1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда и = ар, о = бр, где а = АК, б = ВК; поль- А ' В ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ $ 3! зуясь тем, что формула (14) й 2 справедлива и для мгновенного вращения, получим ! Р ° 1 Р ° 1 Т = — — авфт, Т = — — Ь' т, Т = — у А 2 е ' В 2 Ас ф' АВ 2 Кл Т = — (Р+ — ) Рф'. 1 !2 (б) Для вычисления элементарной работы воспользуемся тем, что оиа равна моменту силы относительно оси поворота на влементарный угол поворота [см.
ч. 1, б ЗО, формула (21)). Так как в нашем случае момент относительно оси Кх совпадает с моментом относительно центра К, то е л"А = ~ — Р! в!пф — с! — в!пф+Р(совф) Фр. 2 Вычисляя из равенства (б) г!Т и подставляя все значения в уравнение (а), получим — (Р+ — ) фф йт = ~ — (Р+ —,) в!и ф+Р сов ф~ (лф. Но фВт=лф. Поэтому, произведя сокращение, найдем дифференциальное уравнение движения системы в виде — (ЗР+Е) ф+ 2 +() Зд 2 в!н ф = Рэ 5!и Р! сов ф. Для малых колебаний, полагая миф Рл ф, сов ф гл 1 и вводя обозначения Зй' (2Р + (с ) 2! (ЗР+ С>) ' ! (ЗР+ ()) (г) будем иметь ф+ Втф = рр Ып рй (д) Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, общее решение которого имеет вид (см.
ч. 1, б Зб, п. 3) ф=аып(я!+а)+ Лт 5 мнр!. Руе (е) Здесь а и и — постоянные интегрирования. Определяя их по начальным дан- ным: при с = О ф= О, ф = О, найдем окончательно закон колебаний ф = (5!п !тр — — 51п л!), Ив ! Лт ~5 '1 й (ж) Система может совершать малые колебания вдали ат зоны резонанса р = л. При этом, если Р (( л, то приближенно Ив ф — в!п рй лт т.
е. колебания являются вынужденными с частотой р и периодом т =2п/р. Но так как точки К и А находятся на одинаковом расстоянии !!2 от центра масс С стержня, то по теореме Гюйгенса л' . =.г = !',!Р(Зу. В результате, учитывая, что ат+Ьт= Р, будем иметь 4б ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК )ГЛ [ Если же р )) Л, то приближенно Но е = — 5!л лй рл т. е. колебания будут собственными с частотой л и периодом т = 2п~а, где значение Л дается равенством (г) Пример показывает, что, пользуясь теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме, можно составить дифференциальное уравнение движения любой механической системы с одной степенью свободы при любых денствующих на систему силах.
й. В кинематике мы имели теорему Шаля, согласно которой всякое движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного дви кения, определяемого движением произвольной точки тела, и движения тела около этой точки как неподвижной. Вы~неизложенные теоремы динамики показывают, что за такую точку удобнее всего брать центр масс В самом деле, движение центра масс определяется по соответствующей теореме как движение материальной точки под действием всех приложенных к системе внешних сил, а к движению относительно центра масс теоремы об изменении кинетического момента и об изменении кинетической энергии применяются совершенно так же, как и к движению около неподвижной точки, Поэтому всякое движение механической системы можно изучать, рассматривая его как совокупность двух движений: поступательного, определяемого движением центра масс, и движения около центра масс кзк неподвижной точки.
й 4. Динамика точки переменной массы 1. Поиятие о теле и точке переменной массы. Под механической системой мы понимаем такую совокупность материальных точек, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных. Эта зависимость обусловлена наличием сил взаимодействия между точками системы (внутренних сил). До сих пор мы считали множество точек, образующих каждую рассматриваемую систему, неизменным. Между тем на практике могуг иметь место случаи, когда в некоторые моменты времени ти г, взаимодействие каких-то отдельных точек системы с остальными ее точками практически мгновенно прекращается; таким образом, эти точки после моментов времени тн тю ...
уже не будут входить в рассматриваемую систему. В результате состав, т. е. множество точек, образующих данную систему, а следовательно, и масса системы будут со временем изменяться. Аналогично могут иметь место случаи, когда в какие-то моменты времени ти Гя, ... с рассматриваемой системой мгновенно начинают взаимодействовать точки, до этого в данную систему не входившие (с нею не взаимодействовавшие) В реву.чьтате также будет происходить изменение состава системы и ее массы.
Примером может служить лвижущийся транспор- динамика точки пвввменнон массы 47 тер, с которого в какие-то моменты времени снимают (или на который кладут) грузы. Для изучения движения системы в указанных случаях нужно всякий раз после моментов времени 1н гн ... составлять д.тя образовавшейся новой системы свои уравнения движения, учитывая мгновенное изменение ее скорости в момент отделения (присоединения) частицы методами теории удара (гл.
ЧП). Однако в ряде случаев процесс отдечения (или присоединения) частиц можно практически считать непрерывным, а следовательно, рассматривать как непрерывный и процесс изменения массы системы. Примерами таких систем в природе являются плавающая льдина, масса которой убывает при таянии или возрастает при намерзании, планета, масса которой изменяется вследствие оседания' метеоритной пыли н т.
д., а в технике — ракета на активном участке траектории или реактивный самолет, масса которых убывает при выгорании топлива, веретено, на которое наматывается или с которого сметы вается нить, и т. п. Систему (в частности, тело), масса которой непрерывно изменяется со временем вследствие изменения состава системы, т. е. непрерыв ного присоединения к ней или отделения от иее частиц, и принято называть системой (телом) переменной массы.
Если расстояния, проходимые точками тела, велики по сравнению с его размерами или если тело движегся поступательно, то его (пренебрегая изменением положения центра масс, происходящим в процессе отделения или присоединения частиц) можно рассматривать как точку переменной массы. Движение такой точки переменной массы мы и рассмотрим, полагая, что масса М этой точки является непрерывной и диффереицируемой функцией времени М (1) и что взаимодействие с этой точкой отделяющихся частиц после отделения мгновенно прекращается, а присоединяющиеся частицы до момента присоединений с этой точкой не взаимодействуют Для такой точки можно составить дифференциальные уравнения, описывающие ее движение в течение всего времени изменения массы.
2. Дифференциальные уравнения движения точки переменной массы (уравкения Мещерского). Составим уравнение движения точки переменной массы, масса которой изменяется вследствие одновременного отделения и присоединения частиц Обозначим в момент времени Г через М(г) всю массу точки, через М,(Г) — массу вошедших в ее состав присоединяющихся часзиц и через Мз(1) — массу входящих в ее состав отделяющихся частиц; здесь М,(1) — возрастающая функция (г(М,) О), а Мз — убывающая 04Мз<0), функция же м(г) может быть как возрастающей, так и убывающей и, в частности, постоянной Применим теорему об изменении количества движения к системе, состоящей из точки с массой М(Г), прнсоединяющейся к ней за малый промежуток времени Дг частицы с массой ДМ, и отделяющейся от нее в течение того же промежутка времени частицы с массой )ДМ1( (рис. 23).
По сделанным выше предположениям, указанные частицы и точка взаимодействуют, т. е. образуют механическую систему лишь в момент времени 1 (после отделения или до присоединения взаимодействия нет). Поэтому результаты наших рассуждений будут справедливы, когда мы совершим предельный переход, полагая М вЂ” ьб. Упомянутая теорема дает 4г1 — 90 =ГДЕ, ()) где ьгз — количество движения системы в момент 1, а ф — в момент г.+Д1; Р— равнодействующая приложенных к точке сил. Обозначим абсолютную скорость точки с массой М(~) через чг, а абсолютные скорости присоединяющейся частицы с массой ДМ, частицы с массой ~ДМа~ чеРез м1 и мя соответ- Ыз 1,йАЯ Рис.
23. и отделяющейся ст в н но. Тогда ьгз —— Мц + Д М1 ° м1 Ц1 = (М+ Д М1 — ! ДМ1 [ ) (Ф + Дн) + ! Д Мз ! мз где Дн — приращение скорости точки за промежуток времени ДР. Подставляя эти величины в уравнение (1) и учитывая, что )ДМ, ! = — ДМт (масса частицы — величина положительная, а Мя(Г) — функция убывающая), получим МДЕ+ДМ1(ч1 и1)+ДМз(т1 иа)+(ДМ1+ДМ1)ДТ1 РД1. Отсюда, деля обе части равенства на ДГ и переходя к пределу прн Дг -ь О, найдем окончательно М вЂ” = Р+(н — и) — +(и, — н) —. лв дм, ЛМ1 вГ 1 вГ в'г (2) Это и есть дифференциальное уравнение движения точки переменной массы или обобшенное уравнение И. В. Мешерского, составленное для случая одновременного отделения и присоединения частиц. Если имеет место только присоединение (или только отделение) ЛМ1 ЛМ ~ ЛМ1 ЛМ ) частиц, то †„ ' = — 1или †' = — 1, и уравнение (2) приник'Г в'Г 1 ч'Г В'Г / ' мает вид М вЂ”,= г'+(м — и) —.
1ГВ лм Ф 48 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1ГЛ 1 49 динАмикА тОчки павнмеинои мАссы где и — абсолютная скорость присоединения (или отделения) частиц. Уравнение в виде (3) было получено И. В. Мещерским в 1897 г., а в обобщенном виде (2) опубликовано в работе 1904 г. Величина и, = и — е представляет собой относительную (по отношению к основной точке с массой М) скорость присоединения (отделения) частиц. Если ввести эту величину, то уравнение (3) примет вид М вЂ” = р+и —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
