1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Механика тел переменной массы находит интересные приложения и в динамике нити. Рассмотрим следуют л щую задачу. Пусть нерастяжимая гибкая однородная нить АВ длиною 1 смотана в клубок, лежащий на краю стола (рис. 26). Высота стола над полом равна л (1. Исследуем процесс падения нити со стола на пол, пренебрегая сопротивлением разматых ванию нити, а также сопротивлением воздуха при ее Рнс, 26. движении. Задача РаспадаетсЯ на 3 этапа: 1) с мо- мента начала движения до момента, когда свободный конец А нити коснется пола; 2) от конца первого этапа до момента, когда другой конец В нити сходит со стола; 3) от конца второго этапа и до момента, когда конец В нити коснется пола. !) Переходя к рассмотрению первого этапа движения, проведем координатную ось Ох вертикально вниз, беря начало координат О в плоскости стола, и будем положение нити при ее движении определять координатой х точки А (рис.
26). Найдем движение нити при начальных условиях 8в О, х=О, О=к=О, (25) ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ лв в'М М вЂ” =Р— а —, вс лг где Р— в данном случае действующая на нить силы тяжести, численно равная рхдг. Проектируя обе части этого уравнения на ось х и учи- тывая, что о =и, Р„= с', а М =рх, будем иметь лп йх рх — =рдх — ор —. йг лг ' (26) Легко видеть, что уравнение (26) имеет особое решение х О, удовлетворяющее начальным условиям (25), при котором и тп=х=О. Это решение соответствует упомянутому выше случаю покоя нити. Будем искать другое решение уравнения (26), дающее интересуюший Ля чГР йх нас случай движения нити. Для этого, учитывая, что -лчь =— Лг Лх Ш ЛР лх ' = о — , приведем уравнение (26) к виду х Л(пя) — + пз = я х. Общим решением этого линейного дифференциального уравнения первого порядка будет а 2 С л Ю + 2 При начальных условиях (25) С=О; следовательно, и'х Г2 и = — ="у — ях лг=У з (27) Отсюда, интегрируя вторично, получим у' =~у ~й Из физических соображений ясно, что условиями (25) последующее движение не определяется однозначное если считать, что в момент ~ = О точка А не имеет ускорения, то нить будет оставаться в покое; если же точка А имеет ускорение (со стола свешивается бесконечно малый элемент нити), то нить придет в движение.
Нас будет интересовать второй случай, Составим уравнение движения нити. В произвольный момент времени 1 со стола свешивается отрезок нити ОА длиною х ( л, который движется поступательно и может рассматриваться как точка с переменной массой М =рх, где р — масса единицы длины нити. К этому отрезку непрерывно присоединяются частицы нити, свернутой в клубок, имея в момент присоединения абсолютную скорость и = О.
Следовательно, уравнение движения нити (уравнение (3)) имеет вид ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. Г н закон движения нити в рассматриваемой задаче будет х = — „дев. 1 (23) l 2 О,= ~~ — ай 3 (29) 2) С момента г, начинается второй этап движения нити (рис. 27), В течение этого этапа в движении находится отрезок нити, имеющий постоянную длину й, но состав этого отрезка все ,7 . время изменяется: к нему непрерывно присоединяются частицы клубка, лежащего на столе (абсолютная скорость этих частиц в момент присоединения, как и в предыдущем случае, равна нулю, Ю т.
е. а, = 0); н то же время от указанного отрезка непрерывно отделяются частицы нити, падающие на пол, имея в момент отделения абсолютную скорость, равную скорости нити, т. е. из =п (было бы 4 ошибочно считать аз=О, так как когда скорость отделившейся частицы нити вследствие ее взаимох действия с полом обращается в нуль, взаимодействие этой частицы с движущимся отрезком нити Рнс. 27.
отсутствует, поскольку нить не воспринимает усилий сжатия, а ит, как было отмечено при выводе уравнения Мещерского, представляет собой скорость отделяющейся частицы в момент, когда она еше взаимодействует с нитью). Таким образом, движение рассматриваемого отрезка нити описывается уравнением (2), которое при указанных значениях и, и иа принимает вид (30) Будем на этом этапе движения снова отсчитывать время от нуля, полагая С, = О; далее, обозначим через х координату той точки 0 нити (см. рис. 27), которая в момент Г, находилась в точке 0 (на краю стола). Тогда в уравнении (30) М=рй= — сопз1, Г=рйй и М,=рх (заметим одновременно, что здесь Мт=рй — рх, но в уравнение (30) эта величина не входит, так как ит — и =-О).
Проектируя обе части уравнения (30) на ось х и заменяя М, Р и М, их значевиями, получим ЛР Фх рй — = рйл' — пр —. ч'Г ,Движение по такому закону длится до момента, когда станет х=й, l бл т, е. в течение промежутка времени 7, = 1Т,' †. В момент 7, конец А У нити касается пола; скорость нити в этот момент, как видно из формулы (27), будет динАмикА ТО~!ки пеРеменнОЙ ЯАссы $41 Введем обозначение (31) Тогда предыдушее уравнение примет вид (аг,г) ав 1 аг И (32) Это уравнение совпадает с уравнением движения точки постоянной массы, падаюшей вертикально в среде, где сопротивление пропорционально квадрату скорости.
Интегрируя уравнение (32) и принимая во внимание, что при Г = 11 = О о = ви где о1 определяется равенством (29), найдем окончательно для скорости движения нити выра- жение а а а -г — 4 й й — 4 1 — пе е — пе й 22 (ЗЗА а а -2 — 4 й 4 1+ е й ей +пе где и= — = аы 0„1. а — Р1 'е' 3 — 'т' 2 а+ е1 УЗ+)4 2 Нетрудно также найти зависимость о(х), если представить уравнение (32) в виде ае 1 о (а2 ог) ах И к -2— ог а2 (аг о21 е й 12 или, так как, согласно равенствам (29) и (3!), Ог= — дИ= — аг, 2 2 3 3 к Г ! -2— о=а~/ ! — — е 3 (34) Из полученных результатов следует, что скорость падения нити стремится, и притом достаточно быстро, к предельной величине = у'д7. Используя формулу (34), легко подсчитать, что когда после момента 11 с клубка смотается отрезок нити, равный 1,5И, скорость его падения будет отличаться от предельной меньше чем на 142.
Поэтому, если !))И, скорость ог падения нити в конце второго этапа можно считать равной а=~/дИ; в противном случае эта скорость определяется по формуле (34). и проинтегрировать его, учитывая, что при х=О о=оп В резуль- тате будем иметь бз ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ, Г '1тобы найти время падения пити до момента начала третьего этапа, следует проинтегрировать уравнение (33). Учитывая. что при 1=1г= 0 х =О, получим закон движения нити в виде а а — Ф вЂ” — г е" +не х = й 1и 1+и Отсюда, полагаЯ х =1 — 21г, найдем вРемЯ гз движении нити до конца второго этапа.
3) На третьем этапе (рис, 28) происходит непрерывный процесс уменьшения массы движущейся части нити, причем, как было установлено выше, абсолютная скорость отделяющихся частиц в момент отделения равна скорости нити щ т. е. и = чг. Масса движущейся части нити М =р(п — х)„где х — координата конца В нити. Тогда, составляя для движущейся части нити уравнение (3) в проекции на ось х, получим лв ПР р(й — х) — =р(7г — х) е или — „= д.
лг Отсюда, ведя теперь отсчет времени от момента 1з конца второго этапа, т, е. полагая 1з=0, и учи- тываЯ, что пРи 1я=0 О=па. найдем А ге О=э,+П1 х=пз1+ —. (36) рис 28 Таким обРазом, конец В нити с постоянным ускорением л риальная точка постоянной массы. Скорость представить в виде в этом случае падает как свободная мате- конца В можно еше и = )/Озз+28х (37) ВРемЯ 1з движениЯ нити до конца тРетьего этапа и скоРость Оз точки в момент падения на пол найдутся из уравнений (36) и (37), если в ннх положить х = 7г.
В частности, считая 1 )) й и принимая О~ = а = у дй, найдем, что От — — $ Здй, гз = ( ~ 3 — 1) — 0,73 Все время движения нити от начала первого этапа до конца третьего будет Т = Г, -+ 1з+ 1з. Рассмотренная задача интересна тем, что в ней на первом этапе происхндит движение системь| при непрерывном присоединении частиц, на втором — при одновременном непрерывном присоединении и отделении частиц и, наконец, на третьем — при непрерывном отделении частиц. ГЛАВА ВТОРАЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК $5. Принцип Даламбера Рис.
29 1. Принцип Даламбера для точки. В применении к одной материальной точке принцип Даламбера заключается, как известно, в том, что з каждый момент движения действующие на точку активные силы и реакции связей можно уравновесить добавлением к ним силы инерции (см. ч. 1, 9 38, п. 15). Если сумму всех действующих на точку с массой т активных сил обозначим через Р, ускорение — через еп и сумму всех реакций связей (пассивных сил) — через АУ, то на /', основании принципа Даламбера имеем Р— тен-+АГ=- О.
(1) Сила Р— тен=)е (рис. 29) названа Далам- П бером потерянной силой, так как она урав- й' новешивается силой АГ и не сообщает точке ускорения; позтому принцип Даламбера может быть еще формулирован так: в каждый момент движении потерянная сила уравновеши- г" вается реакциями связей, т. е. )2+А(=- О, (1) 2.
Принцип Даламбера для системы. Применим теперь принцип Даламбера к произвольной системе л материальных точек. Рассмотрим каку|о-либо точку системы с номером т и массой т . Пусть равнодействующая всех действующих на точку активных сил (как внешних, так и внутренних) будет Р,. а пассивных (реакций связей) М,; ускорение точки обозначим через тп . Тогда, на основании аксиомы связей, эту точку можно рассматривать как свободную н составить для нее уравнение (1), т. е. Рт тттнч+ А'т (2) или, полагая Р,— т,ти,=Я„ )с +Аг =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
