1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 19
Текст из файла (страница 19)
104 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ 11 В частном слУчае, когда па=О, центР масс описывает циклондУ х= ~' (1 — соя 2юас), у — '(2маа — з1п2еа2) 2 с точками возврата на оси у. В другом частном случае прн движении вдоль горизонтальной плоскости (д1 = 0) траекторией центра масс будет окружность ха+(у а) ( а) имеющая центр нз осн у и касающаася оси х в начале координат.
Наконец,при юа = 0 уравнения (л) дают после раскрытия неопределенностей очевидный результат: х = пас+ †' , у = О. вас 2 Имея решение (л), можно из уравнений (д) определить реакцию неголономной связи. Согласно уравнениям (д) 12'„= Л ГН нас. ДГ» — — — Л. Кроме того, Л = — ту (при а = 0), т. е. Л = — ж (л1 з1 и 2нас + нана соз мат). Следовательно, )д=")7)д',+)д,'=ж!Уа а+2Я121п ~~.
Направлена реакция М, как нетрудно проверить, перпендикулярно к вектору е (см. рнс. 37,б). 11. Уравнення Чаплыгнна. Пусть система, положение которой определяется и координатами дп д,, ..., д„, подчинена г стационарным неголономным связям, налага1ощнм на обобщенные скоростн н варнацнн координат условия ~~",а д =О, ~~а бд =0 (р=1, 2, ..., г), (647 1=1 1=1 где а не зависят явно от 1. Таким образом, независимых вариаций будет 1= п — г. Условимся обозначать в дальнейшем символом д, (1=1, 2, ..., 1) те из координат д, вариации которых мы будем считать независимыми, а через д, (а=1+1.
1+2, ..., а) осталь- ные (зависимые) координаты, тогда нз УРавнений (64), линейных относительно др ьдд можно выразить все д и бд через д, и Ада в виде ! да=ХЬаад (а=1+1 1+2, ..., п), (667 ,=1 бд = ~~ 01601 (0=1+1, 1+2, ..., и). (65'~ эа1 килвннния движения е оиовщенных коогдинлтлх 105 л Далее, в равенстве 5А= ~~'.~ 915!7, определяющем элементарную ! 1 работу действующих сил, можно с помощью (65') выразить все зависимые вариации бр через 5!7! и представить 5А в виде 5А= с~ %бй!.
(66) ю=! где О!' — те же обобщенные силы, которые входят в уравнения Аппеля. Пусть теперь рассматриваемая система такова, что все коэффициенты 5 ! в равенствах (65), а также обобщенные силы Я,' и кинетическая энергия системы Т зависят не более чем от 1 = а — г координат, где а — г есть число степеней свободы системы, т. е., напри- меР, зависЯт только от !7!, Ра ..., !7! (но в выРажение Т могУт входить все обобщенные скорости !7!, о, ..., !7„). Тогда для такой нсголономной системы имеют место уравнения, полученные С. А.
Чаплыгиным в 1897 г. Выведем эти уравнения исходя опять иа уравнения Даламбера— Лагранжа, которое в обобщенных координатах (см. п. 1) приводится к виду (67) Так как, по пРедположению, Т от !7!„г, д!„ю ..., !7„, не зависит, то /=! '" .=! Далее, согласно равенству (66), л ~ Я>бг77=6А= ~~'.', Я!бйн Наконец, !! ! л ,нг ад, л! д!7! е=ьь! где, согласно соотношениям (65'), Л а !+! чч я=!+! ~~ ')че с=! -Т;'( ~ !.,— "(-")]и,. 106 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1ГЛ. !! Подставляя все найденные величины в равенство (67), будем иметь л Отсюда, так как все бд, между собой независимы, находим л — ~ —.~ — — — Я!'+ ~ Ь„! — ~ —.~=0 (1=1, 2, ..., 1). (68) Т(д! д!) = Т (д! д да) аа'ла! где символ д,— ! д! означает, что здесь зсе д, должны быть выражены через д,.
Тогда, принимая еще во внимание равенства (65'), получим л л дТ дТ ч дТ дда дТ дТ ! ддах . — = — + 1 — — '= — + Х вЂ”.1 — '" ' дд, дд! дда дд, дд! дда дд, дТ дТ Ъ~ дТ дда дТ %" дТ д д д д д д д! дг,,+1 да д! д!, „! да ' а также, поскольку все д ! зависят только от д!, л ( — ".1 ~ ('~1! ~ э ('~)ь а=!-!!дда ь ! дл д !'дТ ! дТ вЂ” — и —, лодд! (,дд,) дд, ' Вычисляя из найденных равенств значения ставляя их в уравнения (68) и учитывая, что 1=я — г, будем иметь — — — — =Я!'+ В, (1= 1.
2,..., и — г), (69) г! ! дТ! ду д! 1(дд,) дд, где (70) Условимся в дальнейшем вместо Р(дн да, ..., д,) писать 7'(д,) и т. д, Тогда, согласно сделанным допущениям, 7=Т(д,, дн да). Обозначим через Т то выражение кинетической энергии, которое получится, если из Т исключить все д с помощью равенств (65). Таким образом, $81 уРАенения дзиженИя В ОБОБщенных кООРдинАТАх 107 Кроме того, Т = — (хг+ у') + — у т ° ° 1 2 2 с (б) и обобщенные силы [см.
п. 1О, равенства (к)] 12,„>— - т(л,+а(ав), (),,=О. (в) Коэффициент прн х з уравнении (а) и обобщенная сила ьг зависят только от 9, а в равенство (б) координаты вообще ие входят. Следовательно, для данной системы справедливы уравнения Чаплыгина. Заменяя в выражении (б) у его значением из равенства (а), получим т х' 1 Т= — — + — У ~. 2 соз'и 2 сг (г) Отсюда дТ х — = т —, дх соз' 9 дТ ду — =г' дт= С.
х' з!и в хг (ею соз 9 соз и ду — =О; дх (л) Уравнения (69) и представляют собой уравыеыыл Чаплыгина. Напоминаем, что эти уравнения справедливы лля склерономной системы, обладающей тем свойством, что коэффициенты в равенствах, выражающих зависимые обобщенные скорости через независимые, а также кинетическая энергия и обобщенные силы системы зависят не более чем от з — г координат, где з — г — число степеней свободы системы.
Такой класс систем в приложениях встречается довольно часто. Для получения уравнений Чаплыгина надо вычислить два выражения кинетической энергии: выражение Т через все обобщенные скорости и выражение Т через независимые обобщенные скорости, затем подсчитать обобщенные силы (г', так же, как при составлении уравнений Аппеля, и, наконец, найти по формулам (70) члены В; (подчеркнем, что в выражения В, входит Т, а не Т). После этого составляются уравнения (69). Уравнения (69) указывают также на то, какая ошибка будет сделана, если для неголономной системы составить обычные уравнения Лагранжа, исключив предварительно из выражения Т зависимые обобщенные скорости с помощью уравнений связей: при этом утратятся члены ВР Пример.
Составим уравнения движения саней вдоль нзнлонной плоскости (см. пример з конце и. 1О иа сгр. 101), пользуясь уравнениями Чаплыгина. В этой задаче положение системы определяется координатами х, у, и (л = 3), а уравнение неголоиомной связи имеет вид у = (1е 9) х. (а) 1ОО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1ГЛ.
Н дТ %Ч! дЬзз дазь1 . Вт= —. ~„р — — -о — ) я (з=1, 2). д'з Ьз~ Заметим сразу, учитывая равенства (б) и (а), что дТ дТ вЂ” = — = ту тх1иф. дйз ду Тогда, опуская члены, обращающиеся в нули, получим 1дЬ„Т х' 1йв Вз = тх(яр ~ — нз) = 1 даат,) созз р дЬ„. 1 тз'з(й, з,= ~з дйз ) созз ф Составляя с помощью соотношений (д) и (е) уравнения Чаплыгина д дУ' дТ з з( дТ д)" — ( —.) — —.=()(х>+В,, — „( —.) — — -(г(1+Вг и учитывая равенства (в), получим окончательно х+х~ртае=», соззез+аз)пчзсозчь зрььО, т. е.
придем к той же системе уравнений, что и система (з) на стр. 102. Ыеучет членов В1 привел бы, как видим, к ошибочным результатам. (е) Для установления соответствия с формулами п. 11 будем считать х йн за=Ям у = йм Тогда, учитывая, что в данном случае число неголономных связей г= 1, а 1= и — г=2, и сравнивая равенства (65) и (а), имеем Ьз~ =(дзг вяз=О; далее в членах Вз будет о 3 и они примут вид 3 ГЛАВА ТРЕТЬЯ МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ.
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ 5 9. Малые колебания системы 1. Уравнения движения системы под действием потенциальных сял в сопротивляющейся среде. Функция рассеяния. Рассмотрим голономную механическую систему, состоящую из И материальных точек, подчиненных связям, явно не зависящим от времени (т. е. склерономным). Пусть система имеет л степеней свободы; тогда положение системы будет определяться а независимыми координатами, которые обозначим через д!, Фм ..., д„.
Допустим далее, что силы, действующие на систему, имеют потенциал У(д!, дм ..., д„); тогда потенциальная энергия системы выразится функцией 1/= — У. Наконец, положим, что система движется в сопротивляющейся среде, влияние которой механически характеризуется тем, что на каждую точку системы действует сила, являющаяся функцией скорости и имеющая направление, противоположное направлению скорости. При малых скоростях можно считать, что обобщенная сила сопротивления, отнесенная к координате д,, есть линейная функция обобщенных скоростей дг, !)м ..., д„точек системы, т.
е. А!,= — ~~'.,х„д, (г= 1, 2, ..., л). (1) ! 1 Введем для сил сопротивления функцию Р, аналогичную потенциальной функции для обычных сил и называемую функцией расссеянин или диссинативной функцией. Для этого положим (2) Легко видеть, что сама функция рассеяния будет однородной функцией второй степени (квадратичной формой) обобщенных ЯАлые двиЖЕния <гл. Еи по скоростей, т, е. 1 ж1 г, г=! При сделанных предположениях уравнения движения системы будут (дТь дТ ды дР— 11 —.) — — = — — — —, (г=!, 2...
„а). (4) дг ~, дуг ) дуг даг юг Кроме того, нами еще наложено ограничение на связи, а именно мы полагаем, что связи склерономны. В этом случае кинетическая энергия системы будет однородной функцией второй степени от обобщенных скоростей, т. е 1 жз г, и (б) и и и и „~» — 1 — ) г), — ~а — г)г .+ ~~ — г)г = — ~ —. дг. (6) lдТ~ т дТ дЪ' э дл Полученное выражение легко преобразуется в более простое. )действительно, по теореме Эйлера об однородных функциях имеем — д, = 2гч. дР дуг Очевидно также, что др ° д)г г (7) Далее, Так как по условию Т есть однородная функция второй степени от скоростей д, то по той же теореме Эйлера — лг = 2Т; дЧг где коэффициенты а„зависят явно только от координат р, Используя уравнения движения (4), нетрудно выяснить механический смысл функции рассеяния, С этой целью обе части уравнения (4) умножим сначала на г)„а затем просуммируем по индексу г от 1 до л; получим мАлые кОлеБАния системы аТ вторая же сумма в правой части равенства (8) равна —; поэтому дт ' Х (,,) — г д /дТт %1 дТ ° дТ дТ дТ (О) дт дггг дгтг г г Подставляя выражения (7) н (9) в уравнение (б), получим "(Т+ К) 2Е дт илн, обозначая полную механическую энергию системы через Е, т е.
полагая Т+)г=Е, будем иметь дЕ~ — = — 2Р. да (10) Выполняя интегрирование. находим, что Е= — ~ 2Рт(с+сопз1. (10') М вЂ” = ~~ —,Ь| =О. %1 дм Л4 да Г Механический смысл функции рассеяния теперь ясен. функция 2Р, как видно пз равенства (10), дает меру убывания энергия в единицу времени, а формула (1О') — то же самое для конечного промежутка времени прн движении системы в сопротнвляющенся среде; итак, функция рассеяния есть мера убыааняя механической энергин системы. 2. Уравнения малых движений. Допустим, что рассматриваемая система может в некотором положении находиться в равновесии. Будем отсчитывать координаты д, системы от положения равновесия, считая, что в этом положении д,=О (г= 1, 2,, и) Тогда вблизи положения равновесия координаты д, н нх производные по времени будут величинами малыми; пользуясь этим, можно существенно упростить изучение малых движений системы вблизи положения равнове сня, заменяя полные уравнения движения приближенными, в которых будут сохранены лишь члены первого порядка малости.
Кроме того, изучение малых движений вблизи положения равновесия, к рассмотрению которых мы сейчас перейдем, позволяет сулить н о харзктере самого равновесия Пусть рассматриваемая система под действием приложенных к ней потенциальных снл находится в равновесии (силы сопротивления среды, зависящие от скоростей, прн равновесии равны нулю). Тогда в положении равновесия потенпнальная энергия 1" должна, как известно, иметь стационарное значение, т, е. яллые дзижяния 112 1гл. 1и Так как вариации бд, между собой независимы, отсюда следует, что необходимые и достаточные условия равновесия системы имеют вид дУ вЂ” = О (г = 1, 2, ..., «). дд, Допустим теперь, что система сообщением ей небольших возмушений выведена из положения равновесия, и составим для нее уравнения (4), ограничиваясь случаем малых движений, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
