1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1„„= ~ рлгс(~= ~ ~ ~ р(х, у, «)(у + ах)с(хг(уев. Если тело однородное, то р постоянно и может быть вынесено зз знак интеграла, и мы получим = Р ~ )22 22 о, где ~ Йгг(о есть геометрический момент инерции объема, который, 5 масса очевидно, имеет размерность (длина) ~размерность р есть (длина)' Если тело представляет собой однородную тонкую пластину тол- щиной Ь (Ь = совам), то, полагая до = Ь до, где ло есть элемент площади пластины, будем иметь / =рд 1 лгс(о.
Здесь рб=р' — поверхностная плотность (отношение массы элемента пластины к ее площади), а интеграл ~ Дг,УО ~ ~ (уг+ зг),~,с(х взятый по площади пластины, будет геометрическим моментом инерции площади; его размерность (длина)". Точно так же в случае нахождения момента инерции однородного тонкого стержня с площадью поперечного сечения з (з = сонат), полагая Гго= зЛ, где Н вЂ” элемент длины стержня, найдем, что 1 „=рз ~ лгаЧ. Здесь рз = р" — линейная плотность (отношение массы элемента стержня к его длине), а интеграл ~ Ьг с(Г, взятый вдоль отрезка ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ~ГЛ. ГЧ 132 кривой (вдоль оси стержня), есть геометрический момент инерции отрезка линии, имеющий размерность (длина)з.
Таким образом, для вычисления осевых моментов инерции однородного тела, пластины илн стержня нужно вычислить соответствующие геометрические моменты инерции, т. е. моменты инерции объема, площади или отрезка линии (что является задачей интегрального исчисления) и затем умножить найденную величину на соответственную плотность (т. е. объемную, поверхностную, линейную). Заметим еще следующее. Пусть нужно вычислить момент инерции однородного призматического тела (т. е. тела, ограниченного поверхностью призмы или цилиндра н перпендикулярными к оси призмы | сечениями) относительно оси к, параллельной образующей (рис.
40). Рнс. 40. Задача, как мы видели, сводится к вычислению геометрического момента инерции объема этого тела относительно оси к, т. е. величины ~ лзг1О, Возьмем за элемент объема объем волокна, площадь' поперечного сечения которого равна Фп, а длина равна длине тела Е; тогда ~И~ = 1, Ыо, и ~ Дзс1о= 1. ~ Дзг1п, причем интеграл берется по всей площади поперечного сечения. Оче- видно.
ьздп= гр т. е. этот интеграл равен полярному моменту инерции площади поперечного сечения относительно точки О. Следовательно, геометрический момент инерции призматического тела относительно осн, параллельной образующей, равен У /о, т. е. произведению длины тела ГЕОМЕТРИЯ МАСС % И1 иа полярный момент инерции площади поперечного сечения относительно точки пересечения оси с плоскостью этого сечения. 6. Радиус инерции. Момент инерции системы относительно какой-либо оси х можно выразить в виде 2 2 1хх = Х л22222 = 1Ирхх где М вЂ” масса всей системы, а р есть линейная величина, которая называется радиусом инерции относительно оси х.
Из определения следует, что радиус инерции есть длина, равная расстоянию от оси х той точки, в которой нужно сосредоточить массу всей системы, чтобы получить тот же момент инерции .Гх . Ясно, что Можно поставитЬ вопрос иначе: найти массу М', которую нужно сосредоточить в данной точке, находящейся от оси х иа расстоянии А2, чтобы получить тот же момент инерции Ух . Для определенна 2И' имеем равенство Л 21~= Мр „, откуда 2 И Рхх Этот процесс называется приведением массы системы к данной точке. Очевидно, что радиус инерции вполне определяет момент инерпии системы относительно данной оси.
7. Моменты инерции относительно осей параллельного пучка. Теорема Гюйгеиса (Штейиера). Из определения ясно, что осевой момент инерции данной неизменяемой системы зависит от положения осн, относительно которой вычисляется момент инерции; следовательно, осевые моменты инерции данной системы могут иметь относительно различных осей бесконечное множество значений, которое, однако, имеет нижнюю границу. Рассмотрим, как изменяется осевой момент инерции при переходе от одной оси х к другой 1; для этого рассмотрим: 1) моменты инерции относительно осей параллельного пучка и 2) моменты инерции относительно осей пучка, выходящего из данкой точки. Зная, каким образом изменяется момент инерции прн переходе от одной оси к другой в первом и втором случаях, мы можем по данному моменту инерции относительно какой-либо оси х найти момент инерции относительно любой другой осн 1.
Для этого, взяв произвольную точку О на осн 1, находим сначала момент инерции относительно оси х', параллельной х н проходящей через точку О, л затем от оси х' переходим к оси 1, динлмикл лвсолютно твиодого талл (гл. пг 134 Начнем с установления зависимости между моментами инерции относительно осей параллельного пучка. Проведем оси Охуг (рис, 41) и рассмотрим момент инерции системы относительно оси х; он будет У,» = ~~'.~ льный~~ = ~~ т ь(у~ + з~~). (1) Возьмем ось х', параллельную оси х и проходящую через центр масс системы С, координаты которого пусть будут хс, ус, «с1 проведем еще через С оси у' и г', параллельные осям у и в.
Тогда Уг=у;+Ус Р в~+во Рис. 41. где х'., у'., в,' будут координаты ь точки М относительно системы осей х'у'г'. Подставляя зти выражения в равенство (1), будем иметь = лн1 ль;[(у,-+ус)ь+(з + зс)а1= = ~л~ ль ь (У~ + в~ ) + Х ль ь (Ус '+ во)+ 2 Х ль г (У,'Ус + А вс) (2) Первый член правой части равенства (2) есть момент инерции системы относительно оси х', второй член можем представить в виде Х ль~ (ус+ вс) = (ус+' вас) Х где М есть масса всей системы, а д — расстояние между осями х и х'.
Третий член равен нулю, потому что Х ь(у~ус+'~вс)=усХ ьу~+ сарж,з,', а ~ ль~у~ и Хн ль„х, равны нулю, как статические моменты относительно плоскостей, проходящих через центр масс. Итак, Ель,(у',+за)=Х ль, (у",+за)+МЯ-+во). или (3> Равенство (3) выражает собой теорему Гюйгенса: моменль инер- ции сисльемы относительно наной-либо оси равен моменньу инер- ГЕОМЕТРИЯ МАСС Нии относительно параллельной оси, проходящей через центр .масс системы, сложенному с произведением массы всей системы на квадрат расстояния между осями. Если ввести рздиусы инер- ции, то мы получим р2 р2 +й2 хх х'х' (4) У1 =.1С+ Мй1 где Ус есть момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, а а1 — расстояние центра масс до оси 1. Для оси 2, параллельной осн 1, аналогично имеем Уз=УС+Мйз.
Из этих двух равенств получаем у2 = у1+ М 11й2 — й1). Рис. 42. Теорема Гюйгенса относится не только к осевым моментам инерции, ио может быть распространена на все моменты второй степени. Совершенно аналогичным способом легко доказать равенства ..,"~ т,х', = ~~'., т,х,'2+ Мхз и т. д., ~2т,у,я,=~ т1уьг'.+Муся. и т. д„ Х т1(х; + у1+ я1) = си~ т1(х1 + у; + я1 ) + М(хс + ус + в~с) 8. Моменты инерции относительно осей пучка, выходящего нз данной точки.
Найдем момент инерции системы относительно оси 1, которая проходит через заданную точку О и направление которой по отношению к осям Охуг определяется направляющими косинусами а, р, у (рис. 42); очевидно, момент инерции отиосителы<о Из равенств (3) илн (4) следует, что наименьшим из моментов инерции системы относительно осей параллельного пучка будет момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс системы. Пользуясь теоремой Гюйгенса, можно легко определить момент инерции системы относительно любой оси пучка параллельных осей, если дан момент инерции относительно какой-либо одной оси этого пучка.
Пусть дан момент инерции х1 относительно оси 1; тогда по теореме Гюйгенса динамика авсолютно твивдого тела 1гл. щ оси 1 будет функцией этих направляющих косинусов. Согласно определению осевого момента инерции имеем у1=Х и1д1п где г21 есть расстояние точки с массой т, до оси Е Возьмем начало координат в точке О и положим ОМ1 = го причем г1 = х 2+ Уьl+ в122.
Тогда г,.6=ах,-+ ру,+уг1 — — г, соя <рг. где 1р1 есть угол между направлениями г, н аз; далее, так как л1 —— =г,а1п<р1 то 21 У1 = ~ и Л, = д2 т г, з1п 1р, = ~2 и, [г1 — (г, сов ф ) 1. Отсюда, принимая во внимание, что а2-+р2-+у2= 1, находим У, = ~ч.", т, [(х2+ у', .+ г22) (а'+. Р2+ у2) — (ах, + ру1 + ух 1)2[ или / ~Чаи [а2(у2+х2)+Р2(х2+х2)+у2(х2+у2) — 2руу,г2 — 2уах,х1 — 2арх,у,1. Введем теперь следующие обозначения 1см. и. 4 этого параграфа): У = А = ~ т,(у2+ х',), 1, =,0 = ~~'„~ т2у1зм У„=С = ч.", и, (х',-+ у), У„= Р =,У~22 т,х,уг Тогда получим .71=/ ~аз+У тра+У„уа — 2у~,ру — 2у, уа — 2у ар, или, в других обозначениях, У1 = Аат+ Вра+ Суе — 2Ору — 2Еуа — 2Рар. 9.
Тензор инерции. Из равенства 15) следует, что для определения момента инерции тела относительно любой оси пучка, прохолящего через точку О, достаточно знать шесть величин У, Ущ, У„, л „У,», 1„2 (или А, В, С. О, Е. Р) и, конечно, направление этой оси, определяемое косинусами а, р, у; прн этом у„„, 122, у„представляют собой моменты инерции относительно соответствующих осей координат с началом в точке О, а У„„У,, У„т — произведения инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
