1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 34
Текст из файла (страница 34)
умножая обе части этих уравнений соответственно на р, !), г, а затем на Ар, Вд, Сг, складывая полученные выражения и интегрируя, найдем два первых интеграла уравнений движения А(рз+Я+С '=й Аз(рз+о )+Сага= Эз. Кроме того, третье из уравнений Эйлера дает интеграл г = го = сопз1. Второй из найденных интегралов выражает, что модуль кинетического момента 0 постоянен; но вектор С постоянен и по направлению (относительно основной системы). Для доведения интегрирования до конца, т.
е. для получения углов ф, ф, О в функции времени г, примем во внимание неизменность направления кинетического момента О. Для простоты вычислений направим ось ОЬ основной системы по направлению вектора 6; тогда проекции кинетического момента на полвижные оси будут определяться равенствами (!0), т, е. Ар =() з[п О з!игр, А![= Оз!и О сов ф. Сг= 0 сов О. (10') или откуда 0 ф= — =сопз1=а, А Иа последнего уравнения в системе (10') следует, что Сг Сг» О= — = —. 0 0 Так как С, го и 0 суть постоянные, то угол О=сопз1=0». Кинематические уравнения Эйлера (7) $16 дают прн О=О» р= фа!лбе з[пф.
Подставляя это значение р в первое из уравнений (10'), получим Аф з1л Оо з! и [р = б з!и Оо з!и ф СЛУЧАИ ЭИЛЕРА — НУАНСО Интегрируя, получим Ч] = пг+Фо. где фо есть начальное значение ф. Наконец, подставляя г= го (тре- тий интеграл) и О =Оо в третье из уравнений (7) э 16, получим го = 111 сов Оо+ ф, нли, учитывая, что ф = сопз1= и, го — — п соя Оо+1Р, 1Р = го — л соз Оо; откуда следовательно, ф тоже постоянно; полагая ф=лн получим где 1ро есть значение ф при 1' = О. Итак, мы нашли, что О=О,, ф= лт+Фо ф=иФ+фо 1 (11) го .
Лсозйо л1 3. Геометрическая интерпретация Пуаисо для движения твердого тела около неподвижной точки по инерции. В историческом развитии механики методы аналитический и геометрический имели самостоятельное значение. Нередко оба метода проникали друг в друга, н замечательным примером этого является геометрическая интерпретация движения твердого тела с одной неподвижной точкой для случая Эйлера, данная Пуансо. Возьмем, как и раньше, за подвижную систему ориентировки систему с началом в неподвижной точке О и с осями, направленными по главным осям эллипсоида ииерпии, построенного для неподвижной точки О. Уравнение этого эллипсоида инерции пусть будет Ахз+ Вуз +Сяз 1 (12) Будем, согласно Пуансо, называть полюсом Р точку пересечения мгновенной оси врашения (т. е, мгновенной угловой скорости го) Движение, определяемое уравнениями (11), есть регулярная препессня, рассмотренная кннематическн в Э 14, п.
2. Здесь ы1=лн а оз=л, причем постоянные Оо, и, л, связаны между собой соот- ношением ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. НГ с зллипсоидом инерции. Обозначим через р радиус-вектор полюса Р относительно неподвижной точки; тогда =р=ртв'=р— (13) Докажем три теоремы, положенные Пуансо в основу его интерпретации. 1) Проекция мгновенной угловой скорости ат на направление кинетического момента есть величина постоянная. В самом деле, проекция ет на неподвижный в пространстве вектор 0 есть н ° 0 2Т Ь Гьо = еь бе = — = — = — = соп51, б б б (14) что вытекает нз формулы (4) $ 15 и интегралов уравнений движения (2) и (3).
Следует обратить внимание на то, что формула 2Т еь бе=— 0 справедлива и для общего случая движения твердого тела около неподвижной точки. Введем обозначения бг А — =г) и А 0 (15) причем О и р будут, очевидно, постоянны; тогда 0=ПР. А=Прг, (15') причем, согласно равенству (14), т. е. равно проекция мгновенной угловой скорости на направление кинетического момента. Размерность й такая же, как размерность момента инерции.
В самом деле, в системе СО — 2 2 ) (т1 1' (~~3 г тб Ч ("1 1г *г'1 х=р —, у=р —. г=р —. й г (15) 2) Длина радиуса-вектора полюса р пропорциональна величине угловой скорости ет. Действительно, из равенства (13) имеем для координат полюса Р выражения 191 СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА — ПУАНСО эгл Подставляя эти координаты в уравнение (12) эллипсоида инерции, которому они должны удовлетворять, получим Р' (Арг ! Врг ! Г'.гг) 1 а потому, согласно равенству (2), ог — и= 1, нг откуда следует (12) Другими словами, отношение модуля угловой скорости к радиусу- вектору полюса Р равно )~ й .
3) Касательная плоскость к эллипсоиду инерции в полюсе Р перпендикулярна к кинетическому моменту О и находится на постоянном расстоянии от неподвижной точки, т. е. эта плоскость неподвижна относительно основной системы ориентировки. Первая часть теоремы (перпендикулярность О касательной плоскости к эллипсоиду инерции в точке пересечения мгновенной оси вращения, т. е. в полюсе) имеет место для общего случая движения твердого тела около неподвижной точки и уже доказана в 9 !б, п. 4 настоящей главы. Докажем вторую часть, т. е.
постоянство расстояния касательной плоскости к эллипсоиду инерции в полюсе от точки О. Уравнение плоскости, касающейся эллипсоида инерции (12) в пол>осе Р(х. у, «) имеет вид АхХ+. ВуУ+ Се2= 1, (!в) где Х, Г, а суть текущие координаты этой касательной плоскости, а х„ у, е — координаты полюса. Известно. что расстояние какой- либо точки (х'. у', е') от плоскости (1о) дается формулой В нашем случае точка (х', у', е') есть начало координат О. следовательно, х'=О, у'=О, е'=О, и поэтому В выражении под знаком корня ваменим координаты полюса Р значениями (16). затем преобразуем полученное выражение, пользуясь динамика авсолютно твврдого талл 1гл. гч равенствами (3), (17) и (15); получим 2 а Азха + 82уз+ Сзаз — Р (Азрз+ 92 92+ Сзгз) — Р ()т <ф р202 бч = — = — =О. рги и (18') Следовательно Ь= — = —.
(19) б )~х1 Формулу (19) можно получить из следующих простых соображений. Расстояние Ь от неподвижной точки до касательной плоскости равно проекции радиуса-вектора р на направление вектора кинетического момента (рис, 65), т. е. Ь=рсоз(р, бе) =рсоа(га, 0)=р ° вЂ” =р ° е ° 6~ и )ги и Ору й б Доказанные положения являются основанием для построения геометрической картины движения твердого тела в случае Эйлера, данной Пуансо.
Так как плоскость, касающаяся эллнпсонда инерции в полюсе Р. не только сохраняет постоянное направление в пространстве (перпендикулярна к кинетическому моменту О, неподвижному для рассматриваемого случая Эйлера), но и отстоит 0 от неподвижной точки О на постоянном расстоянии (согласно теореме 3, формула (19)], то она неподвижна относи,л , тельно основной системы; эта плоскость П 1Р з называется неподвижной плоскостью или плоскостью Пуансо.
Обозначим ее В буквой П. Рнс. 65, Эллипсоид инерции, связанный с те- лом, все время касается плоскости П в полюсе Р. Так как полюс Р по определению есть точка тела, представляющая пересечение эллнпсоида инерции (центр которого находится в неподвижной точке О) с мгновенной осью вращения, то скорость точки касания Р равна нулю, Следовательно движение твердого тела около неподвижной точки по инерции можно геометрически представить нак качение без скольжения (и верчение) эллипсоида инерции с неподвижным центром О по неподвижной плоскости П (рис. 65). Вместе с эллипсоидом инерции движется и связанное с ним твердое тело.
Угловая скорость е направлена по радиусу-вектору ОР = р точки прикосновения и по теореме 2 изменяется пропорционально длине ОР, т, е. е.= 'у' И ° ОР. А 17! СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА — ПУАНСО Мгновенная ось вращения ОР, меняя свое положение в теле, опишет коническую поверхность (подвижной аксона), которая будет пересекаться с эллипсоидом инерции по кривой, описываемой полюсом Р и называемой аолодией. Подвижной аксоид называется также конусом полодий. На плоскости Пуансо полюс Р также опишет некоторую кривую, называемую герлолодией.
Неподвижный аксона имеет вершину в точке О, и направляющей ему служит герполодия; у подвижного аксоида вершина находится также в О, а направляющей является полодня. Поэтому движение тела можно еще представить как качение без скольжения подвижного аксоида по неподвижному с мгновенной угловой скоростью ы= ОР ° У й . 4.
Полодин. Так как полодия лежит на эллипсоиде инерции, то текущие координаты точек полодии должны удовлетворять уравнению эллипсоида инерции (12): (12) Ала+ Вуа+ Сла = 1. С другой стороны, расстояние неподвижной точки О до плоскости Пуансо постоянно и дается формулой (! Вг), которую можно записать в виде А'ха+ В'у'+ Сала = О = — . 1 Ах (20) Уравнения (!2) и (20) определяют аналитически полодию как геометрическое место точек, лежащих на эллипсонде (12), причем касательная плоскость к эллнпсонду з этих точках находится на постоянном расстоянии б от точки О.
Так как уравнение (20) есть также уравнение неноторого эллипсоида, то полодия есть кривая пересечения двух эллипсоидов и, следовательно, замкнутая алгебраическая кривая четвертого порядка. Для удобства исследования уравнения (12) и (20) можно преобразовать. Умножим обе части уравнения (12) на О и вычтем из уравнения (20); получим А(А — О) ха+В ( — О) у'+С(С вЂ” 0) г' = О. (21) Уравнение (21) есть уравнение конуса с вершиной в начале координат Π— неподвижной точке; ему удовлетворяют координаты точек подвижного аксонда. Следовательно, (2!) есть уравнение конуса полодий, или подвижного аксоида.
В пересечении с эллипсоидом инерции (12) конус полодий дает полодию. Чтобы иметь возможность сравнивать получаемые ниже результаты с тем, что было найдено в п. 1 аналитическим путем, заметим, что, согласно Равенствам (5) и (!5), постоЯнные )сн )а свазаны с 0 аависимостями В (А — В) )ц = (А — О) й, В ( — С) Хэ = (Π— С) Ь. (22) 13 Н. Н. Бухгольц ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА !гл. !т Исследуем изменение вида полодии в зависимости от различных значений П, т. е. при различных расстояниях плоскости П от неподвижной точки [см. формулу (19)], или, иными словами, при различных начальных условиях движения. Для определенности предположим, как раньше, что А» В ) С, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
