис. ЗЗ). Тогда к числу виртуальных перемещений любой точки с массой лг, будет принадлежать перемещение бг„=ббрхб Х г„ (5) где бгр есть элементарный угол поворота вокруг оси х, а г,— радиус-вектор, проведенный из какого-нибудь центра О, лежащего на этой оси. Подставляя выражение (5) для Ьг в уравнение Даламбера — Лагранжа (формула (11) Э 51, получим Рис.
ЗЗ. Это уравнение можно представить в виде хо 24(г,хя],М)=хб Х(г,хр,). (6) Здесь М ч где Ор есть кинетический момент системы относительно центра О. Заметим еще, что в правой части равенства (6) сохранятся только моменты внешних активных сил, поскольку сумма моментов внутренних сил, как попарно равных и противоположных, обращается в нуль; таким образом, будем иметь Но О ха = О, а (г Х )Р„) ° хб = (г, Х уг ) = шош )Р . или, переставляя циклические множители в смешанном произведении и сокращая на ЬР, 88 уРАВнения дВижения системы л1АтеРиАльных точек [Гл.
н В результате окончательно получаем Уравнение (7) дает следующее выражение теоремы об изменении кинетического момента системы: если на систему наложены идеальные стационарные связи, допускающие в каждый момент времени вращательное перемещение системы вокруг некоторой неподвижной оси, то производная по времени от кинетического момента системы относительно этой оси равна сумме моментов относительно той же оси всех действующих на систему внешник активных сил.
4. Частный случай теоремы об изменении кинетической энергии системы. Пусть на систему наложены идеальные стационарные связи. Как известно (см. ч. 1, 8 28), при стационарных связях истинное перемещение системы принадлежит к числу виртуальных. Тогда, принимая за виртуальные перемещения точек системы их истинные перемещения, т. е, полагая бг =йг, (у=1, 2, ..., и), мы получим уравнение г(аламбера — Лагранжа в виде ~Л ~рт тт 11г ~ ' йгт — () Но где '=-1"( †) т есть кинетическая энергия системы. Следовательно, (8) Равенство (8) дает следующее выражение для теоремы об изменении кинетической энергии системы: если на систему наложены идеальные стационарные связи, гло дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ действующих на систему внешних и внутренних активных сил.
Если же система является неизменяемой, то в правой части уравнения (8) останется элементарная работа только внешних активных сил. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 69 Примечание. Прн решении примеров, рассмотреннмх в Е 3, н, 5, мы, по существу, пользовались уравнением (8), тая как в этих примерах наложенные па систему связи были ндеальнымн п стационарными. В частности, первый из рассмотренных в п. 5 примеров показывает, что шероховатая поверхность, вдоль которой тело катится без скольжения, является идеальной связью, если мы пренебрегаем деформациями поверхности и катящегося тела,тах кая элементарная работа реакций поверхности (нормальной н силы трения) равна нулю. гзо если тело скользит вдоль шероховатой поверхности, то такая связь не является идеальной, поскольку в этом случае работа силы трения не равна нулю.
й 7. Уравнения движения механической системы в декартовых координатах Шзт-2 Лхзт-1 Шзт' Хзт-2' Хзт-1' Хзтз Лз~-2 Лзт-Р Лзт' Рзт-2 )аозт-1 озт При этих обозначениях получаем следующие дифференциальные уравнения движения точек системы в проекциях на оси декартовых координат: ". Ег: =Л",+Й. (У=1, 2, ..., Зйг), (1) Эти уравнения содержат 6М неизвестных: ЗИ декартовых координат хт и ЗМ проекций реакций )с„которые должны быть определены как функции времени. Пусть на точки системы наложены: 1) связи конечные, выражаемые уравнениями вида Ук(х; Ю)=0 (И=1, 2, ..., Й); (2) 2) связи дифференциальные, линейно зависящие от скоростей и выражаемые уравнениями вида зм ~~~~а,х + ар — — 0 (р=1, 2, ..., г), т=1 (3) 1.
Уравнения Лаграижа 1-го рода. Рассмотрим механическую систему, находящуюся под действием активных сил (как внутренних, так и внешних) и подчиненную конечным и дифференциальным (не- интегрируемым) связям. Условимся в дальнейшем число точек системы обозначать через Дг, а декартовы координаты этих точек †одн буквой х с индексами 1, 2, ..., ЗДЗ (см. Э 1, и. 3). Соответственно проекции действующих на точки системы активных сил будем обоаначать одной буквой Х, а проекции реакций связей — буквой гс с теми же индексами. Таким образом, масса точки системы с индексом т, ее координаты и проекции равнодействующих приложенных к этой точке активных сил и реакций связей будут соответственно 76 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЪ| МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1ГЛ. Ы причем ар, ар( х; ~.
Таким образом, мы имеем неголономную систему, на которую наложено Й конечных и г дифференциальных неинтегрируемых связей, причем все связи явно зависят от времени. Дифференциальные уравнения движения (1) вместе с уравнениями связей (2) и (3) дают систему ЗМ-+а+г уравнений для определения 6М неизвестных х, Я,. Следовательно, число неизвестных будет на ЗМ вЂ” (а+г), т. е. на число степеней свободы системы, больше числа имеющихся уравнений. Отсюда видно, что задания связей их уравнениями вида (2) и (3) недостаточно для того, чтобы сделать соответствующую задачу динамики определенной.
Необходимо, очевидно. наложить на связи системы дополнительные ограничения. Допустим, что все связи являются идеальными, Тогда, как мы увидим, задача будет определенной. При идеальных связях воспользуемся для изучения движения системы уравнениями (11') из 3 5, в которые реакции связей ие входят. При наших обозначениях этн уравнения Даламбера — Лагранжа имеют внд ~~Уз(Х,— гл, ~,') Ьх,=О. (4) Вариации координат Ьх,(У= 1, 2...,, ЗМ) связаны между собой условиями, налагаемыми на них уравнениями связей (2) и (3); этн условия, согласно п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
