1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 15
Текст из файла (страница 15)
у1+ ~ — ' у!+ Уз — а!= 2!г+Е1, (27) то систему будем называть динамической. Если же !'. будет произвольной функцией от скоростей а, то систему называют лагранжееой системой. б, Интеграл энергии. Уравнения Лагранжа дают первый интеграл, когда система находится под действием потенциальных сил и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.
Если действующие силы потенциальны. уравнения Лагранжа имеют вид (21). Умножим каждое нз этих уравнений на !71 и сложим их. Получим 4 з] уРАВнения дВижения В ОБОБщенных кООРдинАтАх 83 вследствие чего полученный интеграл уравнений движения сразу упрощается, а именно, подставляя в равьнство (25) величины (26) н (27), получим 2Цг+ (., — (Ц+ Т.>+ Ц) = салай или Тч — Те = сопзг. (28) Полученное соотношение называется обобщенным интегралом энергии для динамической системы. Этот результат можно представить в ином виде. В рассматриваемом случае имеем 1. = Т + (>'.
Тогда иктеграл (28) принимает вид Т, — Те — (>' = сопз1. (29) Этот обобщенный интеграл энергии называют так>не интегралом Якоби, который впервые нашел его на примере относительного движения. Итак, если система голономна, а действующие силы потенциальны, причем потенциальная функция явно не зависит от времени, и если кинетическая энергия системы также от времени явно не зависит (но система не обязательно склеропомна), то для такой системы имеет место обобщенный интеграл энергии (29). Заметим, что соотношение (29) нельзя назвать физическим интегралом энергии, так как, хотя его левая часть и имеет размерность энергии, она ие представляет полной энергии системы, поскольку разность Т, — Те не есть кинетическая энергия системы.
При этом величина Т,, являющаяся частью кинетической энергии системы и содержащая члены, линейно зависящие от скоростей, В интеграл (29) вообще не входит. Такие, не входящие в выражение кинетической энергии Т члены (когда Т явно от времени не зависит) называют гироскопическими членами, Примечание, Пусть действующие силы потенциальны н Т= Т,+ + Т, + Т„причем Т не зависит явно от времени, Тогда уравнениям (10), учитывая, что Т,= Ть(а), можно придать внд д дТ, 1 дТ> д(г дТо >1 г + ь+Н и дц, ) дг, да, дуг — ~;) (30) где (31) Разлагая Т на части второй, первой н нулевой степени относительно скоростей, т.
е. полагая, согласно равенству (14), Т=Тг+Т,+ Та, найдем, что У-я=т,. Т;=Т„(,=Те+и. 84 квлзнвния денжсния систкмы матагиальных точки (гл, и 2) Скле роном ная система. Для склерономной системы кинетическая энергия является однородной квадратичной функцией от скорости, имеющей внд (15). Следовательно, в этом случае Т = Тг а Т,=Та=О и интеграл (29) переходит в обычный физический интеграл энергии Т, — и = сонэк (33) Следовательно, для голономной системы имеет место интеграл энергии, если система склерономна, а действующие силы потенциальны, причем потенциальная функция явно от времени не зависит.
3) Лаг р анже ва система. Пусть теперь Е(и, д; ~) есть продб извольная функция скоростей. Полагая, что — = О, и повторяя дт в точности приведенные выше рассуждения, придем к равенству (24). Введем функцию %ч дб Н'= — ~+ ~ ~—. йн д~у, причем, очевидно, Н*=Н*(д, д; Г). Тогда будем иметь ин" — = 0 и Н'= сопз1. дг (35) Это соотношение также можно назвать обобщенным интегралом энергии для лагранжевой системы; для существования этого интед2. грала необходимо, чтобы было — = О, дг 6.
Примеры. При решении задач обычно пользуются уравнениями Лагранжа в виде (10). Для их составления, установив число степеней свободы системы, выбирают обобщенные координаты д и выражают (34) дт Велкчю~ы — и О~ можно считать некоторыми обобщенными силами инерда, цнн, наличие которых позволяет рассматривать систему с кинетической знергией Т, как склероаомиую. Первые нз этих сил, зависящие только от координат 4, потенциальны и имеют силовую функцию Тм а вторые, т. е. ь)ь зависят линейно от скоростей 4 и обладают тем свойством, что сумма их работ равна нулю, т, е. ~ (), ббг = О.
4 В последнем легко убедиться, если учесть, что Т, = ~ Ь 4 и Силы фь зависящие от скоростей, сумма работ которых на истинных перемещениях системы равна нулю, носят название гнросколнчаскнх сил (но Томсону н Тату). В силу свойства (32) они и не входят в обобщенный интеграл энергии (29). Примером таких сил служат кориолисовы силы инерции (см.
п. б, пример 4). аз1 кглвнвния движения в овошцвнных коогдинлтлх 85 кинетическую энергию системы Т через эти координаты и обобщенные скорости о в виде (14) или (!5). Имен выражение Т(д, д), легко составить левые части уравнений (10). Входящие в правые части обобщенные силы обычно вычисляют так, как это показано в п. 3, Рассмотрим примеры. 1. Составим, пользуясь уравнениями Лагранжа, дифференциальное уравнение движения твердого тела, вршцающегося вокруг неподвижной осн л" (см.
рис. 32 на стр. 53). В данном случае тело имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем угол га (4, = р). тогда уравнение Лагранжа примет вид М '1д ) д~Р д дТ дТ (а) Кинетическая энергия тела 1 Т = — у,фз 2 н, следовательно, дТ ° дТ вЂ” =-УХУ, — =О, дф ' д(р где 1 — момент инерции тела относительно осн вращения х. Сообщая телу виртуальное перемещение — поворот на угол бчь найдем, что 5А = (~~~~ шош, В,) бф = М, бгу; следовательно 'с1 А(л Рис.
34. Подставляя все найденные величины в уравнение (а), получим Угт = дал. (б) результат совладает с найденным выше (см. $ 5, п. 4, пример 3). 2. Через блок перекинута нить с двумя грузами А и В массой т, и те иа концах (рис. 34). Пренебрегая массой нити и блока, найдем движение системы, считая, что блок подвешен на вертикальной пружине с жесткостью с (такая схема учитывает влияние упругих деформаций оси блока). Лвижение начинается из состояния покоя.
Прн условиях задачи грузы будут перемегцтться по вертикали и поло жение системы опРеделЯетсЯ двУмЯ паРаметРамн х и У (4, = х, дз = У), где х — смешение оси блока от положения статического равновесия, у — расстояние груза А от блока. Выражение кинетической энергии системы через х н у имеет, очевидно, внл лц ° и, Т = —, (х+ у)'+ — (х — у)5 2 2 Отсюда д1 ° ° ° дТ вЂ” = гл~ (х + у) + гад (» у), —. = гл~ (х + у) — тт (х — у); дх ду дТ дТ вЂ” = — = О. дх ду йб уРАВнения дВижения системы мАтеРиАльных точек (Гл,!! Сообщая затем системе другое независимое от первого виртуальное перемещение, при котором у измеияетса на бу, а х= сопят, получим, что на этом перемещении бАэ —— (т,й — ттд) бу и Ц, = (т, — тэ) э; Составляя теперь уравнения Лагранжа получим (т, + т,) х+ (т, — т,) 'у = — сх, (т, — т ) х+ (т, + т ) у = (т, — т,) «.
() (б) Исключив из этой системы у, найдем х+дтх где обозначено (т +~» 4т,т, для определения х(Г) уравнение (в) (т1 тт) э (г) 4т1тэ Решение уравнения (в) при начальных данных с=О, х О, х=О, дает а х = — — (1 — соз дт). йэ (д) Ось блока совершает гармонические колебания с частотой э и амплитудой а (т, — т,)' дт т1+ тэ Из решения примера 1 в б 5, и. 4 (см. рис, 30) видно, что эта амплитУДа ПРОПОРЦИОНаЛЬНа Раэиаетн МЕЖДУ СтатНЧЕСКИМ тт', И ДИНаМИЧЕСКИМ ЛГх давлением на жесткую ось.
При этом, так как дгд < дгеэ то естественно, что из начального положения ось начинает движенйе вверх, ва что указывает зван минус в уравнении (д). Интегрируя теперь дважды уравнение (б) и отсчитывая у от начального псложеиия, получим тута (т, +т,) у =(т, — т,) — — (т — тэ)х. 2 Заменяя здесь х его значением из уравнения (д), найдем окончательно т~ — т, «(т т — т~ а (е) Равенство (е) определяет закон удаления груза А от оси блока; для абсолютного движения груза А будем, очевидно, иметь ул —— у+х, а для груза Д Теперь, сообщая системе виртуальное перемещение, при котором х намекается на бх, а у = сопя!, и учитывая, что х отсчитывается от статического положения, в котором сила тяжести (т, + т,) д уравновешена упругой силой пружины, будем иметь оА, = — сх бх и (), = — сх.
Р З) УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОВОВШЕННЫХ КООРДИНАТАХ 87 соответственно у =у — х, где у отсчитывается от начального положения в в груза вверх. Поскольку все действующие на систему силы потенциальны, то для нее можно составпть функцию Лагранжа лс, ° °, лет ° ° сх' б = Т+(7= — (х+ у)'+ — (х — у) — — +(лс, — лте) ну+ сопя(. 2 2 2 Тогда, используя уравнения (21), придем к тем же результатам, т. е. к уравнениям (а) н (б). 3. Составить дифференциальные уравнения движения и найти закон малых колебаний системы, состоящей из сплошного однородного цилиндра весом Р и шарнирно прикрепленного к его оси стержня АВ длиною! и весом р (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
