1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(2') бб ввлвнеиия движения системы млтевилльных точек (гл. и Уравнения (2) илн (2'), составленные для всех точек системы, выражают принцип Даламбера для системы: в любой момент движения действуюшие на каждую точку системы активные силы и реакции связей могут быть уравновешены добавлением к ним соответствующей силы инерции, или, другими словами, в любой момент движения для каждой точки системы потерянные силы уравновешиваются реакциями связей, Составив для всех точек системы уравнения (2) или (2') и сложив их почленно, получим ХР,— 'з е,мо,+.'ЕМ,=О.
т или ХК,+ХМ,=б. (3') Далее, умножая каждое из уравнений (2) нли (2') векторно на г н складывая нх затем почленно, получим Х(г, Х Р,) — ьа(г Х т,яв,)+ ~~~(г„Х М,) =О, (4) ~д~~ (г, Х тс,) + ~!~ (г Х д~,) = 0 (4') ~~ = ~~„Р', и — „= ~~(г,ХР,'), (б) которые связывают действуюШие на систему внешние силы с динамическими величинами Ьт и О.
Эти уравнения, как укааывалось в начале 5 3, можно часто с успехом использовать для изучения двнже- При этом из свойств внутренних снл следует, что в уравнениях (3) и (4) сохранятся только в н еш н и е активные силы и реакции. Уравнения (3) и (3') или (4) и (4') показывают, что в любой момент движения действующие на систему внешние активные силы, реакции связей и силы инерции (или потерянные силы и реакции связей) удовлетворяют основным уравнениям статики, т, е.
сумма всех этих сил и сумма моментов всех этих сил относительно произвольного центра равны нулю. Таким образом, принцип Даламбера. как и в случае одной точки. дает возможность составлять уравнения движения системы в форме уравнений равновесия, вводя в рассмотрение силы инерции, которые считаются приложенными к точкам системы. 3. Если механическая система движется относительно ииерциальной системы отсчета, то, применяя теоремы об изменении количества движения и кинетического момента, мы будем иметь два векторных уравнения: ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ния системы; однако полностью определить это движение с их помощью можно не всегда. В самом деле, в проекциях на оси координат равенства (б) дают 6 скалярных уравнений и, следовательно, позволяют найти 6 неизвестных (координат, определяющих положение системы, и реакций внешних связей); межлу тем в общем случае этих неизвестных может быть значительно больше. Но, капример, для абсол|отно твердого тела положение которого определяется шестью параметрами, равенства (5) дают систему уравнений, позволяющих изучить его движение полностью.
Если уравнения (5) представить в виде ~~я (Ет )Рч) (6) д~ +ю Х 0'+и' Х 9= ~ (г, Х Р" ), ч где ю есть мгновенная угловая скорость, чг' — скорость начала под вижной системы, причем производные будут уже локальными. и посмотреть на них с точки зрения принципа Даламбера, то, сравнивая уравнения (6) с уравнениями (3) н (4), мы убедимся, что велилй НО чины — — и — — представляют собою соответственно геометрилт лг ческую сумму (главный вектор) сил инерции и сумму моментов (главный момент) сил инерции точек движущейся системы, которые в силу принципа Даламбера должны вместе со всеми внешними силами (как активнымн, так и пассивными), действующими на систему, образовать уравновешенную систему сил. Уравнения (6) являются основными уравнениями кинетостатики; они аналогичны основным уравнениям статики, в которые переходят, если система находится в покое, потому что в этом случае (Г = О и 0 = О.
Как и в статике, основные уравнения кинетостатики являются для любой механической системы только необходимыми, но не достаточными. Однако для абсолютно твердого тела они будут также и достаточны и, следовательно, как было указано выше, вполне определяют движение (конечно, при заданных начальных условиях); вся задача сводится только к интегрированию этих уравнений. Необходимо заметить, что производные — и — в равенствах (б) гр ло лг лг берутся относительно инерциальной системы отсчета; если же эти уравнения отнести к подвижной системе, то онн примут вид 62 уРАВнения дВижения системы мАтеРиАльных тОчек (гл, н 4.
Примеры. 1. Через неподвижный блок перекинута гибкая нерастяжимая нить, на концах которой подвешены грузы весом Р н 9 (рис. 30,а). Найти ускорение грузов. натяжение нити и давление иа ось. Массой блока и нити пренебречь. Предположим, что Р > О; тогда система грузов А и В будет двигаться с некоторым ускорением пк Поскольку грузы движутся поступательно, их можне рассматривать как материальные точки.
Прикладывая к грузам А и В, яроме активных сил Р и 9, силы инерции. составим, согласно принципу )(аламбера, условие равновесия системы, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно оси блока; сократив на г, имеем (так как момент реакции Ж равен нулю) РР— — ш — Π— — э=О, й 3 откуда получим ускорение Р— О ш= я Р+О Для определения натяжения 5 нити мысленно разрежем пить в какой-либо точке и составим условие равновесия оставшейся части (рис.
36, б); получим )-ш Рш Р— — ш — 5=0, Р Х подставляя ш из предыдущей формулы, откуда, найдем Рис. 30. Сила ДавлениЯ на ось пРи движении гРУзов, котоРУю обозначим АГА, Равна, очевидно, 25. Следовательно, за Я = —. Р+0 ' Если грузы были бы неподвижны, то статическое давление на ось равнялось бы ДГ, =Р+(). Легко подсчитать, что (Р— О)' дг,— ж = >О. СЛЕДОВатЕЛЬНО, )тд < АГ,Т, т. Е. ПРИ ДаижЕПИИ ГРУЗОВ ДаВЛЕНИЕ На ОСЬ бУДЕт меньше статического, йричем величина Фл тем меньше, чем больше разность Р— Ст.
2. Однородный стержень АВ длиною 1 и весом Р, укрепленный посредством шарнира в точке А, равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через эту точку (рис. 31); при этом стержень концом В опи рается на горизонтальную плоскость н образует угол а с вертикалью. Найти, при какой угловой скорости м давление стержня на плоскость равно нулю и чему при этом равна реакция в точке А. Пользуясь принципом 1(аламбера, присоединим к дейстиующим на стержень внешним силам антивной Р и реакциям гт', Х , УА силы инерции. Так как стержень вращается вокруг оси у равномерно, то каждый его элемент имеет только нормальное ускорение, напРавленное к оси и равное хмэ, где х — расстояние элемента от оси у, Следовательно, для каждого элемента сила инерции направлена от оси и равна г(у = хм'с(ш, где пш — масса эле- пииицип длллявкна мента.
Направляя вдоль стержня ось Аа, будем иметь х=йз!пп и г(т = — 1й. Тогда Р 41 Рют гу = — й а!п и Нй. 1(1 Действующие на стержень внешние силы и силы инерции лежат в одной плоскости и образуют, согласно принципу Даламбера, уравновешенную си- стему сил. Составляя для них известные уравнения статики и учитывая, что суммы У сил инерции и нх моментов выразятся соответствующими интегралами, будем иметь: ч Рют Р Х + — э!па ~ $г$=0, чл А я( т о А ~Р,=ӄ— ~ +Дг=о, Х шош Р == — Р— э!па+дг1япа+ А т 2 ч + — э!пасоэи ~ йтай=О; н1 Рис.
3(, последний результат следует из того, что гпош Ы=г(УСсоэп. Из третьего уравне- А ния при М = О находим (- —— 1 Рмт 1' — Р— + — — сова) и!па = О, 2 и 3 откуда Зл В сова (а) Из первых двух уравнений при этом значении гэ и при Аг = О получим Х = — — Р(ап, У =Р, (б) 3 А 4 ' А Уравнение (а), по существу, определяет ту угловую скорость, с которой должен вращаться стержень, чтобы составлять с вертикалью данный угол и. Как видно, отклонение стержня от вертикали начи- Рис.
32. нается, лишь когда ы > Г' Зд~21. 3. Составим, пользуясь принципом Даламбера, дифференциальное уравнение движения тела, вращающегося вокруг неподвюкной оси АВ, которую назовем осью л (рис. 32). Приложим в каждой точке тела с массой т„, находящейся на расстоянии Ь от осн АВ, касательную лчт и нормальную лтя силы инерции; численно акт= тчйта, зтл — — т й мт, где м и в — угловая скорость и угловое ускорение тела.
Согласно принципу Йаланбера эти силы вместе с активными силами Ра и реакциями ВА и )с образуют уравнове- ба уРАВнения ДВижения системы мАтеРНАльных тОчек (гл, 11 щенную систему. Составаяем уравнение равновесия ~ щою, Р1 = О, в которое ие войдут неизвестные реакции )г н )8 . Учитывая, что и тощ .Г =О, Ф г» будем иметь ~ тощ, РА+~ч~', щот,,УУТ =О. (8) Ф У Так как вот /„т и 'угловое ускорение е всегда имеют противоположные знаки, то щощг Т„т= — Уутлг= — тгл а.
Далее, обозначим ~г щощ, РА- г тт =М, где величина Мг нзэывается вращающим моментом. Подставляя все зти значения в равенство (8), найдем, что М вЂ” (~ч ', т Ь„) а=О. Ио сумма, стовцая в скобке, представляет собой момент инерции э', тела относительно оси Ач в результате получим /ге= М, нлн УгЕ=МР (9) т. е. произведение момента инерции тела относительно осн вращения на угловое ускорение тела равно вращающему моменту.
Уравнение (9) представляет собой дифференциальное уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Другим путем зто уравнение будеМ' получено в б 12. Из уравнения (9) непосредственно видно, что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении (см. 8 2, и. 8). 6. Уравнение Даламбера — Лагранжа.
Пользуясь принципом Даламбера, можно придать уравнениям движения форму уравнений равновесия, если к заданным активным силам и реакциям связей присоединить силы инерции. Это позволяет использовать для решения задач динамики принцип виртуальных перемее чий (см. ч. 1. гл, ч). Пусть мы имеем систему и материальных точек с неосвобождающнми идеальными связями. Тогда для каждой точки системы с массой т„, согласно принципу Даламбера, имеет место уравнение (2) уг„— т,—,,'+М =0 (в=1, 2, ..., В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
