1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. относительно осей Сх'у'е', имеющих начало в центре масс и перемещающихся вместе с центрОм масс поступательно по отношению к основной системе отсчета Охуг (см. рис. 6), Пусть положение центра масс С определяется координатой гс, и пусть радиус-вектор точки с массой т„относительно осей Сх'у'е' будет г,'. Тогда г„=г +г,'. (12) Ч4 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК (ГЛ.
Г Заменим справа вектор г„его значением (12), а величину Оо ее выражением (6), полученным в ф 2. Тогда будем иметь д (гс Х УИпс)+ (г «» (г Х лг и ) =гс Х ~рл+е~((4' Х )чт)' ((З) (4ззестно, что центр масс системы движется как точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложены все действующие на систему внешние силы; поэтому по отношению к движению центра масс имеют место все теоремы динамики точки и, в частности, теорема о кинетическом моменте; следовательно, имеем л жч е — „, (гс Х Л4пс) = гс Х,~~ ~' .
л=! Сокращая в уравнении (13) равные члены, получим ~, ~,л(г,'Х т,п,') =~;(г,'Х р,'), (14) или, обозначая ~(ю Х т,п,')=0', — „,' =,) (г,'Хр',), (14') — о =- ~ (г Х Р'), л (1 б) причем как сумма моментов количеств движения всех точек системы. так и сумма моментов всех внешних сил взяты относительно неподвижного центра О. Посмотрим, как изменится это выражение, ') Движением относительно центра масс мы будем в дальнейшем называть движение относительно системы отсчета, ймеющей начало в центре масс и движущейся вместе с центром масс поступательно по отношению ь основной системе отсчета, т.
е. при движении системы относительно центра масс производная по времени от суммы моментов количеств движении всех точек системы относительно центра масс равна сумме моментов всех действующих внешних сил относительно того же центра'). Таким образом, для движения относительно центра масс теорема об изменении кинетического момента выражается совершенно так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой В предыдущих рассуждениях мы считали центр О, относительно которого брали кинетический момент системы, неподвижным и получили выражение теоремы об изменении кинетического момента в виде % з1 ОБЩИБ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ если за центр моментов взять точку 0', которая движется относительно основной системы отсчета.
Выше 19 2, уравнение (8)! мы нашли, что 0о' = Оо — 00' Х 9, или. обозначая для удобства письма Оо = 6'! ОС=О, О' = 0 — 00' Х Я (18) Дифференцируя равенство (16) по времени и принимая во вниманиег й00' что = Б' есть скорость центра 0' относительно основной сийг стемы отсчета и что на основании уравнения (4) ч получим до' йа йг йг — = — — яг' Х ге — 00' Х г Рч. ч. (17) ч лги Определяя отсюда величину — и подставляя ее в уравнение (15), йг найдем — "„; + 'Ха=~;1(" — 0')Х~:1 ч или, принимая во внимание, что л,— 00'=г,' (см. рис. 7), йг + н' Х ч! = л и (л Х Г',), (18) ч Уравнение (18) выражает теорему об изменении кинетического момента системы по отношению к центру 0', движущемуся со скоростью яг' относительно основной системы отсчета. При этом следует иметь в виду, что 0'=~(г,' Х лг,чгч), т е.
Бри вычислении 0' ч скорости и точек системы берутся относительно основной системы отсчета, а моменты векторов лг,вч берутся относительно подвижного центра 0', в правой части уравнения стоиг сумма моментов внешних сил также относительно подвижного центра 0'. Если и' = О, то уравнение (18) переходит, очевидно, в уравнение (10) Если же 0' совпадает с центром масс С системы, то чг' Х Я = Бс Х Мнс — — О и уравнение (18) принимает вид "гус с ~(.' Х ччч) (19) Это уравнение совпадает с (!4'), если учесть, как было показано в ф 2, п.
3, что Ос=Ос. 35 ОБщие теОРемы линлмики системы мдтеэилльных точек [гл, т Примеры. 1. Если не принимать во внимание притяжения неподвижных звезд, то главный момент внешних снл, действующих на солнечную систему, равен нулю, поэ~ому кинетический момент солнечной системы 6 относительно центра масс должен оставаться неизменным, т. е. 6 = сопя!. Плоскость, перпендикулярная к направлению 6 , также будет сохранять сваю ориентировку относительно неподвижных звезд и называется, как уже было сказано, неизменяемой плоскостью Лапласа, который предложил относить движение тел солнечной системы к этой плоскости. 2. Если человек стоит на платформе Жуковского (круглая горизонтальная платформа на шариковых опорных подшипниках, которая может вращаться с малым трением вокруг вертикальной оси), то на эту систему (человек — платформа), если пренебречь трением, действуют только сила тяжести и нормальные реакции опор.
Сумма моментов этих внешних сил относительно вертикальной оси х равна нулю, следовательно, если системе сообщить толчком вращение вокруг оси х, то во все последующее время будет (2О) 0х = lхю = соп51 ° где у„ — момент инерции системы относительно оси х, ю — угловая ско. рость вращения.
Величина У здесь может изменяться, например, за счет движения рук человека, Если руки вначале были разведены в стороны, а затем будут опущены, то /х уменьшится н угловая скоростью увеличится и наоборот. Аналогичный результат получается прн прыжке акробата в воздухе, когда он делает сальто. В начале прыжка акробат сообщает своему телу угловую скорость вокруг горизонтальной оси х, проходящей через центр масс тела. Так как единственная действующая на него внешняя сила— сила тяжести — проходит через центр масс (сопрои тивлением воздуха пренебрегаем), то ее момент относительно оси х равен нулю, и здесь имеет место равенство (20). Группируя корпус, акробат уменью шает момент инерции Ух, в результате чего угловая скорость увеличивается (для достижения полного оборота).
3. Йа круглой горизонтальной платформе В радиуса 6 и массы А( (рис. 18), могущей вращаться () Я без трения вокруг вертикальной оси О», стоит человек массы т. В некоторый момент он нэчинает идти вдоль окружности платформы со скоростью о (относительно платформы). Найти угловую скорость вращения платформы. Так как силы тяжести параллельны осн вращения, а реакции подшипников эту ось пересекают, то сумма моментов внешних сил относительно оси л равна нулю и, следовательно, 0 = соплы Но в начальный момент ни человек, ни платформа не двигались; поэтому О, = О во все время движения. Если бы при движении человека платформа нс вращалась, то кинетический момент системы не был бы равен нулю; следовательно, для того чтобы 0 было равно нулю, необходимо, чтобы сама платформа вращалась с некоторой угловой скоростью Я.
Если момент инерции платформы относительно оси л обозначим через у, то кинетический момент платформы относительно этой оси будет равен у,(1. Скорость человека относительно земли равна ! оэтэ+ вэ,э! =- о+66, Тогда момент количества движения человека относительно осн к будет равен Общие теогемы динАмики системы т (о+ ОР)Р. Вставляя все найденные величины в условие О = О, получим е',(1 -(- т (о+ ОР)Р = О, откуда О =— / +ш)(2' МЛ2 Если платформа однородна, то по формуле (19) из й 2 У, = —, и жо М вЂ” + тР' гг ( — + т) Знак минус указывает на то, что платформа будет вращаться в сторону, обратную движению человека.
4. Через сплошной неподвижный блок весом р перекинута гибкая нерастяжимая нить с грузами весом Р и О на концах (рис. 19). Пренебрегая весом нити н трением в оси, найти ускорения грузов при движении системы. еу Применяя теорему об изменении кинетического печенга относительно оси вращения блока Ох, составим первое из уравнений (11): Н~х = ~~)~~ шош„(ре) (а) Величина 6 слагается из кинетических моментов блока и грузов и будет равна О =У м+ — ой+ — о)22, Р О к — к где ю — угловая скорость блока, Р— его радиус, и†скоРость гРУзов, УчитываЯ, что ех = 0,5 — ес Р 2 У о и и = †, получим окончательно )9 ' Ох ) 2 +~+01 о' /р т й 1а Рис, 19. (р+2Р+2О) — — = (Р— О) Н, а2о 242 2(е откуда ~й~ 2 (Р— О) пг р+2Р+2Я к' 6.
Теорема об изменении кинетической энергии системы. Пусть мы имеем систему а материальных точек. К каждой точке снСтемы, кроме действующих на нее активных снл, приложим реакции связей и разделим все приложенные к точке силы на две группы: Далее, ~Р~ шош (Р~~) = Рет — ОР (полагаем для определенности, что Р > О, н момент силы считаем положитетьным в том же направлении, что и момент количества движения; моменты силы р и реакции )т' относительно оси Ох равны нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
