1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Сравнивая эти выражения с предыдущими, можно сказать, что при вращательном движении момент инерции тела относительно оси вращения играет такую же роль, как масса тела при поступательном движении. Из равенства (16) видно, что размерность момента инерции l„ есть (масса (длина)а) Моменту инерции тела относительно оси можно еще дать другое выражение. Положим основныв динлмичнскин внличины $2] скости кольца (рис. 10). Тогда для любой точки кольца Ь =)с и ~~~~~ ттй„,= ЛЧ'.,т,й = М1С . СЛЕдОВатЕЛЬНО, дЛя КОЛЬца ~х (18) Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса )с относительно ее оси.
2) Круглая однородная яластина (или цилиндр). Пусть масса пластины М, радиус гс. Разобьем пластину на тонкие концентрические кольна (рис. 11, а) Площадь какого-нибудь из этих колец с рздиусом г и шириною Лг, С гг будет с точностью до (Лг,) равна 2пг„Гвг„ а масса равна — 2пг Лг . Тогда момент М ~И' инерции этого кольца относительно оси Сх, Рис 10. перпендикулярной к плоскости пластины, !М будет, согласно формуле (18), равен 1 —,2г Гвг ) гт, Складывая осевые моменты инерции всех колец и переходя к пределу при Лг -+О, мы получим выражение для момента инерции всей пластины в виде определенного интеграла л у ~ гзйг— 2М Г 2М 1~' е Окончательно (19) а б ) ) Очевидно, такой же результат Рнс 11 получится для момента инерции однородного круглого цилиндра массы М и радиуса )с относительно его оси (рнс, 11, б) 3) Однородный тонной стержень, Пусть масса стержня М, длина 1.
Найдем момент инерции стержня относителыю оси Ах, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец А (рис. 12), Масса любого элемента стержня длиною Ьй будет равна М т,= — Лн . Подставляя это значение т„в формулу (16) и переходя к пределу при Гвл,-ьб, получим -=71 '-= — -" е оещие теовемы динамики системы млтевилльиых точек 1гл. в млн окончательно (20) Если таким же образом вычислить момент инерции относительно осн Сх', проходящей через центр масс С тела и параллельной А оси Ох, то получим .Ь 1 зс»' = чк Л1(з. (20') Заметим, что вообще между моментами инер- ции тела относительно параллельных осей Ох Р м и Сх', из которык Сх' проходит череа центр масс тела, имеет место соотношение уо»=ус» + ~Ыа, (21) где г1 — расстояние между осями (теорема д Гюйгенса).
Рис. 12. Равенства (20) и (20') могут быть полу- чены одно из другого с помощью формулы (21). Подробнее вопрос о моментах инерции тела и их свойствах будет рассмотрен в $11; там же будет доказана и теорема Гюйгенса. ф 3. Общие теоремы динамики системы 1. Общие теоремы динамики системы, являясь прямым следствием уравнений движения, дают связь между динамическими величинами, характеризующими движение системы, и действующими на систему силами; в некоторых слу~аях из общих теорем можно получить первые интегралы движения. Этн интегралы часто да1от достаточно данных для определения движения системы и поэтому имеют большое значение при решении практических задач; кроме того, ояи допускают наглядную физическую интерпретацию и могут быть выражены в виде определенных физических законов, вследствие чего часто называются законами динамики.
Для полного решения механической задачи необходимо проинтегрировать систему уравнений движения и яайти координаты всех точек системы как функция времени, что в большинстве случаев связано со значительными трудностями, особенно если число уравнений велико; но практически иногда требуется знать лишь некоторые величины, характеризующие движение системы в целом, вследствие чего можно не интегрировать всю систему уравнений, а найти только некоторые ее интегралы, что часто может быть легко достигнуто применением общих теорем динамики.
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ з а] 2. Дифференциальные уравнения движения системы. Пусть мы имеем систему, состоящую нз п материальных точек. Рассмотрим некоторую точку системы М» с массой гп» (рис. 13), где» есть номер точки. В общем случае на эту точку действуют внешние н внутренние силы, которые в свою очее редь могут быть как актнвнымн, так и пассивными (реакциями связей). Обо- и» значим равнодействующую всех внешних сил, как активных, так и пассивных, Р» действующих на рассматриваемую точку г» через Р'„а равнодействующую всех внут0 У ренних сил — через Р».
На основании принципа связей мы можем считать эту точку свободной, так как к ней приложены, кроме действующих на нее активных сил, и реакции свя- Рвс. И зей; поэтому уравнение движения этой, а по аналогии и уравнения движении всех других точек системы будут лг,— „,' =Р'„+Р' (»=1, 2, 3, ..., и). (1) ,)~~ гп — „," = ~~)~~Р +)~~Р». (2) По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны к противоположны, т. е. если частица А действует иа частицу В с силой г', то частица В действует на частицу А с силой — у( поэтому сумма всех внутренних сил системы равна нулю, т. е.
~~~', Р~~ = О, н равенство (2) примет вид ~»1~~ Рс (3) Уравнения (1) представляют собою л дифференциальных уравнений движения системы в векторной форме. В проекциях на оси координат эти уравнения дадут Зл скалярных дифференциальных уравнений движения. Общие теоремы динамики, как указывалось, являются прямымн следствиями этих дифференциальных уравнений, 3. Теорема об изменении количества движения системы и теорема о движении центра масс. Сложим почленно все уравнения (1). Тогда получим об ОБщие теОРемы динАмики системы мАтеРиАльных точек [Гл, ь Принимая во внимание, что — = о, имеем иг» ис»' где вектор ьг= ~~'.~ т,о, есть количество движения системы. Заме- няя левую часть уравнения (3) ее значением, получаем (4) или в проекциях на оси — Гч,. (4') Равенство (4) выражает первую основную теорему динамики системы, именно теорему об изменении количества движения: производная по времени от количества движения систина равна сумме всех действующих на систему внешних сил.
Эту теорему можно также представить в интегральной форме. Умножая обе части векторного равенства (4) на ас и беря от них определенные интегралы в пределах от 1о до 1, получим ч у, где ьго — количество движения системы в момент го, а Я вЂ” количество движения в момент 1; 8» есть импульс силы р» за промежуток времени 1 — го. Таким образом, изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется сумме импульсов всех действующих ни систему внешних сил зи тот жв про.межуток времени.
В проекциях на оси координат будем иметь (2» Яол — Х Зчл Яу — Яоу — 2л~ Зчу учтл Я»о = Х Я~~, (б ) Из векторного соотношения (4) легко получить теорему о движении центра масс системы, В самом деле, принимая во внимание, что где Л4 есть масса всей системы, а эс — скорость ее центра масс, найдем из уравнения (4) л 27 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТРМЫ илн (6) ч=> й'гс где —, есть ускорение центра масс, Уравнение (6) показывает, ась что центр масс системы движется как материальная точка с массой, равной массе всей системы, на которую действуют все приложенные к системе внешние силы (теорема о движении центра масс).
В некоторых случаях эти теоремы могут дать интегралы движения. Пусть на систему действуют только одни внутренние силы; тогда Х Р',=О, и, следовательно, из уравнения (4) имеем — =О, откуда аь) йс с',> = сопз(, (7) или, так как то я>с = сопзб (7') В этом случае центр масс системы движется по инерции, и количество движения системы есть величина постоянная. Проектируя обе части равенств (7) и (7') на оси координат, получим три первых интеграла >с„=с> (сг —— сз, ь>,=се, (8) или (8') Хс = С,', Ус = С,', Сс = С,'.
Вели внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма проекций этих сил на какую-либо ось, например на ось х, равна нулю, т. е, если ~ Р', = О, то из уравнений (4') имеем — "' =О, йО„. йг откуда (8") (;>„= >г>'хс = сопз(. Следовательно, при укааанном условии проекция количества движения системы на ось х есть величина постоянная, или, что то же, проекция центра масс системы на эту ось имеет постоянную скорость; теорема дает в этом случае одни первый интеграл. 28 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1ГЛ. 3 Примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
