1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Эти шесть величин вависят от положения точки О и от направления координатных осей, потому что с изменением точки О ГЕОМЕТРИЯ МАСС 137 н при перемене направления координатных осей координаты точек тЕЛа Хг Уг г1 ИЗМЕНЯЮТСЯ. УКаЭаННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МОЖНО РаСПОЛОжнтЬ в виде симметричной матрицы — х' хх ухх Ю== — l хх — у ху у — х' ху (6) ух у„ которая носит название тензора инерции; элементы этой матрицы называются компонентами тензора инерции. Из матрицы (6) видно, что диагональные компоненты тензора (х) представляют собой осевые моменты инерции, а остальные — произведения инерции со знаком минУс, пРичем по опРеделению Уху = У~х, Уух = У,у, У,х = Ухх.
Тензор (х) представляет собой символический оператор, который, действуя на некоторый вектор а, дает другой вектор б с проекциями, являющимися линейными функциями проекций вектора ви при этом матрицей линейного преобразования является матрица (у). Вектор Ь называется линейной вектор-функцией вектора а, а самая операция называется операцией умножения вектора а на тензор (х) и обозначается так: б=а(/). г'=г(А), где а11 аж аж (А) = — аю а22 аю 1231 н32 изз определит точку пространства М'(х', у', л'), причем х' = апх+.а1 у+ ажз, у' = а21х+ а22у+ а, г, пз1х+ льну+ лззл. Таким образом, каждой точке УУ1(х, у, з) пространства однозначно соответствует точка М'(х', у', г').
Такое преобразование пространства называется аффннным, поэтому оператор (А) называется Это равенство, согласно определению, запишется в проекциях следуюшим образом: Ьх=3 ах — 3 а — х' ах, бу = — lухах+.l и —.7уха„ Если за вектор и взять радиус-вектор точки М пространства г = х7+ уу+ лб, то уравнение [гл нг !38 ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА аффинором. Следовательно, (х) также представляет собою аффинор, н притом симметричный. Посредством тензора (1) мы можем формулу (5) выразить следующим образом. Возьмем единичный вектор направления осн В У'= У+бу+уй; тогда (т) (Ухха Ухур УххУ) е+ ( гуха+'УууР '~ухУ) / + -+ ( — ухха — у,ф -+ у„у) й. умножая вектор хз(х) на вектор !з скалярно, получим !е(х") ° )Е = 3 „а'+ У Рз-)-Х у — 2/у,бу — 2/, уа — 2/хуаР Обозначая стоящую в правой части квадратичную форму аргументов а, 5, у для сокрашения записи через 2С (а, р, у), получим !е (х') )е = 2хч (а, Р, у) = уп Отметим в заключение, что вообще каждому симметричному аффинору соответую ствует квадратичная форма; если аффинор (А) будет симметричный, т, е.
если а,„ = аао то квадратичная форма, соответствующая (А), будет 2Р'(х, у, г)= = г(А) ° у'. !О. Эллипсоид инерции. В п. 8 мы получили выражение (5) момента инерции относительно оси ! в зависимости от направляющих косинусов а, 5, у этой оси; следовательно, зная компоненты тензора (х) для точки О и данного направления координатных осей хуг, мы можем найти момент инерции для любой оси, проходящей через точку О. Можно дать Геометрическую картину распределения моментов инерции относительно осей пучка с центром О путем построения эллипсоида инерции. Возьмем на оси ! пока произвольную длину ОМ = хс'; тогда координаты точки М будут (рнс. 43) х = !ха, у = ухв, г = Йт'.
Подставляя полученные из этих равенств значения а, 5, у в выражение (5) для lн получим 1йз=1 хе+1 у'+l г' — 2х' хуг — 2/ххах — 2х' ху, (7) илн, сокращенно, /!)с'=2Р(х, у, г). ГЕОМЕТРИЯ МАСС Выберем теперь хг так, чтобы было у)уг ьг или Ф Я=в у~,' (8) (8') где л есть постоянная величина. Тогда уххх + ~ууу + ~ххг 2ууху 2уххг» 2ухуху = ь' (9) или (9') 2г (х, у, г)=)ьг, т. е. геометрическим местом точек М будет поверхность 2-го порядка, определяемая уравнением (9). Из уравнения (8') ясно, что поверхность (9) не имеет бесконечно удаленных точек, поскольку величина .l~ сунгественно положительна и не равна нулю; следовательно, эта поверхность есть эллипсоид, который носит название вллилсоида инерции тела относительно центра О. Уравнение эллипсоида инерции (9) в иных обозначениях будет Ахг+ Вуг+ Сгг — 2Оуг — 2Вгх — 2Рху = Дг. (9") Центр эллнпсоида инерции, как показывает его уравнение, находится в точке О; постоянная кг может быть выбрана произвольно и определяет масштаб построения; меняя лг, мы будем получать подобные эллнпсоиды.
Таким образом, каждой точке О данного тела будет соответствовать (с точностью до масштаба) вполне определенный эллипсоид инерции. Если точка О взята в центре масс, то эллипсоид инерции, построенный для этой точки, называется центральным. Главные оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела для точки О. Так как длина Й удовлетворяет равенству (8'), то длина радиуса-вектора эллипсоида инерции обратно пропорциональна корню квадратному из момента инерции тела относительно оси, направленной по этому радиусу, Если вместо ./г ввести соответствующий радиус инерции, т. е.
положить х',= Мрг, то формула (8') дает а Я= т, е. длина радиуса-вектора эллипсоида инерции обратно пропорциональна радиусу инерции тела относительно оси того же направления. 1!. Главные оси инерции. Главными осями инерции тела в данной точке называются главные оси эллипсоида инерции, построенного для этой точки; поэтому нахождение главных осей инерции ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. НГ Для нахождения главных осей эллипсоида инерции (10) будем исходить из того соображения, что для главных осей направление радиуса-вектора )г совпадает с иаправле- С инеи нормали к эллипсоиду, или из того, что для главных осей Й, а следовательно, как это вытекает из равенства (8'), и lг имеют стационарное значение; в обоих случаях вычисления совершенно одинаковы. у Итак, будем искать направления, для которых Я совпадает с направлением нормали к эллипсоиду.
Эти направления, очевидно„ должны удовлетворять условию егас[ Р (х, у, я) = М, (11) Рнс. 44. где 1, есть коэффициент пропорциональности. Условие (!1) в проекциях на оси хуя будет иметь вид — =Ах, — =)у, — =)г, дР дР дР дх ' ду ' дх (11') или, принимая во внимание значение Р, даваемое равенством (10). н перенося все члены в левую часть: (х'„„— 1,) х — У„уу — х„,г = 0, — У хх + (У вЂ” ) ) У вЂ” Уу Я = О. (! [х) Условие совместности системы трех однородных линейных уравнений (11"), как известно, будет ухх )' — у ух — ухх — у ух ухх — ). — I ху l — ), ху (12) Уравнение (12) представляет собой так называемое характеристическое (вековое) уравнение, которое в случае симметричности тен- тела в данной точке О сводится к нахождению главных осей эллипсоида инерции, построенного для этой точки.
Пусть уравнение этого эллипсоида в системе координат худ будет (рис, 44) 2Р (х, у, х)е У „хт+У уз+ + тххх~ — 2Уухуг — 2/„.хх — 2У ху = йз. (10) Геомвтгия мАсс 141 Э гй вора (l) и действительности его компонентов имеет три действительных коРнЯ: Лн Лз, Лз. ПоДставлЯЯ кажДый из этих коРней в систему (11") и решая ее, получим три системы отношений координат хз: уз: яз хз: уг яз хз: уз яз дР дР дР— =ЛД, — =0, — =0; д$ ' дз) ' дс (15) которые дают три действительных направления, удовлетворяющих условию (11), т.
е. дают три главные оси эллипсоида инерции. Докажем, что эти три направления (которые по отношению к тен- зору (у) называются главными направлениями тензора) взаимно пер- пендикулярны; для этого докажем сначала перпендикулярность пер'- вого и второго направлений. Возьмем уравнения (11') для координат первого направления, умножим их соответственно на хз, уз, гз и сложим; получим ( —.), ( — ), (),— дХ ) Х2+ ( д ~ У2 + ( дз ) х2 — Л1(х!хз+ узу2+ ягя2)1 (13) делая то же самое в обратном порядке, найдем ( — ) х,+(-з-) уз+( — ) хз — — Лз(хзх,+у у;+гзя,).
(13') дР дР дР Вычитая почленно из (13) равенство (13'), получим 0 = (Л, — Лз) (х,хз+ у,уз+ гвяз), (14) так как левые части этих равенств, как соответствую|цие квадра« тичной форме 2Р(х, у, я) билинейные формы, будут равны, что легко проверить непосредственно. Предположим, что Л, чь Лз; тогда из равенства (14) следует х,х, + у,уз+ гзгз= зс, ° зсз = О, а следовательно, Л, ( зсз.
Точно таким же способом докажем пер- пендикулярность второго и третьего направлений, а также третьего и первого. Итак, если корни характеристического уравнения (12) различны, то в каждой точке тела О мы имеем три взаимно перпен- дикулярных направления, удовлетворяющих условию (11); эти напра- вления будут, следовательно, главными осями эллипсоида инерции, а потому и главными осями инерции тела в точке О. Возьмем теперь за оси координат главные оси инерции Эз)ь и рассмотрим, как преобразуются при переходе к этой системе осей уравнение эллипсоида инерции (9) и компоненты тенаора (1). Ясно. что квадратичная форма 2Р(х, у, х) преобразуется в другую квад- ратичную форму 2Р($, 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
