1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Так как Олг перпендикулярно к Ое, то в параллелограмме ОАСВ угол при [гл. Иг ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА вершине О прямой, следовательно, параллелограмм является прямоугольником и ОА = ОС сов О = ф сов О, ОВ = ф ми О. Отсюда следует, что ф=яефсовО+пзефв~иО. (2) Проектируем обе части равенства (1) на подвижные оси, принимая во внимание соотношение (2) и замечая, что ~ КОх=~ лгОу=ср; получим р = у сов — + (ф сов О) соз ~ + (ф з!и О) сов ( — — у)+ О сову, 2 2 1,2 д = у сов — '+ (1р сов 0) соз — -+ (ф в!иО) сов у+ 9 сов( — +у), 2 2 ~2 г=ф-1-ф сов О-+Осов —, После упрощения имеем р=фв!иОяиу+Осову, у= фв!и 6 сову — Оз!ну, г=фсовО-+у.
Для получения кинематическик уравнений Эйлера в неподвижной системе ориентировки проведем другую вспомогательную прямую Ои, перпендикулярную к плоскости ОКь, и разложим угловую скорость собственного вращения у =уяе по направлениям Оа и Оь; будем иметь у =( — гзе)уз!и9+Ру сов 6. Тогда, проектируя обе части равенства (1) на неподвижные осн и принимая во внимание найденное выражение для у, а также то, что ~ т~Ол=~ $0К =ф, получим lя и . н „'=(у )пО) з~- — ф)+(у 9) -+ф -+О р. 2 2 9 =(уз!п О) сов(п — ф)+-(у сов 6)соз — +фсов + 0 соз — — ф), 2 2 г2 г' =усов 0+9-+Осов —.
2' Окончательно будем иметь р' = у в1и 9 веп ф.+ 9 соз ф, 9' = — уМи Осов ф+Ов(иф, г' =усозО+ф. %!з] выглжания основных динамических величин 165 Приведем другой вывод уравнений (3). Представим равенство (1), введя единичные векторы, в виде ;„до ~,)гз ( 0Ке (1') Выразим единичные векторы ~з и Кз через единичные векторы подвижных осей лз, у", гз; имеем К'=созф ° лз — з!пф у' и ~з=соз0 гз+з!п8 тз Но так как ~ тОу=ф, то нзз = з!и ф ° .ее+ сов ф ° у" н Ьз=соз0. гз+гип8(з!пф лл+-созф уз) При найденных значениях Кз и ьз равенство (1') примет внд ю=фзз+ф(соз8 гз+зш8з!пф ° ле+з!п8созф у")+ + 0 (соз ф лз — з(п ф ° уз) или ю = лл (ф з ! п 0 з ! и ф -(- 0 сов ф) + уз (ф з ! и 0 сов ф — 0 з! п ф) + + дз(ф+ Ф соз ф) Отсюда получаем систему (3).
Уравнения (3) или соответственно (4) позволяют вычислить мгновенную угловую скорость тела ю через ее проекции р, и, г (или р', д', г'), когда закон движения тела, т. е. зависимости ф(1), ф(1), О(!) известны. При решении основной задачи динамики уравнения (3) дают три соотношения между шестью неизвестными функциями времени ф, ф, 8, р, д, г. Присоединяя эти три уравнения к трем динамическим уравнениям Эйлера, которые устанавливают зависимость между р, д, г и действуюшнмн силами (эти динамические уравнения будут получены в й 16, п. !), будем иметь систему шести дифференциальных уравнений первого порядка, из которых могут быть найдены шесть величин р, д, г, ф, ф, 0 как функции времени. В 18.
Выражения основных динамических величин для твердого тела, нмеюсцего неподвижную точку 1. Кинетический момент. Так как скорость точки твердого тела есть и=юХ г, то кинетический момент 0о твердого тела относительно неподвижной точки О будет (в дальнейшем для краткости ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. !Ч индекс О при векторе Оо опускаем) 0 = ~~.", (г, )( тр,) = Ц~ г, )с' т, (е )с' г,)1 = = е ~ т[г,' — ~~.", т,гг(г, е). Проектируем обе частй этого равенства на подвижные оси. Проекция на ось х будет —,р "~, 'т, (хз + уз -+ вз) — ~~ т,х, (рх, + ду, + гз„) = = Р Х т[(у +а ) Ч ~[ т~х[у[ г ~л [ тгх~~н Вводя компоненты симметрического тензора инерции относительно неподвижной точки и повторяя вывод для осей у и г, получим окончательно О = рУ„„— д,У ~ — гу»,.
О„= — ранге+ Фтг — ганг ру,„— ду„+ Ту„, или, в других обозначениях. О„= Ар — Е[[ — Ег, О = — Ер-+Вд — Ог, О, = — Ер — Ой+Сг. [Последние две из формул (1) или (1') получаются из первой посредством циклической перестановки индексов х, у, г и соответственно р. д, г.] формулы (!) показывают, что проекции 0 являются линейными функциями проекций е, коэффициентами которых являются компоненты тензора инерции.
Обоаначзя тензор инерции символом (У), можно представить равенство (1) в виде 0= е(У), т, е. представить вектор 0 как произведение вектора е на тензор (у) (см. ф 11, п. 9). формула (2) показывает, что вектор кинетического момента 0 есть линейная вектор-функция угловой скорости е; при этом вектор О получается аффинным преобразованием вектора е посредством тензора инерции (у). Если за подвижные оси взять главные оси инерции тела лля неподвижной точки, то произведения инерции обратятся в нуль, т. е. ВЫРАЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 167 % 361 а именна: и формулы (2) перейдут в более простые, О,=у,„д=вд, ОЗ ук 2. Кинетическая энергия. Выразим кинетическую энергию тверлого тела в фукции вектора гв. Согласно определению имеем 2Т = Х т,п, '= Х р, ° е, = ~ тбе, ° (сэ Х г,) = = ~ сэ ° (г6 Х тр6) = гэ ° ~ (г6 Х тр,) = г» ° О.
Итак, 2Т = О ° е. (4) т. е. удвоенная кинетическая энергия твердого тела, имеющего неподвижную точку, равняется скалярному произведению кинетического момента относительно этой точки на угловую скорость тела. Выражая скалярное произведение (4) через проекции сомножителей на оси и заменяя проекции О их выражениями (1), получим 2Т=/ р~+/ д~+у„г — 27г,дг — 21,кгр — 27 рд, или в других обозначениях (б) 2Т = А р'+ Вда+ Сг' — 20дг — 2Егр — 2Ррд, что можно записать короче 2Т = 2Ф (р, д, г). (6) Из формулы (5) мы заключаем, что кинетическая энергия твердого тела есть однородная квадратичная функция проекций угловой скорасти.
Если за подвижные оси взяты главные оси инерции тела, то кк, = .7„= У„„ = О, и формула (5) примет вид 2Т = уккРг+ Ук да+ /акга (7) илн в других обозначениях (7') 2Т = Ара+ Вда+ Сга. Для вычисления кинетической энергии тела с неподвижной точкой можно указать еще другую формулу. Если обозначить момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения через ./„, то, поскольку мгновенное распределение скоростей точек тела при элементарном повороте вокруг мгновенной оси является таким же, как при вращении вокруг неподвижной оси, для вычисления кинетической ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл, 1ч 188 энергии тела с неподвижной точкой должна быть справедлива формула Т вЂ” — / ыз.
(8) Покажем, что эта формула вытекает и из равенства (5). В самом деле, если обозначить направляющие косинусьс мгновенной оси вращения через а, 5, Т, то д =ы(1, г =ау, Подставляя эти значения в равенство (5), получим 2Т = (У „аз+./Р,бе+ У у' — 2/„,ру — 2 l,„уа — 2l„„а()) ыз, т. е. придем к равенству (8), так как, согласно формуле (5) из п. 8, Э 11, выражение в скобках равно У„. По формуле (8) можно также вычислить ./„, если величины Т и е в данный момент времени известны.
Отметим в заключение, что если взять частные производные от выражения (5) по р, р, г и принять во внимание формулы (1), то получим следующую зависимость между величинами б и Т: дТ дТ дТ О= —, 6= —, О=— др' г да' а дг' (9) что можно записать короче: 6 = 8тадр,Т, (9') где индексы р, д, г указывают переменные, по которым берется (формально) операция йтад, 3. Эллипсоид энергии. Выясним энергетический смысл эллипсоида инерции Пуансо (см. Э 11, и. 10). Будем откладывать от неподвижной точки О па векторах угловой скорости ю отрезки ОМ = )~н пропорциональные модулю соответствующей угловой скорости; получим векторы )с,=й,е, (1О) где л, = сопз1 — коэффициент пропорциональности.
Обозначим проекции )с, на подвижные оси вРеменно чеРез хн Ун ги Тогда х,=й,р, у,=й,д. з,=~6,г. (11) Определяя из равенств (11) р, д, г и подставляя ик в выражение (5) для кинетической энергии, получим 2Тйз = 2Ф(хн уи «,). (12) Если потребовать, чтобы было 2Т=сопз1, то равенство (12) обратится в следующее: 2Ф(хи уи х,)=2ТИ'=сопз1, (18) Е Щ ВЫРАЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 169 илн в раавернутом виде: х~~+У Рт1+г Яаг — 2У У!г — 2/хя х — 2У„х,У,=2ТЛз сопя!. (13') а )(= = У.г ' гс, = л,еь Если это один и тот же эллипсоид, та необходимо, чтобы было гс = оси Отсюда л — = л,ы. )г г' Далее, согласно формуле (8), имеем 2Т= АУ; вычисляя отсюда величину га и подставляя ее в предыдущее равенство, получим Л Р2Т )'У рУ ' = л!=, или Й = й~ ~Т2Т . (14) 4. Связь между направлением вектора кинетического момента и зллнпсоидом инерции.
Из формул (1) и (11) следует, что проекции на подвижные оси кинетического момента твердого тела Это уравнение поверхности второго порядка (эллипсоида), подобной эллипсоиду инерции и подобно с ним расположенной. Для всех точек зллипсоида получаемые из формулы (10) угловые скорости ю = — соответствуют олнаму и тому же числен=а, ному значению кинетической энергии твердого тела; поэтому поверхность (13') носит название эллипсоида энергии. Меняя значения константы л в формуле (9) из и. 10 9 11 илн константы е, в формуле (13'), можно построить для данной точки твердого тела семейство зллипсоидов инерции (или энергии).
Каждому нз них будет соответствовать свое значение кинетической энергии твердого тела, В 'этом и заключается энергетический смысл зллипсаида инерции Пуансо. Каждый из семейства эллнпсоидов инерции (построенного для данной точки) является в то же время и эллипсондам энергии. Легко ваметить зависимость между константами л и л, в формулах (9) из 9 11 и (!3'), соответствующими одному и тому же отдельному эллнпсоиду семейства. Согласно формулам (8') 9 11 и (10) ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. !ч 170 относительно неподвижной точки можно представить в виде 1 0к = — (х' „х, — х„уу! — хк,г!); ! (15) для 0 и О, получаются две аналогичные формулы, Но из выражений (13), (!3') для функции Ф(хь у,, г,) следует, что дл! д укхх! ккуу! хкхг! дх кх 1 (16) дФ дФ и два аналогичных выражения получаются для — и —. Сравду, дг,' ннвая между собой равенства (15).
(16) и им аналогичные, ваключаем. что 1 д!В 1 д!В 1 д!В 0= — —,0= —,0= — —. (17) Гг, дх, ' У А! ду! ' х А! дг, ' Три скалярных равенства (17) можно записать в виде одного векторного: 1 0= — Ягаб1х, „„„>Ф(хГ, У!, г,). (17') Заметим, что соотношения (17), (17') можно получить непосредственно из равенств (5) или (9'), если учесть обозначение (1 2) и зависимости (11).
Итак, кинетический момент твердого тела относительно неподвижной точки есть (с точностью до постоянного множителя) градиент скалярной функции Ф (хи у,, г,). Но градиент скалярного поля Ф нормален к поверхностям уровня поля Ф = сопзг С (см. ч. 1, э 33, п. 5). Следовательно, !ч кинетический момент 0, будучи при- 90 ложен в неподвижной точке О, парал- лелен нормали ча к эллипсоиду ннер, д цин (энергии) в точке М (х!, ун г,), в которой эллипсоид пересекается мгновенной осью вращения (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
