1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 40
Текст из файла (страница 40)
На практике, однако, с помощью соответствующего моторчика всегда Обеспечивают равномерное собственное вращение гироскопа. случАЯ лАГРАнжА — пуАссонА э 1в| рис. 67 на стр. 162). Следовательно, при выполнении условия М ) Ог вектор М при движении гироскопа будет перемещаться по отношению к основной системе отсчета йт)ь в плоскости ~От). А так кзк вектор юв направлен по оси Ь, то отсюда следует, что вектор угловой скорости прецессии направлен перпендикулярно к неподвижной плоскости, в которой перемешается вектор М; сторона, в которую направлен вектор ю,, определяется равенством (36). Наконец, численное значение гэв также определяется из равенств (36), которое дает М Л>~ в!ив (37) Ра Ов =— ,гз, (38) не зависящей от значения угла 6.
Сравнивая этот результат с равенством (28) из п. 2, находим, что даваемая элементарной теорией величина угловой скорости прецессии, совпадает со средней величиной этой скорости, найденной путем интегрирования соответствующих приближенных уравнений движения. Обратимся теперь ко второй из названных выше задач. Если угловая скорость прецессии ю, известна (и величина Лю, по условию также задана), то из равенства (36) сразу определяются численная величина и направление момента М, под действием которого такая прецессия может происходить.
где 6 — угол между векторами ю, и юм т. е. угол иутации, причем 6 = сонэк Последнее следует из того, что в элементарной теории нутацией пренебрегают (или непосредственно из того. что чвв — — М, а так как вектор М перпендикулярен к плосности зОь, то точка В оси Ог в этой плоскости не перемещается). в В начестве конкретного частного l примера рассмотрим прецессию тяже- гыР лого гироскопа (волчка), поставленного под углом 6 к вертикали. В этом слу- l чае на гироскоп действует сила тя- р Р жести Р (рис. 83). Момент М этой силы относительно точки опоры 0 при любом Рис. 83. направлении оси Ог гироскопа лежит в горизонтальной плоскости, проходящей через точку О; следовательно, ось прецессии ОЬ вертикальна и при указанном направлении ю, вектор ю, направленвертикальновверх.
Численно М=Равгв6, где а= ОС вЂ” расстояние центра тяжести от точки опоры. Подставляя это значение М в равенство (37), найдем, что гироскоп в этом случае прецессирует с угловой скоростью ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ~гл. и Если гироскоп совершает вынужденную прецессию, т. е, прецессирует потому, что устройство, с которым скреплена ось гироскопа, вращается с угловой скоростью юг, то момент М будет вызываться снлзии давления на гироскоп подшипников, в которых закреплена его ось. В свою очередь, по закону равенства действия и противодействия, ось гироскопа будет давить на подшипники с такими же по численной величине, но противоположно направленными силами.
Эти силы образуют пару с моментом М'"Р, называемым гироскопическим моментом, которая будет действовать на устройство, сообщающее гироскопу вынужденную прецессию. Поскольку М""Р= = — М, то из равенства (36) находим Меа =г(ю, ',х',ю,) (39) н численно (40) М"" =.Ь~ы,МпВ. Из равенства (89) видно„что момент М""Р направлен так, что он стремится совместить кратчайшим путем вектор ю, с тг. Указанное явление носит название гироскопического эффекта и определяется следующим правилом Жуковского: если какое-нибудь устройство сообщает быстро вращающемусн гироскопу вынужденную прецессию, то при этом на данное устройство со стороны гироскопа будет действовать пара с гироскопическим моментом М""Р, стремящаяся кратчайшим путем установить ось собственного вращения гироскопа параллельно оси прецессии так, чтобы векторы угловых скоростей собстееншг ного вращения и прецес- сии при етом совпали по д з направлению.
Это пра- вило объясняет значительное ьЬ число гироскопических явлений. В технике гироскопический эффект часто имеет место в тех случаях, когда Рис. 84. происходит поворот быстро вращающегося массивного тела, например пароходной турбины, ветряного двигателя и т. д. Допустим, что таким телом является пароходная турбина, вращающаяся на горизонтальном валу с угловой скоростью гз, (рис. 84) Если паРоход бУдет делать РазвоРот с Угловой скоРостью Гег, то с ним повернется и вал турбины. Тогда вследствие гироскопического эффекта на подшипники А и В будет действовать пара сил ф Я', направленная, согласно правилу Жуковского, так, как показано на рисунке, т.
е. стремящаяся установить вал вертикалъно. Момент этой случАи с. В. коэАлявскаи пары определяется формулой (40); поскольку в данном случае 0 = 90', то А4""У=.Ь,ы,. С дРУгой стоРоны, момент паРы ч)н Я' Равен Я АВ, Отсюда находим силу добавочного давления на каждый подшипник, обусловленного гироскопическим эффектом: Я=— ,7н1ет АВ При больших значениях Ув, эта сила достаточно велика и должна учитываться в соответствующих инженерных расчетах. Если же поворот будет сделан очень резко (с большой величиной газ), то сила (з может вызвать разрушение подшипника.
В настоящее время область технических приложекий гироскопов громадна. Гироскопы используются в качестве стабилизаторов как прямого действия, в которых используются массивные гироскопы (например, гироскопические успокоители качки судов, гироскопические стабилизированные платформы и т. п.), так и не прямого действия, в которых гироскоп играет роль чувствительного элемента, передающего сигналы моторам, приводящим в движение соответствующие рули (например, прибор, стабилизирующий движение торпеды, всевозможные автопилоты и др.).
Большое применение находят различные гироскопические навигационные приборы: гироскопические компасы, гирогоризонты, указатели поворотов и т. д. В технике используют также гироскопические тахометры, гироскопические интеграторы ускорений (прибор, позволяющий в любой момент времени определить скорость неравномерно движущегося об.ьекта) и многие другие устройства, основанные на использовании рассмотренных выше свойств гироскопа. 9 19, Случай С. В. Ковалевской 1.
Интеграл Ковалевской. Новый интегрируемый случай движения тяжелого тела около неподвижной точки, полученный в 1889 г. С. В. Ковалевской, определяется двумя условиями: 1) А =- В = 2С и 2) центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, который, как показывает первое условие А = В = 2С, есть вытянутый эллипсоид вращения вокруг оси Ог. Основныа оси Овт)ь, связанные с Землей '), выбираем, как и ранее, так, чтобы ось Оь была направлена по вертикали. Оси подвижной системы Олуха направляем по главным осям инерции тела. Ось Оз по условию совпадает с осью динамической симметрии (в данном случае с большой осью эллипсоида инерции) Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то любая ось в его эквзториальпой ') См, сноску на сгр.
176. ДИНАМИКА АБГОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА !гл. Иг 1,1' й а О О Руз Руя Ргз И= ХР= гз У2 Уз а О О Динамические уравнения Эйлера при наличии условия А = В = 2С и при найденном аначснии Мо примут зил 2С вЂ” „Р— Срг = О. 2С вЂ” + Сгр = Рауз, Нз аг С вЂ” = — Рауя аг или, деля обе части каждого из уравнений системы на С и обоРа значая постоянную — = п, С 2 — — ~уг = О, аР аз 2 — +гр = пуз, на нг К системе (1) необходимо еше присоединить уравнения (!4) й 162 ~~Ь ,у~ Г72 ТУЗ =Ргз ГУз А~Ъ (2) аУЗ ,~~ =Чуз — РУЗ Уравнения (1) и (2) представляют систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными функциями времени р, д, г, уи уя, уз.
Для данной системы, как и а лзух рассмотренных выше случаях, можно легко получить плоскости есть главная ось инерции; позтому, не ограничивая общности рассуждения, можно ось Ох провести через центр тяжести С; тогда нзпразление оси Оу определится само собой. Обозначим, как и раньше, ралиус-зектор центра тяжести С относительно неподвиж. ной точки О через ОС=а(а, О, О), а направляюгцие косинусы вертикали О"„относительно полвижных осей — через уо у,, уз.
Момент силы тяжести Р относительно точки О будет 4 19! СЛУЧАЙ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ три известных алгебраических интеграла, и мен но: интеграл эне ргии, интеграл площадей, получающийся проектированием к ин етичес кого момента н а вертикаль О~, и тривиальное соотношение 2 2 2 межлу косинусами у!+ уз+ уз = 1. К ' этим трем интегралам С, В. Ковалевская добавила четвертый.
Для получения его умножим второе из уравнений (1) на мнимую единицу 7= )7 — 1 и сложим с первым; таким же образом умножим на 1 второе из уравнений (2) н сложим с первым. Получим 2 — (р + 7д) = — 7г (р + йу) + !пуз, Ш (у1+~уг) !г(у1 +гу2) +!уз(Р+'"27)' л Исключаем уз из двух полученных уравнениЯ, умножая первое из них на р+!д и вычитая из него второе, умноженное на п; получим я' л 2 (Р + 117) Ш (Р + й7) Ш и (у!+ гуг) = " ! и (у!+ 'уг) — (Р '+ И)') или ЛГ )(Р+ М) п(У!+ 1Уг)) = — йг [(Р+й7) — п(У1+ М) е' что можно записать в виде — 1п [(р + й7)2 — п (у, + гу,)] = — гг.
я (3) Проделаем те же операции, но умножая це на Е, а на отрицательную мнимую единицу — 1= — ф' — 1, Тогда после выкладок совершенно таких м1е, как и предшествующие, мы придем к выражению, очевидно, получающемуся из равенства (3), если произвести и нем замену 7 на — 1, т, е. — !п [(р — й7)2 и (у! гу2)) 7г' я' ш (4) Складывая равенства (3) и (4) почленно, получим — !и [[(р.+й7)2 — п(у1-+)уг)) [(р — й7)2 — п(у — гуг)) ) =О. (5) л Интегрируя уравнение (5), найдем четвертый алгебраический интеграл: НР+И) — п(У1 + 1У2)! [(Р— й7) — п(У, — (Уг)! = сопя!, (б) Преобразуя выражение (6), будем иметь [(Р— т~ — пу1)+1(2Р17 — пуг)) Х Х [(рг — дг — пу ) — ! (2Р~7 — пуг)! = сопз1, или (зг лг лу )г.+(2Р17 — пу )г сопз)=Л.
(7) Это и есть интеграл Ковалевской. Окончательно задача сводится к квадратурам гиперэллнптического типа. ДИНАМИКА АВСОЛКГГНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. 1ч 2. Заключительные замечания. В рассмотренных выше трех случаях движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, т. е. в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, кроме трех первых интегралов (тривиального, интеграла энергии и интеграла площадей), существует еще четвертый алгебраический интеграл, благодаря которому задача приводится к квадратурам. Возникает вопрос о том, могут ли быть, кроме этих трех, другие случаи движения твердого тела около неподвижной точки, для которых также имеет место четвертый алгебраический интеграл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
