1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Подставляя все найденные величины в равенство (а), получим овшив тяогемы динамики системы З з1 и направлены по прямой, их соелиняющей. Пусть материальная точка А действует на точку В с силой РА, а точка В на точку А с силой РВ (см. рис. 17); тогда по третьему аакону Ньютона Положим, что 1РА! ~РВ! У(РАВ) где РА — — АВ.
Если точки А и В совершат некоторые элементарные перемещения с(гл и Игл, то работа этих сил будет РА с(гл+Рв "гв=РВ. (огз — с(гл)=РВ л(гл — гл)=РВ ~АВ Обозначим орт вектора АВ через а~. Тогда АВ=РАВа~, РВ— = -1- у'(РАВ)а" (знак зависит от направления силы РВ) и ЫАВ= = арлан'-~-РАВс1а~. В результате, учитывая, что а ° а' = 1 и гае сЪие = О, получим РА ' ЙТА+РВ г(~ В РВ ' ЙАВ = — У(РАВ)БУРАВ' Отсюда следует, что элементарная работа внутренних сил, с которыми две точки системы действуют друг на друга, равна произв"- дению силы взаимодействия на дифференциал расстояния между этиии точками.
Итак, если внутренние силы зависят только от расстояния, то %Ч г 1 Ъз Ч ,7А Рт ~(гт= 2 Ага(~ У(ры) ори! Положим, что — 2~(+ ~(ра1) (ры) = (и", 1 ~ч н> (24) где 0~1 есть функция взаимных расстояний между точками системы, Н1 которая называется потенциалом внутренних сил (такая функция существует, потому что каждый член суммы есть дифференциал некоторой функции от рю); тогда уравнение (22) можно представить в виде ат — аи~1=Х Р ° г(гт, т или ((т+уо1)=ХР',.
(г„ (25) где Ъ' = — Ь. есть потенциальная энергия внутренних сил, или, просто, внутренняя потенциальная энергия системы, Если мы имеем неизменяемую систему, то для такой системы все йры=0, потому что расстояния между точками системы не изменяются; поэтому ч.",()-У(р„,) йр„) =йио)=б. откуда с.) ' = салай н) В этом случае работа внешних сил идет только на приращение кинетической энергии системы. Если система изменяемая, то, как показывает формула (25), работа внешних сил идет и на приращение кинетической энергии, и на изменение внутренней энергии системы (например, упругой энергии).
Итак, для неизменяемой системы имеем Х счет ' С(ст (26) т е дифференциал )синетичесной энерсии неизменяемой системы равен сумме элементарных работ внешних сил. Эту теорему можно также представить в интегральной форме, аналогичной (23). Допустим, что внешние силы, работа которых отлична от нуля, потенциальны (нулю может равняться работа идеальных связей; подробнее об этом см. й Т, п, 2). Тогда т;~ рс й ~(,(е) ~)с(е) где )с — внешняя потенциальная энергия системы, и уравнение (25) )е) дает й(Т+)с~'~+)'~ ~) =О. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае имеет место интеграл энергии Т+-')сн)+ )г") = сопя) или Е = сопвй где Š— полная механическая энергия системы.
Механическую систему, для которой имеет место интеграл энергии, называют нонсереатиеной. Рассмотрим теперь теорему об изменении кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс, т. е. относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно. Для движения по отношению к основной (ннерциальной) системе отсчета имеем йТ=~ Р~ ° йг,+~ Е~ ° с(г„.
(27) На основании теоремы Кенига Я 2, формула (11)1 будет 2 '~ос+ 2 ~З т т ° (28) 4б ОШЦИЕ ТЕОРЕМЫ ДННАМНКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК )ГЛ 3 4! овщнн теогемы динамики системы Кроме того, г,=г +г,', где и — координата центра масс, а г,'— координата точки с массой т, относительно подвижныл осей Сх'у'з' (см рис 6); поэтому Х Р,' Иг,+ ь.', Р,' Иг, = »-1»=1 =Х Р»'г(гс+Х Р» г(г»+Х Рм'йгс+Х Р»'Йг» или ~~.", Р' ° бг + Х Р,' ° бг, = ~с;~ Р» А'с+ ХР»'А"»+ХР, ° бг» (29) так как третий член правой части предыдущего равенства Х Р» А'с=~Угс Х Р»=0.
» » поскольку по третьему закону Ньютона е „т; Р',=0. Вставляя в уравнение (2Т) выражения (28) и (29), получим » (' не) -;-г Я л,") = » = ~ Р,'.А"с+ У Р,' бг,+~ Р„с(г,. (30) Так как центр масс системы движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы и в которой сосредоточена вся масса системы, то для него, как и для всякой материальной точки, имеет место теорема об изменении кинетической энергии, т е, ф~.ч=,У,Р; ~"; ж » поэтому, сокращая в равенстве (30) равные члены, получаем г~-,')' „,,')=г'е;.г.;-~-ге.
ш.„" о1) 1» » Уравнение (32) выражает теорему об изменении кинетической энергии для движения системы относительно ее центра масс, а именно: дифференциал кинетической энергии сислгемы е ее движении относительно центра масс равен сумме элементарных работ всех внутренних и внешних сил на перемещениях их точен приложения ло отношению к центру масс. 42 овщмн творимы линлынкы смстимы мхтвгнлльных тоник (гп.
з Прнмеры. Теорема об изменении кинетической энергии позволяет устанавливать зависимость между перемещением системы и скоростями ее точек (тел) в начале и в конце перемещения. Для систем с одной степенью свободы с помощью этой теоремы составляется дифференциальное уравнение движения.
1. Однородный брус АВ весом Р положен на два одинаковых сплошных цилиндрических катка, весом 14 кажпый, которме могут катитЬСя баа скольжения по горизонтальной плоскости (рис. 20). К брусу приложена постоянная сила Р. Пренебрегая сопротивлением качению, найти скорость бруса Рис 20. В зависнцости от ЕгО пЕРемешениа з, а также ускорение бруса. Движение начинается из состояния покоя, брус по каткам не скользит. Применим для решения уравнение (23): Т вЂ” Тс - ч„; А„'-(-,'» А,'. т Г В нашем случае Т,=О, а Т=Т,+2Т„где 7',— кинетическая энергия 1 Р бруса, Т, — катка. Брус движется поступательно; следовательно, Т, = — от, 2 где о — скорость бруса.
Величину Т, подсчитаем по теореме Кйнига (й 2, формула (15)): 2 1 2 Т = — — о+-,у,м. 3 2 д с 2 х Выразим здесь все скорости через искомую скорость о. Учитывая, что точка К "с явлается мгновенным центром вращения, будем иметь ы= —, где 74 — ра- 77 ' )Е, диус катка. Далее момент инерции / = - — )7т. Наконец, так как брус о.г по кзтку не скользит, то скорость верхней точки катка о = о и о = о72, с Подставляя все эти значения в равенство (б), получим 3 О 3 Ц = — — "с= — —" ° а4д1бн Следовательно Т= Т,+2Тт= 8 (4Р+3()) о'.
) (г) Перейдем к вычислению работы. Внешними силами, действующими на катон, ЯвлЯютсЯ Р, Р, 4)н гст ((7 = Цт Ц), й(н 74т и Рь Рн где Р~ и Ра — силы овщип творимы динамики систпмы 43 — (4Р+ЗО) о'= Р з, 1 83 (д) откуда 2йР5 4Р+3() ' ускорения бруса продиффереицируем обе части равен- будем иметь ! гй/ йз — (4Р+3(г) о — = Р—. 4п о'г ж' Лля определения ства (д) по времени; ггз Но — = о, поэтому, сокращая, найдем окончательно 31 йо 4Р ~й 4Р+3() й Обращаем внимание на примененный здесь прием определения ускорения с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.
2. К брусу О массы шь лежащему иа гладкой горизонтальной плоскости, прикреплен шарнирно в точке А однородный стержень АВ, имеющий массу шз н длину 1 (рис. 21). Система начинает движение из состояния покоя и момент, когда стержень отклонен и до горизонтального положения АВз. л — ----3 Пренебрегая трением в оси А, найти скорость о у ва бруса в тот момент, когда стержень проходит через вертикаль.
Обратимся опять к уравнению (23). Так как внутренние силы работы не совершают, то, обо- значая кинетическую знергию системы в момент, когда стержень вертикален, через Ти будем иметь В Т, — Тз = ~~~~~ А () Рис. 21. ч Здесь Т, = О, а Т, = Т + Т . Пользуясь для вычисления Т„теоремой Кенига, имеем 2 1 3 1 3 у о = — шго ° у лв = — шяос+ — з с ы 2 ' 2 2 (б) где м — угловая скорость стержня.
а момент инерции з' = — т Р. Ско- 1 Сх 12 рость о центра масс стержня складывается из относительной (по отношеншо трения, препятствующие скольжению катков. Работа сил Р, (Г, и грт равна нулю, так как оии перпендикулярны к перемещениям их точек приложения. Для точки К имеем о = О и дгк — — о п1 = О. Поэтому Аг,г(г О, 1' К Р . Иг = О; следовательно, работа этйх сил на конечном перемещении будет 1' такжс равна нулю. Аналогичный результат получим для сил Мь Рь а также для внутренних сил давления и трения, действующих в точках О касания бруса н катков (относительные скорости перемещения этик точек равны нулю, как и скорость точки К).
Следовательно,' работу совершает только сила Р и Аг = Г а. Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получим 14 Ойщие теОРемы динлмики системы мАтеРиАльных тОчек 1гл, 2 к брусу) скорости е', численно равной 0,5 Рл н переносной скорости в; следовательно, о = О,б(м — о. В результате С Т, = — тгпэ+ — тт — +и' — (мо + 2 а'= 2 2 (, 4 / 24 ш,(квт 2 = — (т, + шу) од+ — ' — — т,1юо. (в) 6 2 Чтобы исключить отсюда величину м, заметим, что все действующие на систему внешние силы вертикальны. Следовательно, сумма их проекций на горизонтальную ось у равна нулю и проекция количества движения () системы на эту ось должна быть величиной постоянной.
Так как 1',), = О, то (,) = т о + т о = О. Учитывая направления в и вс, находим отсюда У !У 2СУ /1 1 2(ш,+тэ) Хат'( ~/ " 2С 2(2 Подставляя это значение (м в равенство (в), найдем окончательно (4т~+т,) (т, + ш,) 6 оэ. (г) эгт Работу здесь совершает только сила тяжести ттйч при этом АУ=О,61 ° ття. 1 Следовательно, уравнение (а) принимает А внд 1 — 1 шайс 2 Заменяя здесь Т, найденным значением, получим окончательно тт )У ЗУ~ 3. Ползуны А и В, весом Р каждый, соединены прикрепленным к ним шарнирно однородным стержнем длиной 1 и весом 1',) (рис. 22). Ползуны могут скользить без трения па взаимно перпендикулярным направляющилг (одна из которых горизонтальна).
На ползун А действует Рис. 22. горизонтальная сила Г, изменяющаяся по закону Р = гэ з)п рй Считая величину Гэ малой по сравнению с Р и Г), найти закон малых колебаний системы, если в момент 2 = О она находится в равновесном положении. Составим дифференциальное уравнение движения системы, пользуясь равенством (26), которое представим в виде г(т = ~" 2('А'„, () где гГАэ — элементарные работы внешних сил. Положение системы будем т определять углом р отклонения стержня от вертикали, считая его при малых колебаниях малым. Имеем Т = Т + Т + Т Воспользуемся тем, что точка К является мгновенным центром вращения для стержня АВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
