1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ь), причем для осей $, 2), ь будут тожде- ственно удовлетворяться уравнения (11'). Для оси э (т. е. для случая, .когда вектор 12 направлен по оси $) будет 21=0, ь=0, и мы получим ДИНАМР!КА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. !в 142 осей Ч и ь дР лгч дЧ вЂ” '" =о, дч будем иметь дР— =О, дь подобным же образом для дР— =О, дь (1о') — = лд.
дР дь =в=о) — У„6=о, дР— =0 дЗ Из равенства (15) имеем для оси $ (Ч ./112ь = Л1й, —.УБД = 0 т. е. у„= у„= о. Таким же образом для оси Ч (ь"=$=0) имеем 21„Ч=О 2чяЧ=ЛЧ вЂ” гС Ч=О (16) т. е. (16') л,=у„„, у,,=у„,=о, и для оси ь (2 = Ч= 0) — у,;( = о, 1„,~ = о, у;,~ = л,д, т.
е У У+У Чг+У Р и тензор — — о о — — о у„„ о — †.1Ат,к„о о Уравнение эллипсоида инерции, отнесенное к главным осям, будет .1сер+ 3 чг+ асср = й2, (1У) Лз= Ъ У1С=УчС=О (16") формулы (16), (16'), (16") показывают, что: 1) корни уравнения (12) ЛР Лг, Лз соответственно равны .71Ы у, 1СС, т. е. равны моментам инерции тела относительно главных осей инерции, 2) если за координатную ось взята главная ось инерции, то произведения инерции, содержащие координаты, соответствующие этой оси, обращаются в нуль, т. е.
если ось ~ главная, то lзч=./-С=О и т. д. Моменты ИНЕРЦИИ Ззм,/чч, ./СС НаЗЫВаЮтСЯ гЛОЗНЫМи МОМЕНЛгаМи иНЕРЦии тела для центра О. Следовательно, если за оси координат взяты главные оси инерции $, Ч, ь, то квадратичная форма У„„х' +З,гу' +У, гя — 2У,уг — 2./, гх — 2У, ху переходит в форму ГЕОМЕТРИЯ МАСС 4 ГП или в других обозначениях А~а+ ВТ1з+ СР = йз. (17') Если уравнение (12) имеет два равных корня, например А, =Х,, то заключение о перпендикулярности направлений 7 и 2, как видно из уравнения (14), не имеет места; в этом случае мы 'имеем У11=У„„<'.
А=В). т. е. два главных момента инерции между собою равны, и условию (11) будут удовлетворять все направления в плоскости Ст), выходящие из точки О; следовательно, все оси в плоскости тт) будут А4~д-у;з/ главными осями инерции, и эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения, а плоскость 5Т1 — его экваториальной плоскостью. Если все три корня будут ту1хйаТ равны, т. е.
если Х, = Хя = Аз, то 3 эллипсоид инерции обращается в сферу, и все оси, проходящие через точку О, будут главными; в этом случае точка О называется шаровой точкой тела. 12. Свойства главных осей инерции. В предыдущем пункте У было доказано, что если какая- Рис. 45. либо ось, например х, является главной для точки О, то произведения инерции, содержащие координату х, обращаются в нуль, т. е. У „= ~ лг,х,.у, = О, У, = ~я~~ т,г,х, = О. (18) Обратно, если имеют место равенства (18), то ось х будет глав- ной осью инерции.
Действительно, в этом случае уравнение эллипсоила инерции будет у ха+у уз+у яз 2у ул дз откуда следует, что ось х будет главной осью этого эллипсоида. Следовательно, условия (18) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы ось х была главной осью инерции. Докажем, что если однородное абсолютно твердое тело имеет ось симметрии, то эта ось будет главной осью инерции для всех точек данной оси. Пусть ось х (рис. 45) будет осью симметрии однородного абсолютно твердого тела; тогда каждой частице тела ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 144 [ГЛ. [Ч М(х, у, г) будет соответствовать такая же частица М'(х, — у, — г).
а поэтому ~ч~ т,х,у, = О, ~'„т,х[г, = 0; следовательно, ось х будет главной осью инерции для точки О, причем приведенное доказательство имеет место для любой точки О на оси симметрии. Точно так же можно доказать, что если однородное абсолютно твердое тело имеет плоскость симметрии, то для всех точек этой плоскости одна из главных осей инерции будет к ней перпендикулярна. В самом деле, если примем плоскость симметрии за плоскость ху, то всякой частице М (х, у, г) будет соответствовать х(ху такая же частица М'(х, у. — г), следовательно, ~ЧР~ т[г,х, = 0; ~ т,г,у, = О.
а потому ось г, перпендикулярная к плоскости ху, будет главной осью инерции для точки О, причем положение точки О в плоскости симметрии совершенно произвольно. г Главные оси инерции для центра Рис. 46. масс тела называются главными цен- тральными осями инерции. Точки, лежащие на главных центральных осях инерции тела, обладают тем свойством, что для всех этих точек главные оси инерции параллельны главным центральным осям инерции (а следовательно, и между собой). Действительно, пусть С есть центр масс тела, а х, у, г — главные центральные оси инерции (рис. 46). Возьмем на оси х точку М, причем СМ = а, и проведем через М осн у' и г' парзллельно осям у и г.
Так как ось х есть главная для точки С, то ~~.",т,х,у, = О, ~ т,х,г, = О. Переходя к системе координат х', у', г' с началом в М, имеем О х,=х, +а, у,=у,, г,=г,; подставляя эти велкчины в предыдущие равенства, получим ~ т, (х,'+ а) у,' = О, ~~.", т,, (х,'. + а) г,' = О, или ~ч.", т,.х1у,'= — а ~ т,.у,', ~ч'„т,х,'.г,'= — а ч ',т.г,'[ но так как Х т;у; = Х т[г[ = О 145 ГЕОМЕТРИЯ МАСС иак статические моменты тела относительно плоскостей, проходящих через центр масс, то имеем ~т,х,'у,'=О, ~т,.х,'.а,'=0; следовательно, ось х будет главной осью инерции и для точки М. Далее, так как оси у и я будут тоже главными, то ~т,у яг=О, а отсюда следует, что ~ т,.у,'а,' = О; следовательно.
оси у' н а' будут также главными осями инерции для точки М, что и требовалось доказать. Нужно заметить, что другие точки тела этим свойством вообще не обладают. 13. Взаимный (гирациониый) эллипсоид инерцми. В некоторых случаях вместо эллнпсоида инерции, рассмотренного в п. 10 н Обыкновенно называемого эллипсоидом Пуансо, удобно пользоваться взаимным эллипсондом инерции. Эллипсоид Пуансо для точки О, если за координатные оси взять главные оси инерции, имеет уравнение Ахг+ Зуг+ Сяг лг (19) где А, В, С суть главные моменты инерции для точки О. ПолуОси этого зллипсоида, согласно равенству (8'), будут а а л а= —, Ь==, с==, угА )ГВ $ С т. е.
обратно пропорциональны корням квадратным из главных моментов инерции; или, если ввести главные радиусы инерции, положив А=мр' В=мрг С=мр' то т. е. полуоси будут обратно пропорциональны главным радиусам инерции. Во вааимном эллипсоиде инерции, наоборот, полуоси прямо пропорциональны корням квадратным из главных моментов инерции или главным радиусам инерции. Взаимный эллипсоид инерции получается нз эллипсоида Пуансо (19) путем двойного преобразования.
Первое преобразование состоит в том, что через каждую точку М эллипсоила (19) проводим касательную плоскость и из центра О опускаем на нее перпендикуляр; пересечение этого перпендикуляра с 10 И. Н, Зггцмьц ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. Рч 146 касательной плоскостью определит точку М' (рис, 47), Геометрическое место точек М' будет поверхностью, которая называется иоде72нод лоаерхнослгью данного эллипсоида относительно центра О, Второе преобразование заключается в инверсии точки М' относительно окрунгности произвольного радиуса г(, т.
е. в построении точки М", которая определяется равенством (20) Геометрическое место точек М" и даст У поверхность, которая будет вллипсоидом, взаимным эллипсоиду (19). Найдем уравнение этого эллипсоида, для чего необходимо найти выражения координат точки М эллипсоида (19) через координаты точки М" и подставить в уравнение (19). Выразим сначала координаты точки Рис. 47. М (х, у, х) через координаты точки М" (х", у", з"). Так как ОМ' есть расстояние точки О до касательной плоскости, проведенной через точку М (х, у, г) эллипсоида, причем ОМ' параллельно нормали к эллипсоиду (19) в точке М, то имеем ОМ = — р= )ГАехе+ В'у'+ С'х2 сов(ОМ', х)= —,, сов(ОМ', у)= —,, сов(ОМ', г)= —; (21) далее, нз равенств (20) и (21) имеем 122 и х, Ах7~>2 ОМ"= —; х"=ОМ" сов(ОМ', х)= Ву7~ ч х р Сх112 у«=ОМ-сов(ОМ, у)= 'у„, г =ОМ-сов(ОМ, г)= ~'~ ., отсюда =Л77 =ВЛ (22) Подставляя значения (22) в уравнение эллипсоида (19), получим 2 уи2 ~2 дч — + — + — =— А В С А2' (23) т.
е. геометрическое место точек М" есть эллипсоид (23), который и будет взаимным по отношению к эллипсоиду (19). Легко видеть, что главные оси эллипсоидов (19) и (23) совпадают, причем для 4 нй вяащсння твсгдого твлх вокгкг неподвижной осн 14т Если преобразования, посредством которых мы получили из эллипсоида (19) эллипсоид (23), применить к эллипсоиду (23), то, как нетрудно показать, получим эллипсоид (19), вслсдствие чего оба этих эллипсоида и называются взаимными.
В 12. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси 1. Уравнение движения. Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси под действием системы активных сил Рн Рз, ..., Р„. Для вывода уравнения движения применим теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси, которую примем за ось з (рис. 48). Имеем ') лб, цч (1) Но, как было показано [см.
9 2 формулу (9)), для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси г, "кз лг * Подставляя это значение О, в равенство (1), получим уравнение движения твердого тела, вращающегося около неподвижной оси, в виде ӄ— „,", = ~шош,Р; (2) Рис. 43. Интегрируя это уравнение, находим угол ф как функцию времени н этим вполне определяем движение, ибо в данном случае система имеет одну степень свободы и положение ее вполне определяется углом йх Если внешние силы отсутствуют или направление их проходит через ось вращения я, то ~ вош,Р, =О, и мы имеем 'р = н'= — =О, — „=ю=сопз1, ю=ю +юг, от э т. е. вращение будет происходить с постоянной угловой скоростью. ') Реакции связей, закрепляющих тело иа оси (папример, в точках А и В), пересекают ось з и поэтому в правую часть уравнения (1) ие войдут.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
