1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В частном случае, если центр масс совпадает с неподвижной точкой, реакция ]Ч точки О может быть определена независимо от интегрирования уравнений Эйлера В самом деле, в этом случае гс = О, следовательно, и н]с = О. Поэтому уравнение (8) примет внд 0=»с+Р, откуда 8. Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Рассмотрим движение твердого тела около неподвижной точки под действием одной только силы тяжести Р. Направим ось О(; основной системы ориентировки Оет]ь, 2.
Определение реакции неподвижной точки. Реакция»с неподвижной точки О не входит в уравнения Эйлера, так как ]с проходит через О и, следовательно, тото ]Ч = О. Лля определения »с достаточно применить другую теорему динамики †теоре о движении центра масс, т. е. ]ЛЯВС = ГС+ Бя (8) ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 176 1ГЛ. !У сов(ф, х)=уг=з1п 021пф, соз(Ь, у)=уз=з1п О соя ф, соз(ь, я)=уз=созО. (12) Очевидно, у1, уа, уа суть про- екции единичного вектора на подвижные оси.
Поэтому ь у1" +'у2а +уз~" б где 1, /, Й суть единичные векРнс. 59. торы подвижньах осей, связанных с телом. Так как направление силы тяжести, или, что то же, направление оси Ог, неподвижно относительно Земли, то ага — =О, лг или, употребляя символ локальной производной, ага ага — = — +ш Х ~а=О. л'а лт Следовательно, ,/ уг р 17 г У1 У2 УЗ ага — = — аз Хая= —— ага (13) ') Выбирая таким образом основную систему ориентировки и рассматривая в качестве внешних сил, действующих на твердое тело, силу тяжести, направленную по вертикали я данном месте земной поверхности, мы в дальнейшем пренебрегаем влиянием суточного вращения Земля на движение твердого тела, имеющего закрепленную точку на поверхности Земли.
связанной с Землей, вертикально вверх (рис. 59) '). Обозначим: чеРез Охра-подвижнУЮ системУ оРиентиРовки; чеРез Гс(хс, Ус, Яс)— радиус-вектор центра тяжести С относительно начала О; через ун уа, уа — косинусы углов вертикальной неподвижной оси ОЬ с подвижными осями. Так как угловая скорость ау (9 14, п. 3) направлена по оси ОЬ, то направляющие косинусы О~ будут равны мно- жителям при ф в кинематическнх С уравнениях Эйлера (7). Следо- вательно, 4 1е1 динамические тяав нвния энлвгл Проектируя обе части этого равенства на подвижные оси, мы по- лучим уравнения, выведенные Пуассоном: цу =гУ2 ЧУз ггуг цз =руз уУ1 (14) =ЧУ РУ цуз Напишем динамические уравнения Эйлера. Сила тяжести Р направлена противоположно оси ь; следовательно, р Рге Главный момент внешних сил равен г й У1 Уг Уз хс Ус хс М = ХР= — Рг Х~ =Р Таким образом, для рассматриваемого случая уравнения Эйлера при- мут вид А — „, +(С вЂ” В) Чг=Р(угас — узус) цр  — +(А — С) ур =Р(у х, — угас), лу С ет +(В 4)рЧ=Р(У1ус Угхс).
(15) 12 н. и. вужццьц Система уравнений (14) и (15) есть система шести обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными функциями времени уо уг, уз, р, Ч, г; величины А, В, С, хс, Ус, хс сУть постоЯнные. Если У„У2, Уз, Р, Ч, У найдены в функции у интегрированием системы (14) и (15), то для полного решения задачи.
т. е. для определения эйлеровых углов в функции г, необходимо лишь нз любого уравнения системы (7) найти ф(1) одной квадратурой, так как 8(1) и 2р(1), поскольку У1(Ф), Уг(у), Уз(у) иа. вестны, непосредственно даются равенствами (12), Итак, основная часть решения задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки состоит в отыскании шести интегралов системы (14) и (15). Однако легко доказать, что задача сводится всего лишь к отысканию одного интеграла. В самом деле, представим уравнения системы в каноническом виде: ц 'Ч угу 'У цтг "Уг И 1;г Л Г Г Г ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. ИТ 176 где 1 О= —,1 (Р(У зс — Узрс) — (С вЂ” Д)ЧГ!, Г =ГУг — ЧУБ* 1 (е = — 'Рз(Узхс — Угас) — (А — С) ГР).
Гг= РУз — ГУЯ В 1 Й = ~ (~(у1ус узхс) — (Π— '4) РЧ) з=Чу~ Руг (17) (16') Ео если последний множитель системы известен, то для приведения зааачи к квадратурам достаточно знать не пять, а только четыре интеграла системы (16'). Один из этих четырех интегралов получается непосредственно ич пР стого геометРического сообРажениЯ. Действительно, Ун Уг, Уз суть |а ~раздающие косинусы оси Оь, или, что то же, проекции единичного вектора этой оси. Следовательно, Ъ+Уг 1 Уз (18) Етот тривиальный интеграл можно получить и из уравнений (14). Умножая нх соответственно на ун уг, уз и складывая почленно, получим ЛТ1 луг луз уз — + уз — + уз — = О.
дг дз дз или дз И+ Уг+ Уз) что и дает интеграл (18). ~) См., например, Г. К. Суслов, Теоретическая механика, М.— Л„ 1946, гл. Хь. Так как время Г не входит явно ни в одну из функций (!7), то вместо системы шести уравнениЯ (16) можно интегрировать отдельно сисгему первых пяти уравнений, именно систему Если систему (16') удастся проинтегрировать, то время Г найдется простой квадратурой. Система (16') имеет уже только пять интегралов. Согласно теории последнего множителя Якоби для канонической системы дифференциальных уравнений '), этот множитель А( для системы (16') имеет значение Л4 = 1, так как до дЦ + дЛ дг, дгг + дГ, дР дд д» ду, ду, дтз ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭПЛЕРА Итак, остается найти три интеграла. Первый из них получим, применяя теорему об изменении кинетического момента относительно оси Оь, Так как момент силы тяжести Р относительно оси О~ равен нулю, то ФОс — = МС = 9, и потому ОС = сопя(.
ег Но ОС = О . ~э =(АР)+ Вд/+Сгй) (911+ У /+ Узй) = = — АР71+ Втуз+ Сг ге, следовательно, АРу1-+ Вру, + Сгу, = сопз1. (19) И этот интеграл (19) можно получить непосредственно из уравнений движения. В самом деле, умножая уравнения (15) соответственно на у1, 7,, уз и складывая их почленно. получим Ау — +Вуа — +Су,— = к Р ая Лг ат ~й лс =( — С) г1чг+(С вЂ” А) узгр+(А — В) у рд Это равенство можно преобразовать к виду — (Ару,+Вдуэ+ Сгу,) =( — С) у1дг+ (С вЂ” А) уагР+ +(А — В) узрд+ Ар — "' + Вд — '+ Сг Если теперь заменить в правой части производные функций у1, у, уз их выражениями из уравнений (14), то легко убелиться, что правая часть равенства тождественно равна нулю, и мы получим — (АРу1 + В9уэ+ Сгу ) = 9.
Интегрируя, найдем интеграл (19). для получения второго из оставшихся трех интегралов применим теорему об изменении кинетической энергии, которая дает пТ = — Р аьс, где ьс обозначает координату центра тяжести тела относительно основной системы отсчета. Интегрируя, получим Т = — )1~С+ Сппа1. Используя формулу (7') 9 15, дающую выражение для кинетической энергии, и учитывая, что Ьс=гс'Ь"=(лс(+усГ+яс") (у11+уэу+Уз")= = ~"'су1 + усуэ + ясуз 12" ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА (гл ш получим интеграл энергии в виде — (Арг+ Вот+ Сгг) = — Р (хсуг+ усуг-1- хсуз) + сопа1. (20) 1 Интеграл (20) также непосредственно находится из уравнений (15), если каждое из них умножить соответственно на раС дйг, гг(г и получившиеся равенства сложить почленно.
Тогда будем иметь й (,4 р2+ Я62+ С Г2) 1 2 = — Р1хс( Ъ вЂ” ЧЪ)-+ус(ру — гу2)+я (Л вЂ” ру)) ас или на основании уравнений Пуассона (14) 1 — й (А рг+ Вйг+ Сгг) = — Р (А с йу2+ ус ггуг+ ас а тз) Отсюда, интегрируя и учитывая, что хс, ус, зс — величины постоянные, придем к равенству (20).
Рис. 60. Рвс. 61. Остается найти еще только один интеграл; в этом и состоит главная трудность задачи. Найти этот третий общий интеграл удалось только для трех частных предположений относительно движущегося тела и условий движения. Эти три частных случая движения суть следующие: 1)Случай Эйлера — Пуансо. Это случай движения по инерции, когда равнодействующая внешних сил проходит через неподвижную точку О (рис. 60). В частном случае тяжелого твердого тела„исследованном Эйлером и Пуансо, неподвижная точка О совпадает с центром тяжести С. Других внешних сил„кроме силы тяжести, нет, а последняя уравновешивается реакцией опоры О.
Само твердое тело может быть любой формы. 2) Случай Лагранжа — Пуассона (рис. 61). В этом случае эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки О, представляет ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 131 $1а1 собой эллипсоид вращения, т. е. А = В +С, а центр тяжести С лежит на оси динамической симметрии (оси вращения эллипсонда инерции) Уа Рис. 63. Рис. 62. Такое тело, приведенное в быстрое вращение около осн симметрии, называется симметричным гироскопом. 3) Случай С. В.
Ковалевской (рис. 62) В этом случае эллипсоил инерции для неподвижной точки есть выгянутый эллипсоид вращения, причем между главными моментами инерции существует соотношение А=В=2С, а центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Первый и второй случаи движения можно демонстрировать на волчке колоколообразной формы, вдоль оси динамической симметрии которого передвигается винт, благодаря чему можно привести точку опоры О (острие винта) в совпадение с центром тяжести или же помесгить Сане точки опоры на оси винта (волчок Максвелла, рис.
63). Случай С. В. Ковалевской можно иллюстрировать на очень простой модели — открытой коробочке в форме прямоугольного параллелепипеда с соответственно подобранными размерами (рис. 64) Направим ось О» вдоль продольной оси симметрии внутренней стороны дна коробочки, а речной. За неподвижную точку опоры О во дна.
Тогда, подобрав размеры коробочки Рис. 64 ось Ох — вдоль попезьмем центр симметрии так, чтобы моменты, ДИНАМИКА АбСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1З2 [ГЛ. !У инерции относительно осей Ох и Оу были равны, т. е. А = В, а С = —, А 2 ' ыы получим иллюстрацию случая С.
В. Ковалевской. 4. Некоторые сведения из теории эллиптических функций. Интеграл (21) называется эллиптическим интегралом 1-го рода (в обозначении Якоби). Если сделать полстановку х=з[пф, то интеграл примет внд (22) (в обозначении Лежандра). Интеграл а есть функция верхнего предела ф. Обратная функция ф от и носит название «амплитуда» и обозначается ф = ат и = аю В (ф, [Г). (23) По определению Якоби эллиптическими функцнямн аргумента и называются тригонометрические функции от функции ап[и, именно: з[п ф = з[п ат и = зп и, соз ф = соз аю а = сп и (24) фг! — *з з[пз ф = Аф = А аю и — Г[п а (средний столбец — обозначения Якоби, последний — Гудерманна; Л обозначает оператор: Ьф = рГ! — Лз в[ па ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
