1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Напротив, вращение вокруг средней оси эллипсоида инерцииоказывается неустойчивым. В самом деле, при весьма малом возмущении вращения вокруг средней оси эллипсонда инерции Оу новое движение будет осуществляться качением эллипсоида по плоскости П, причем геометрическим местом точек прикосновения будет служить одна из полодий, весьма близкая с кривой, составленной из каких- либо половин двух эллипсов КЛ и ММ (см. рис.
68). Эта полодия будет конечных размеров; тогда в последующем движении и модуль и направление вектора ю будут значительно отличаться от их начальных значений, и следовательно, движение будет неустойчивым. То обстоятельство, что движение при этом одинаково вероятно по любой из достаточно близких полодий, лежащих в четырех областях, на которые разделяется двумя эллипсами К1. и ММ поверхность эллипсоида инерции, характерно для неустойчивого вращения вокруг оси Оу и существенно отличает этот случай от вращения вокруг большой и малой осей, когда возмущенное движение осуществляется качением эллипсоида инерции вдоль весьма близкой полодии, лежащей в той же области зллнпсоида, что и конец соответствующей полуоси, которую полодия окружает, В Э 12 (п.
3) было докааано, что главные оси эллипсоида инерции являются свободными осями вращения твердого тела. Докажем обратное, т. е. что если ось вращения твердого тела с неподвижной точкой, на которое не действуют никакие внешние силы, перманентна СЛУЧАИ ЭИЛЕРА — ПУАНСО % П1 (т. е. сохраняет неизменное направление относительно тела), то эта ось есть одна из главных осей эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки. Так как ось перманентная, то проекции угловой скорости гв на подвижные оси будут (23) ,П = ОЮ, д = (1Ю, Г = уы, где ц, б, у суть постоянные направляющие косинусы угловой скорости г», которая по условию имеет постоянное направление относительно тела.
Докажем, что г» постоянна не только по направлению относительно подвижной системы, но и по модулю. В свмом деле, подставляя значения (23) в интеграл энергии (2), получим уравнение 2Т = и' (Аи'+ Вбз+ Су') = й, из которого следует, что (гв(=сопз1, а следовательно, постоянны и вектор гв и его проекции р, д, г. Уравнения Эйлера (1) для случая постоянных р, д, г примут вид (С вЂ” В)дг=О, (А — С) гр = О, ( — А) рд=б. (24) Отсюда следует, что если эллипсоид инерции трехосный (А ) В > С), то, чтобы удовлетворить уравнениям (24), надо принять две из проекций угловой скорости равными нулю; это и доказывает, что единственные перманентные оси тела суть главные оси эллипсоила инерции.
Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, например, если А = В, то, чтобы удовлетворить уравнениям (24), надо положить или г = О, или р = д = О; но равенство г = О показывает, что любое направление в плоскости экватора Оху есть перманентная ось, а из равенства р = д = О следует, что ось Ол также является перманентной осью. Если эллипсоид инерции есть сфера, т. е. если А = В = С, то уравнениям (24) удовлетворяют любые значения )т, д, г, т. е.
любая ось будет перманентной. 7. Герполодограф. Недостаток геометрической интерпретации Пуансо заключается в том, что в ней движение вполне задано геометрически качением эллипсоида инерции по плоскости Пуансо, но кинематические обстоятельствз движения приходится осуществлять дополнительно. Если осуществить материально аксоиды с вершинами в неподвижной точке О (и ограниченные: неподвижный — герполодией, а подвижный — полодией), то для полного воспроизведения движения недостаточно просто катить подвижный конус по неподвиж.
ному, а необходимо катить так, чтобы угловая скорость, направленная вдоль общей образующей ОР, равнялась а= ОР ° у' л [формула (!7)). Реально осуществить такой закон изменения угловой скорости на основании геометрической интерпретзции Пуансо невозможно. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА !гл пг Дарбу и Кенигс восполнили указанный пробел следующим образом Разложим угловую скорость ю на две составляющие: ю, вдоль вектора О н ю, — параллельно плоскости П (рис. 70), так что Согласно доказанному в п, 3 [формула (14)) первая составляющая ю, = юо постоянна; изменяется, следовательно, только юг. Проведем через точку О плоскость П', параллельную плоскости П, и заставим плоскость П' вращаться равномерно с угловой скоростью гв, вокруг вектора й. Тогда угловая скорость эллипсоида инерции относительно плоскости П' будет равна гв †, = гвг. лр юг П г Р ' - --."-.
Во время движения вектор юа будет занимать различные положения относительно тела н опишет в теле некоторый конус К (второго порядка, как зто можно доказать). Если этот конус К осуществить материально, то движение можно предыг ставить как качение конуса К по подвижной плоскости П' с угловой скоростью ем Осуществим материально плоскость П, эллипсоид инерции, конус К и плосРис. 70. кость П', могущую равномерно вращаться с заданной угловой скоростью вокруг вектора й; при этом предположим, что либо все эти поверхности шероховатые, либо связаны одна с другой соответствующими зубчатыми зацеплениями.
Если теперь эллипсоид инерции будет катиться с надлежащей угловой скоростью м Е г» = ОР ° [77г по неподвижной плоскости П, воспроизводя действительное движение, то конус К заставит соприкасающуюся с ним плоскость П' вращаться равномерно с угловой скоростью юп Если, напротив, заставить вращаться только плоскость П' с постоянной угловой скоростью юн Рнс. 71. то плоскость П', соприкасаясь с конусом К, передаст движение зллипсонду инерции, который, катясь по плоскости П, осуществиг действительное движение. Кенигс и Дарбу построили соответствующий прибор, названный герполодографом (рис 7!) потому, что магериально осуществленный эллипсоид, катясь по плоскости П, вычерчивает на этой плоскости герполодию.
5 га 201 СЛУЧАЛ ЛАГРАНЖА — ПУАССОНА ф !8. Случай Лагранжа — Пуассона я У! У2 22 О О а БИΠ— тото .Р = а Х Р = Р следовательно, А'.г 1 ига лз = — Раун Л.=О. Тогда динамические уравнения Эйлера примут вид А — + (С вЂ” В) ог = Раут, лр лг  — „+ (А — С) г р = — Раун 'Ь7 1. Уравнения движения симметричного тяжелого гироскопа и качественное исследование. В случае Лагранжа — Пуассона эллипсоид инерции твердого тела относительно неподвижной точки есть эллипсоид вращения, т. е. А = В, и центр тяжести тела лежит на оси вращения эллнпсоида инерции, т.
е. на оси динамической симметрии. Такое тело, имеющее неподвижную точку, часто называют симметричным гироскопом, Заметим, что если однородное тверлое тело имеет ось геометрической симметрии, то эта ось будет также и осью динамической симметрии, но не наоборот. По-прежнему свяжем с телом подвижную систему ориентировки Охул (рис 72) и направим ось Ох по оси й динамической симметрии с положитель- лным направлением от О к центру тяжести С. Ось Оь основной системы Р У отсчета направим вертикально вверх.
Обозначим радиус-вектор центра тяжести С относительно О через а (О, О, а), а направляющие косинусы вер- Рис. 72. тикальной оси Оь относительно подвижных осеК вЂ” чеРез Уп У2, Уа; их выРажениЯ чеРез Углы ЭйлеРа определяются формулами (12) 2 16. Проекции силы тяжести на подвижные оси имеют значения Р ( — Ру,, — Рум — Руз).
Составим динамические уравнения Эйлера, Момент внешней силы относительно неподвижной точки О будет ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. Нг К этим уравнениям необходимо еще присоединить кинематические уравнения Эйлера: р= фяпВ юп~р+Всоздь д = ф з1п В соз ~р — В з(п ~р, г = ~р+фсоз В. (2) При обшей постановке задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки (ф 16, п.
3) было выяснено, что кроме тривиального интеграла у",+у~+у~=! необходимо для решения задачи отыскать еще три интеграла. Применим теорему об иаменении кинетической энергии «т = — Р 2ьс, где Ьс есть координата центра тяжести относительно основной системы отсчета. Очевидно, что ~с=(а)1=пуз. Интегрируя н заменяя кинетическую энергию Т ее выражением (7') ф 15, получим интеграл эьергии А (р'+ дт) + Сгт = — 2Рау, + л! (3) при этом учтено, что А = В.
Для получения второго из интегралов применим теорему об изменении кинетического момента в проекции на ось Оь. Получим — „, (ас)=О, и' поскольку ~И1 = 0; следовательно, Ос = сопз1 Но так как 01 О . ~о (Ар(+ Аду+ Сгй) ° (у1!+ уту+ узй) = = А (ру, + дуя)-+Сгуз, р'+д' =дрз(п' В+(1а. то окончательно будем иметь А (ру~+-дут)+Сгуз сопз1. (4) Третий интеграл получаем нз третьего уравнения системы (1)~ г = сопя!. (б) Заметим, что интегралы (3) и (4) можно получить и непосредственно из уравнений (1), как это было показано в ф 16, п.
3. Введем в полученные интегралы зйлеровы углы. Возводя обэ части первых двух уравнений системы (2) в квадрат н складывая их почленно, получим СЛУЧАЯ ЛАГРАНЖА — ПУАССОНА Кроме того, уз= созО. Если, наконец, постоянную величину Сгт объединить с л, то интеграл (3) примет вид А(фаз!па 0-+От)+ 2Ра соз 0=111, (6) где и =й — Сгз.
!в Далее, умножая два первых из уравнений (2) соответственно иа у,, уа и принимая во внимание равенства (12) 9 16, получим ру,=Фз!и'Вз!и' ф+Осозфз!пОз!и р, ау1=фз!птОсозтф — Оз!пфз!пО созф. Отсюда после почленного сложения находим ру,+ау~=фа!пЯО. В результате интеграл (4) преобразуется к виду А Р з!пз О+ Сг соз В = Ь, (7) Наконец, интеграл (5) после замены г его значением из кинематических уравнений Эйлера (2) примет внд асов О+1р= г = сопя!.
(8) Входящие в интегралы (6), (7), (8) постоянные л1, Ь и г определяются по начальным условиям. Для отыскания закона изменения в зависимости от времени эйлерозых углов ф, ф и О необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (6), (7) и (8). Неизвестное ф в уравнения (6) и (7) не входит, поэтому уравнения (6) и (7) можно интегрировать отдельно от уравнения (8). Определяя из уравнения (7) ф (скорость прецессии), получим Ь вЂ” Сг соз Э (9) А мп'9 Затем, разрешая уравнение (6) относительно ОЯ, будем иметь Оя А,— 2Расозэ фаз! т 0 А подставляя сюда вместо ф его значение (9), найдем а, — 2Ра соз В (Ь вЂ” Сг соз 9)т в' (10) Уравнение (10) дает выражение для квадрата скорости нутации.
Интегрирование этого уравнения можно довести до конца; О выразится в виде эллиптической функции времени. Затем, подставляя найденное значение 0 в уравнения (9) и (8), можно найти 1р и 1р в виде квадратур от эллиптических функций. Не проводя до конца ДИНАМИКА АВСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА !ГЛ. !Ч этого интегрирования, проведем на основании вида дифференциального уравнения (10) качественное исследование характера движения, дающее достаточно ясное представление о всех его особенностях. Преобразуем уравнение (10) к виду А'з!и'0 0'=А(7Г,— 2Ра 0)з!и 0 — (б — Ог зй)т (!0) и введем новое переменное з, полагая лз в=з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
