1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 20
Текст из файла (страница 20)
сохраняя в этих уравнениях члены с д„ д,. д, только первого порядка малости. Поскольку в уравнения (4) входят производные от функций У, Т и Р' по д, или д„, то, чтобы сохранить в уравнениях (4) члены с д, н д, первого порядка, надо при вычислении функций У, Т и гч сохранить в них члены второго порядка. Будем, как уже указывалось, отсчитывать координаты д, от положения равновесия, считая в положении равновесия д, = О. Тогда, разлагая потенциальную энергию системы в окрестности д,=О в ряд Тейлора, получим У = У + ~ ( †) д,+ — ~1 ( ) д,д,+ чл. высш.
пор., (12) 1 ~ч 1 — 2 а~я сг д дг (12') и г дз1/ где коэффициенты с = ( д д постоянны ддг ддэ /а Преобразуем теперь выражение кинетической энергии (5). Разлагая коэффициенты аеи явлвюшиеся функциями координат д„в ряд Тейлора, получим Лы=(пм)З+,~~ 4( д ) д1+ ~~ (д д )~щ/+ЧЛ. ВЫСШ.
ПОР. Вследствие малости скоростей удержим члены лишь второго порядка малости; тогда в разложении коэффициентов а„придется ограничиться только первым членом (а„)з, так как все остальные члены где индексом О отмечены значения функции У и ее производных в положении равновесия, т. е. при д,=О (г=1, 2, ..., и). Первая сумма в правой части равенства исчезает вследствие того, что в полоясенин равновесия выполняются условия (11). Членами порядка выше третьего мы также, как было указано, пренебрегаем, Наконец, поскольку потенциальная энергия системы определяется с точностью до аддитивной постоянной, то полагаем аддитивную постоянную выбранной так, что Уз = О; в результате получаем ЯАлые колеБАния системы 113 в проиаведенни с д,д, дадут члены не ниже третьего порядка. Выражение кинетической энергии поэтому примет вид 1 чььт т= — ~а атт Ч,1 и к (13) в обозначениях коэффициентов а„здесь опущен индекс нуль; не следует, однако, забывать, что этн коэффициенты теперь являются постоянными.
Коэффициенты в разложениях 1г, Т и Р носят специальное название, а именно: с„называются коэффициеитами еосспгаиоелекил или кеаэиупругими коэффициентами; а„— коэффициентами инерции н и„— коэффициентами сопротиеленил. Принимая во внимание равенство (13), имеем л л к=1 ат — =~~~ а„д,; дик Кроме того, из равенств (2) и (12') находим л л Подставляя эти выражения в уравнення движения (4), получим уравнения малых движений системы вблизи положения равновесия л ~г (а,р,+к„ил+сто,)к О (г=1, 2, ..., п).
(14) к=1 3 Н Н. Букклльи Таким образом, уравнения малых движений системы вблизи положения равновесия представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно и неизвестных координат д. Проинтегрировав эту систему, мы найдем координаты 1у в функции времени и 2п произвольных постоянных, определяемых начальными условиями. 3. Интегрирование уравнений движения. Как известно, линейные однородные уравнения, а таковыми и являются уравнения малых движений (14), интегрируются подстановкой д, = А,е"', где А, и й суть постоянные величины. Подставляя этн выражения координат в уравнения движения (14), получим ~~'., А, (ак,Р+ иск), + с„) = 0 (г = 1, 2, ..., п), (15) ,=1 т.
е. систему и однородных линейных уравнений относительно А,. Известно, что система однородных линейных уравнений, в которой 1гЛ. Н1 МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ число неизвестных равно числу уравнений, дает решения, отличные от нуля только в том случае, если определитель системы равен нулю, т. е. если Ь (Л) = — 11 а„Л2-+ х„Л+ с„11 = О, (16) илн, в развернуто м зиле, аиЛ2+хцЛ+сп а„Л'+х12Л+с12... а,„Л'+х1„Л+с1„ 02!Л +х21Л+С21 л22Л +х22Л+с22 ° ., Й2~) +хзлЛ+С2 Ь(Л)= а„„Л2+х„„Л+счл а„,Л2+х„1Л+слл . Уравнение (16) есть уравнение степени 2л относительно Л; оно называется харлклгсрислгическим или уравнением частот.
Решая его, найдем 2л значений Л, называемых собственными значениями. Подставляя какое-либо из этих значений Л в уравнения (15), мы определим одну из систем решений этих однородных уравнений, т. е. и значений множителей А", которые обозначим через А,, А2,..., Ад. Эти значения множителей А пропорциональны некоторой произвольной постоянной, которая является постоянной интегрирования, так как из теории однородных линейных уравнений известно, что если им удовлетворяет некоторая система решений, то им удовлетворяет и всякая иная система, полученная из первой путем умножения ее решений на какое-либо число.
Таких систем значений множителей А будем иметь столько, сколько корней имеет характеристическое уравнение, т. е. 2л. Каждая из этих систем, определяемая индексом а, включает в себя произвольную постоянную; число этих произвольных постоянных равно 2а, т. е. их столько, сколько и дошкно содержаться в общем решении системы (14).
Число всех значений А будет, очевидно, 2лз. Тогда, согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, найдем окончательно для координат точек системы следующие выражения: л = ~с'~ А22 е (2=1 2,, «) (17) а=1 Вид фУнкций йм а следовательно и хаРактеР малых движений, опРеделяется свойством корней уравнения частот Л . 4.
Исследование корней и характер малых движений. Свойство корней характеристического уравнения дает возможность судить не только о характере малых движений, но и о характере равновесия системы, мАлые кОлеБАния системы % 9! Чтобы получить выражение, удобное для исследования характера движения в зависимости от вида корней уравнения частот, рассмотрим какой-нибудь корень уравнения (16), который для общности будем предполагать комплексным; пусть этот корень будет Х =!А+1ж а корень, ему сопряженный, Х'=!А — 19.
Тогда множители А, соответствующие корню )„будут, вообще говоря, комплексные вида А,=а,+1р,. Так как уравнения (15), которым удовлетворяют значения А, линейные, оанородные и с действительными коэффициентами, то множители А, соответствующие сопряженному корню Х', будут комплексными и сопряженными А„т. е. будут иметь вид А,=а — 1р . А Ч' Умножим каждое из уравнений системы (1б), т.
е. уравнения и ~ А, (и„) 9+ н„). + с„) = О (г = 1, 2, ..., и), на А, (с = 1, 2, ..., п) и сложим полученные выражения почленно; будем иметь ),9 ~~ а„А,А, + Х лчч н„А,А,+ ~~ с„А,А, = О. (1В) И А О 8 Так как =с И„= алм х„= к„, то множители при коэффициентах аБО ньп с„, в двойных суммах имеют вид АгАх+ А,Ат' подставляя вместо А их комплексные выражения, получим А,А,'+ А,А,' = (а, + 1р,) (а, — Ф,) + (а, + 1р,) (а, — (р,) = = 2(а,а,+(1,!),).
(10) Следовательно, квадратное уравнение (18) будет иметь действительные коэффициенты и примет вид Хз ~~.', а„(а,а,+-р,р,)+ ), ~~ н„(а,а,.+ р,р,)+ ~~ с„(а,а, + б,й,) = О. Гя " ' ' '* (20) Принимая во внимание, что функции 1%9 . 1чьз 1ЪЧ е т О ч Бв представляют собой квадратичные формы, легко видеть, что двойные суммы в коэффициентах квздратного уравнения (20) являются теми же МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ !гл. Еи 113 квадратичными формами, но выраженными в ~~яма,а,=2Т(а), ~~~и„а,а,=2Р(а), ся пз Ха„[),[),=2тф), Хх„[[,3,=2Р(Р), переменных а и р, т.
е. ~а с„а,а, = 2$' (а), ох ~~.", с,Щ,= 2Ь'ф). Подставляя эти выражения в уравнение (20), получим Лт [Т (а)+ Т ф)] + Л [Р (а) + Р ф)]+ 1' (а) + Ъ'(р) = О, (21) откуда — [Р (а) + Р (р)) ~ Тс[Р (а) + Р ф))а — 4 [т (а) + т ф)) [[г (а) + у ф)) 2[Т(.)+ ()) В зависимости от дискриминанта левой части уравнении (21) Ь= 4 [Т(а)+Тф)] [[с(а)+ У(р)] — [Р(а)+Р(р)]т корни уравнения (21) могут быть трех видов: 1) если Л > О, то корни комплексные. 2), Л < О „„действительные и различные, 3) „А=О, „действительные н равные. (22) Таким образом, вид корней Л зависит от знака дискриминанта б Так как кинетическая энергия Т всегда положительна, то ква- 1 ъ1 дратичная форма Т= — т п„,д,д, будет определенной положительна ной формой. т. е.
будет положительной при любом действительном значении переменных; поэтому Т(а) > О, Т(р) > О. То же самое 1 жч относится и к функции рассеяния Р= — т и„а,п,. Что же касается о 3 1 жч потенциальной энергии У= — ~с„а,с,, то эта функция может быть о а н положительной. и отрицательной и, следовательно, не является определенной квадратичной формой. Поэтому ясно, что от знака функции Ъ' (т.
е. потенциальной энергии) и зависит главным обрааом характер малых движений системы в расположенной вблизи конфигурации равновесия малой области 1), а также характер и самого равновесия системы. Могут быть три основных случая: 1) когда в области О будет )г < 0; поскольку мы приняли, что в положении равновесия ь' = )'а = О, то, следовательно, в этом случае потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия максимум'„ 2) когда в области с) будет У > О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
