1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 42
Текст из файла (страница 42)
у Внося выражение (7) в уравнение (8) и изменяя группировку членов, получим В левой части уравнения (8) под знаком Ь стоит функция, которая встречалась уже з $ 8, п. 5 и была обозначена через Н*. Введем в уравнение (8) вместо лагранжевых переменных канонические, заменив д их выражениями (4).
Тогда функция после этого преобразования перейдет в функцию (8) Функция Н(д, р; !), взаимная по отношению к функции 1., но выраженная в канонических переменных, называется функцией Гад!. мильтона. Поскольку —.=ро функцию Н можно еще представить дй в виде (10) Отсюда сразу определяются выражения д! через функцию Н, аналогичные выражениям (3) импульсов р, через функцию 7..
Действительно. вычисляя из выражения (10) производную от Н по р, и учитывая, что в этом выражении Н зависит от р, как явно, так и череа переменные оо получим дН ° С~ дя! ~ч д! дл! = Ч! +,7~ р! — — я. —. др! ' др! Ь дд! др1 ' ! д! Входящие в правую часть суммы сокращаются, поскольку —.= р1, дл! и окончательно будем иметь дН (11) Найдем теперь вторую группу уравнений, которые собственно и являются уравнениями движения.
Для этого перейдем в правой части равенства (8) к каноническим переменным. Тогда функция 7.(д, о; !) ВЫВОД УРАВНЕНИИ И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 231 дЕ перейдет в Л(д, р; Г), а —, заменится через ро и уравнение (8) дз~ примет вид Ш(Ч Р' ) = —,~ д бу~+. „~~~% Р~ ~ч дХ нли, принимая во внимание равенство (5), бН<д, р; 1)= — '~ р,.бо,+~д',брн (12), Развертывая в левой части вариацию Н, получим Х дщ~ ~~+1 ддт Р~ ХР~ )~+~ДаР~ дН дН -ч $ Отсюда, учитывая равенства (11), находим Х~дН+ .)б =О, Это соотношеяие, поскольку все бд, между собою независимы, дает дН Рг = — — (1= 1, 2,, л).
дф Присоединяя сюда равенства (11), приходим к следующей системе уравнений; йр~ дН йе дгн ' — — — (1=1, 2, ..., и). (13) Хрс дН йг дрн / дТА дТ дН вЂ” — — — = — +ф (1 = 1, 2, ..., л). йГ ~ дй дй дусь уравнения (13) носят название канонической системы уравнений движения в форме Гамильтона или просто уравнений Гамильтона. Они представляют собой систему обыкновенных уравнений первого порядка, определяющих дн дж..., д„и рь р,, ..., р„как функций времени, т.
е. у, р (Г, В случае динамической системы уравнения (1) применимы только тогда, когда система консервативна, т. е. когда силы, действующие на систему, имеют потенциал, ибо Т.= Т + сГ; следовательно, и уравнения (13) тоже имеют место только для этого случая. Но весьма легко получить уравнения Гамильтона и для неконсервативной динамической системы. Предположим для общности, что на динамическую систему действуют силы как консервативные, имеющие потенциал К так и неконсервативные; тогда уравнения движения такой системы будут иметь вид 232 кАнонические уРАВнения дВижения системы 1гл. у илн — — — — =Я, (1=1, 2, ..., и), ~доз дУ.
дт ~дд;~ дз; тле у.=Т+ (у, причем у,)д, д, г. Полагая по-прежнему дУ. Ру=— дскб; и вводя канонические переменные, получим уравнения (4') и (5') в виде (1= 1, 2, ..., и), (1=1, 2, ..., и), а равенство (12) в ниле бУУ = — 2. (р; — Ы б~, +,Й 4гбр„ откуда тем же путем, что и при выводе уравнений (13), получим — — — = — — +йу (У =1, 2, ..., и). (14) ду; дУз др, дг др; ' дг дрн Уравнения (14) представляют собой уравнения Гамильтона для неконсервативной системы.
Необходимо заметить, что уравнения Гамильтона, как полученные из ураннений Лагранжа второго роза, применимы только к голономным системам. 3. Функция Гамильтона. Функция Гамильтона, как было уже сказано в прелыдущем пункте, есть функция, взаимная по отношению к функции у. и выраженная в канонических переменных, т.
е. 'кз дА Н(4, Р; У)= У.+У,, д, до~ д.ьр Координаты д, не входящие явно в функцию ут', называются цикли- ческими. В случае динамической системы имеем у.=- у.з-+у.,+(о; поэтому по теореме Эйлера сч дй — ь+ Ä—. У; = — У.з — ь1 — се+ 2ьл+ уч У-з — ьз, дну а слелозательно, н(д, р; 1)=Х,— у,, (16) ВЫВОД УРАВНЕНИИ И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $2Ц где Хг есть функция !.г.
в которой скорости д выражены через импульсы р. Так как в случае динамической системы скорцсти д, согласно формуле (3'), суть линейные функции импульсов )у, то нз равенства (15) следует, что Н есть функция второй степени от импульсов р. Если у.= т+и= т +т,+ т + и, ег=тг' Ее=то+и то и, следовательно, Н (Р. Р; 1) = тг — т, — и. (15') Если, как это бывает в большинстве конкретных случаев, кинетическая энергия Т есть однородная функция второй степени от скоростей (а следовательно, и от импульсов), т. е, если 1 %~ Т = Т, = 2 ~ а,,дг((у, Та = О, г, / то н-т,— и=е, (16) а потенциальная равна — и(х, у, х), где и есть потенциал силового поля. Полная энергия равна 1 Е=-л лу(хг+уг+ха) и(х у л).
Чтобы получить функцию Л, нужно в выражении Е вместо скоростей ввести импульсы. Имеем, согласно (3), дт 2ук = . — — лух, дх дт !Ру =, = УЛУ, дт рл= —.= улх; дх 1! Н. Н. Булгяльц т. е. функция Н есть сумма кинетической и потенциальной энергии или полная энергия системы, в которой скорости !) выражены через импульсы р. Пример. Составим уравнения Гамильтона для свободной материальной то!ни с массой т, двнжужейся в потенциальном поле снл. В этом случае положение точки определяется тремя неэавнсимммн координатами х, у,х.
Кинетическая энергия точки будет 1 Т = — т (ха+ у'+ х'), 2 х=— Р» И Ру У= /В (а) Р ж Подставляя выражения (а) в Е, получим Н = — (р»з+ рта+ р ) — У (х, у, з). Уравнения Гамильтона (13) будут иметь вид дх дН др дН н т, д. и — — н т, д, вт др» ' ' дт дх нли др» дх Р» И кп' Ир дУ ду Ру дт ду Ыр дУ д» Р» дт т' Подставляя выражения р„, рт, р» нз первых трех уравнений в остальные, получим уравнения Ньютона д»х дУ И вЂ” = —, ди дх д»у дУ д»с дУ т — = —, ж — =— дт» ду ' Щгт дх 4. Первые интегралы.
Первым интегралом канонической системы уравнений (!3), т. е. уравнений до, дН др, дн — '= о, — ' — — (1=1, 2, ..., и), (!3) дт ор ' дт до называется функция 1 (д, р; С), которая остается постоянной при всех значениях д и р, удовлетворяющих уравнениям (1 3); иначе говоря, если у (д, Р; С) есть первый интеграл системы (13). то ,У(д, р; 1) = сопя! во все время движения при любых начальных условиях. Ясно, что если Г = сопв1 есть первый интеграл, то любая функция т»(Г) = сопз1 будет тоже первым интегралом.
Задача интегрирования системы (13) заключается в определении переменных Р и д в функции времени и 2а произвольных постоянных, т. е. в определении Р. Д!т'; со сз...., сто, 234 канонические тнлвнения движения системы !гл, о отсюда ВЪ|ВОД УРАВНЕНИЙ И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ % тп Если для системы (13) найдены 2и независимых между собою первых интегралов уа — са, .... 7;п= сел, (17) т.
е. таких, что ни одна из этих функций 7' не может быть выра>кена как функция остальных, то система (13) проинтегрирована, так как из 2и уравнений (17) можно найти р и Ч как функции и 2и произвольных постоянных, Это возможно. так как определитель Якоби =Р- О д(Ч!,, Чл! Р!.. Рп) вследствие неаависимости между собой функций 7'. В некоторых частных случаях система (13) непосредственно ласт первые интегралы, а именно: до 1) Если функция Н явно не зависит от времени, т. е.
— =.О. дг Для доказательс!Ва возьмем производную от функции Н по времени; получим дН(Ч, Р; Г) дН У г!!и ° до дт д! 'и'! дЧ, ' ' др! = — +У( — Ч+- — Р.1. г=! Подставлгя во второй член правой части выражения Ч, и Р, через функцию Н из уравнений (13), мы видим, что этот член равен нулю, слеловательно, дН дН (13) д! д2 дН сУХ Поэтому если — = О, то и — = О, а следовательно, дт дт Н(Ч, Р)=И, (19) где И есть постоянная, т. е. Имеел! первый интеграл. Принимая во внимание выражение (9) для Н, мы видим, что интеграл (19) есть обобщенный интеграл энергии.
Для динамической системы этот интеграл обобщается на основании равенства (15') в интеграл Якоби Та — Т,— и=». а в случае, если Т=ТИ в интеграл энергии в физическом смысле Т вЂ” с7=И; постоянная И в этом случае есть постоянная энергии (ср. 9 3, п. 5). 2) Если некоторые из координат явно не входят в функцию Н, т. е. будут циклическими.
Пусть циклическими булут первые И коордияат !7„ЧИ ..., Ча (И ( и); тогда Н=Н(ЧА+г* Ча+м ° ° ° ° Ч ' Р! Рг ° Рп' 7) клноннчнскин крлвннння движения снстнмы (гл. к 33 В этом случае — = О (1 =1, 2, .... й), дН де и уравнения Гамильтона (13) дают й первых интегралов (20) Р1 = ам Рэ = от. ° ° Ра = ал где а~ суть постоянные.
Эти интегралы носят название циклических и выражают собой тот факт, что циклические импульсы постоянны, Поэтому очень важно найти такое преобразование канонических переменных д и р, при котором уравнения (13) сохранили бы свою гамильтонову форму и возможно большее число координат стало бы циклическим. Такие преобразования канонических переменных, при которых уравнения (13) переходят в уравнения того же вида, называются иаионичесиими; о них будет сказано ниже (см.
й 27). Прелположнм, что координаты все циклические, т. е, что функция И зависит только от одних импульсов и времени, т. е. Н=н(рп р,, ..., р„; 1); тогда нз уравнений (13) имеем Рс =ас (1 = 1 2 ° ° и) где а, суть постоянные. дН Если предположить еще, что — = О, т. е, что функция И дт не зависит явно от времени, то тогда функция И= Н(ап аэ, ..., а„) = = сопэ1, и первая группа уравнений (13) приводит к остальным и интегралам, В самом деле, в этом случае дл„ / дН э — = — ) =тн д~ — — у~1+с, (1=1, 2, ..., и), р+а т.
е, координаты д суть линейные функции времени. Таким образом, если все координаты циклические, то каноническая система уравнений даял<ения легко интегрируется. Возникает вопрос о возможности отыскать такие преобразования переменных ч и р в переменные д и р, при которых система уравнений движения осталась бы по-прежнему канонической, но все координаты д были бы уже циклические. Такие преобразования несомненно существуют, хотя и не найдены до сих пор. Пример. Составим уравнения движения материальной точки с массой и под действием центральной силы. Поскольку движение является плоским, выберем в качестве независимых координат полврные координаты точки г и Ч, беря начало отсчета г в центре силы.
Тогда кинетическая энергия точки будет Т = — (гэ + г'~р'), т 2 % тп ВЫВОД УРАВНЕНИЙ И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 237 а потенциалы1ая равна — (7(г). Введем в выражение Т вместо скоростей импульсы ду . ду Рг = —. Л2Г РЧ вЂ” т- ШГ21Р. дг де Получаем Рг г= —, Ш' ° Рч Ф= шгт Следовательно, функция Гамильтона имеет внд Н=2 (Р,'+ — 3-~ — и(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
