1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1. Если пренебречь притяжением звезд, то на тела, состзвляющие солнечную систему, не будут действовать внешние силы. Поэтому центр масс солнечной системы должен двигаться прямолинейно и равномерно относительно системы неподвижных звезд. 2. При взрыве артиллерийского снаряда возникают внутренние ударные силы, которые не могут изменить движения центра масс. Поэтому центр масс всех осколков снаряда н прочих остатков после взрыва продолжзет двигаться по той же самой траектории, по которой двигался центр масс снаряда до взрыва.
Это вполне верно для движения в пустоте и лишь приближенно справедливо для движения в сопротивляющейся среде, ибо прн взРыве иа осколки действуют внешние силы сопротивлении воздуха, отличные от сил, которые действовали на снаряд. 3, На человека, стоящего на гладкой горизонтальной плоскости, действуют сила тяжести н реакция плоскости, проекции которых на эту плоскость Равны нулю. Поэтому идти по идеально гладкой плоскости человек не мог бы; это становится возможным лишь вследствие наличия трения. Если человек, стоя на плоскости, выдвинет вперед ногу, то другая нога должна отодвинуться назад для сохранения неподвижности проекции центра масс иа горизонтальную плоскость.
Это и имеет место, если плоскость идеальная. Если же плоскость шероховатая, то при скольжении развивается сила трения, направленная вперед и являющаяся внешней силой, делающей возможным движение. Под действием одних внутренних мускульных снл человек не может переместить свой центр тяжести.
4. Вагонетка массы М стоит на рельсах, а на ней находится человек массы т, который в начальный момент неподвижен, а затем идет по вагонетке со скоростью и относительно вагонетки (рис. 14). Требуется определить движение вагонетки, пренебрегая трением о рельсы. Рнс. !4. При отсутствии трения единственными внешними силами, действующими иа систему человек — вагонетка, являются силы тяжести и нормальные реакции рельс; поэтому сумма проекций внешних сил на горизонтальную ось х равна нулю; следовательно, сумма проекций количества движеняя системы на ось х должна оставаться постоянной. Когда человек стоял на неподвижной вагонетке, то количество движения систены было равно нулю.
Если человек пойдет по вагонетке со скоростью е вправо, а вагонетка останется на месте, то количество движения системы будет равно ше, что невозможно, так как количество движения системы должно равняться нулю согласно начальным условиям. Следовательно, вагонетка тоже должна двигатьсв. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИИАМИКИ СИСТЕМЫ з в) Обозначим через У скорость вагонетки; тогда теорема об изменении количества движения дает в проекции иа ось х уравнение т (о„+ )гв) + М Ъ' . = О, мбо скорость человека относительно рельс равна о+ У.
Из последнего уравнения определится скорость движения вагонетки т »= М) ое Знак минус показывает, что вагонетка будет двигаться в сторону, обратную движению человека. 5. Масса вала мотора равна т„а масса всех остальных его частей — т;, центр масс вала, вращающегося равномерно с угловой скоростью е, смещен Рис. )5, от оси на расстояние АВ=а. Найти реакции опоры н болтов, закрепляющих мотор, считая, что они приводятся к равнодействующей с составляющими дг! и й), (рис. 15). Внешними силами, действующими на мотор, являются силы тяжести т,й.
и тват и реакции )т! и йм Уравнение (6) в проекциях на оси х и у дает Мхе — — !У), МУО Дгт — (т! + тв) Р, где М = т, +т,— масса всей системм. В данном случае закон движения центра масс С всей системы известен; так как у = ет, то Мхе —— ттхл+ т)(» )+ а в!нет), Мус —— ттул+ т! (ул — а сов ет). Отсюда, учитывая, что х =соне), у =сопя), получим А ' А Мх = — т ае'в!пей Му =т аетсовви.
С ! С ! Следовательно, АГ! = — т,ае' в)п ей ))Гв = (т, + т,) у+ т,ае' сов ей Наибольшие значения реакции имеют соответственно при в)пет или совет, равных единице. Если угловая скорость вращения такова, что т,ае' > (т, + тв)я, то при верхних положениях центра масс вала мотор будет отрываться 3) ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1ГЛ от опорной плоскости (прижиматься н головкам болтов, а при незатянутых болтах — подпрыгивать).
б. Давление струи. Пусть струя жидкости вытекает из трубы с плошадью поперечного сечения и, имея скорость е, направленную под углом а к вертикали (рнс. 16). Найдем силу нормального давления струи на вертикальную стенку, пренебрегая сжатием струи и считая движение установившимся. Применим первое из уравнений (5') к объему жидкости, ограниченному сечениями аа,, ЬЬ,, ссь Внешней силой, денствуюшей на этот объем и дающей проекцию на ось х, будет реакция )т' стенки (давлением в сечении аа, струи пренебрегаем).
Тогда, считая Ф = сопя1 и беря à — Гч = 1 сек, получим в проекции на ось к (12 — а ). = — Л'1. и .15, За секунду граница аа, сместится на величину о, перейдя в положе- 1 ние а а'. Масса жидкости в объеме аа,а'а,' равна роо, где р — плотность жидкости: следовательно, количество движения в выделенном объеме убывает за счет этого перемещения границы на велнчину рао'. Приращения же 1 количеств движения в объемах ЬЬ1Ь Ь1 и сс,с с, проекций на ось х не дают. Поэтому (() — () ) = — рчп'аш а и окончательно у=рона юла. 4. Теорема об изменении кинетического момента системы (или теорема площадей). Пусть мы имеем систему а материалыгых точек, на которые действуют как внешние, так и внутренние силы.
Возьмем дифференциальные уравнения движения этой системы т„— „,' = Рт+ Р, (ч = 1, 2, ..., а) т НП т и умножим обе части каждого из уравнений векторно слева на ею т. е. на соответствующий радиус-вектор; сложив полученные таким образом равенства, будем иметь ~~ (г Х т, †"',' ) = ~~)' (уи Х Рч) + ~' (гт Х Р,'). (9) Так как внутренние силы попарно равны и противоположны, то сумма моментов этих сил относительно любого центра равна нулю. В самом деле, возьмем две силы Рл и Рв, пРичем РА = — Рв (рис, 17), тогда сумма моментов этих сил относительно какого-либо центра О будет 'л Х РА+ гв Х Рв = (гв — гл) Х Рв = АВ Х Рв.
ОБщие теояемы динАИИКИ системы Но Ав)( Рв —— О, так как векторы АВ и Рв коллннеарны; следова- тельно, сумма моментов двух равных взаимно противоположных сил относительно любого центра равна нулю; отсюда вытекает, что Принимая во внимание, что — „~ ~г, )( т, йг" ) = ~~Г~~~(г, гс Р,). (10) Выражение, стоящее под знаком производной, есть кинетический момент системы относительно центра О; обозначая его через йо, получим уравнение (10) в виде (10') Уравнение (10') выражает теорему об изменении кинетического момента системы, которая формулируется так: производная по времени от кине- 8 тичетсого момента системы отно- Рнс. 17. сительно какого-либо неподвижного центри равна сумме моментов всех внешних сил, действуюгцих на систему, относительно того же центра.
Если воспользоваться понятием секторной скорости (см. ч, 1, 5 б, п. 6), то уравнение (10) можно еще представить в виде й~гт — 2 1 т — =~ гпощо Р иг ~~ ч йг ,Дв т' (10") где есть секторное ускорение точки. Уравнение (10") представляет собой так называемую теорему площадей: удвоенная сумма произведений масс материальных точек в чем нетрудно убедиться, выполнив дифференцирование, можно представить уравнение (9) в виде йя ОБщие теОРемы динАмики системы мАтеРиАльных тОчек [Гл. г ка их секторные ускорения относительно какого-либо центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.
Предположим, что сумма моментов внешних сил относителько некоторого центра 0 равна нулю (что, например, имеет место, если внешние силы на данную систему не действуют); тогда следовательно, ибо — О, иг откупа получаем векторный интеграл 0о= сола, т. е. при этих условиях кинетический момент системы 0о есть величина постоянная. Плоскость, перпендикулярная к направлению 0о, будет тоже иметь постоянное направление в пространстве и называется неизменяемой плоскостью Лапласа (иногда ее также называют плоскостью максимума площадей). Проектируя обе части равенства (10) на оси координат, получаем следующие уравнения: — = г аош,р', и0„жч ис Ле ибт г аоат р ° ,и ~Ь и ъ — — ~-»- — — ~„аоа, р ° (11) или (11г) Уравнения (11) можно еще представить в другом виде.
спроектирояав 'кт иг,~~ тт(учет «ту ) ис,~е тт (етхт хтгт) и т,(х„ут утх,) т =,,", (у„р'„, — и„р' ), ч = ~~~~~ (г,р'„„— х„р'„,), = ~~~,(х,р'„~ — у„р', ), т ОВЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ % 3! обе части равенства (10л) на оси координат; получим лот у т лг (!го ! 2 1~, т — „г ( — У) = У' шош,Р'. (1!л) Если сумма моментов всех внешних сил относительно одной из осей, например х. равна нулю, т.
е. если ~шошлР„=О, то из уравнений (11) получаем скалярный интеграл Ол = ~~'., ШОШ„(т„п,) = СОПЗй таким образом, если сумма моментов всех действующих внешних сил относительно какой-либо оси равна нулю, то сумма моментов количеств движения системы относительно той же осн, или, что то же, проекция кинетического момента на эту ось постоянна. Иа уравнений (11л) тот же интеграл получается в виде Ол=2 '~„т„— У* =сопз1, Теорема об изменении кинетического момента при движении по отношению к основной системе отсчета имеет вид = ~~~~! (гу Х Рю). у 3 Н.
Н. Еулгольч следовательно, если сумма моментов внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то сумма произведений масс всех точек системы на сектврные скорости нх проекций на плоскость, перпендикулярную к той же осн, есть величина постоянная. Рассмотрим теперь применение теоремы о кинетическом моменте к движению системы относительно центра масс, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
