1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Исследования Хуссона (Нпззоп) (1905 г.), Бургатти (ВцгКаШ) (1910 г.) н др. показали, что для других случаев, кроме трех рассмотренных, не существует других алгебраических интегралов, кроме тривиалыюго, интеграла энергии н интеграла плошадей. Это заключение относится к общим интегралам, имеющим место при любых начальных условиях. Тем не менее различными авторами найдены случаи, для которых существуют частные алгебраические интегралы, т. е.
интегралы, имеющие место только при некоторых, специфически выбранных начальных условиях. К таким случаям относятся случаи Гесса (Незя), С. А. Чаплыгина, Бобылева — Стеклова, Д. Н. Горячева и других авторов (см. Г. К. Суслон, Теоретическая механика, 1946, гл. 1.1). В 20. Движение свободного твердого тела 1. Уравнения движения свободного тела. Если обозначить через ОЕТ1~ основную систему отсчета, то уравнения движения центра масс свободного твердого тела получатся из теоремы о движении центра масс в аиде «гьс = Йы глт)с = А ч ш~с=% где «г — масса тела, Эс, Т1с, ьс — кооРдинаты его цеатРа масс С относительно осей основной системы, а Ят, Я, РС- проекции на ч' те же оси главного вектора внешних снл, Если провести через центр массы С оси ь', 9', ь', соответственно параллельные осям основной системы. и обозначить через Схух подвижные оси, связанные с телом и направленные по главным осям инерции тела в точке С, то движение твердого тела около центра масс.
как около неподвижной точки, определится движением осей Схун относительно системы Я'ТГь', которое будет известно, если известны соответствующие углы Эйлера в функции времени. Так как теорема моментов применима и к относительному движению около центра масс, то для движения твердого тела отно- движяииг. сноводиого твгшдого тклл сительно центра масс будем иметь те же самые динамические урав- нения Эйлера, чго и для тела с неподвижной точкой, т. е. А — -+ (С вЂ” В) ог = М„, лр лу (2)  — +(А — С) гр =М, ьгг С вЂ” '"+( — А) рд=М,. ~ Система уравнений (1) и (2) представляет собой систему шести дифференциальных уравнений движения для свободного твердого тела.
Так как неизвестнымя являются три абсолютные координаты центра масс ьс, т)с, ьс и три угла Эйлера гр, ф О, то к системе (1), (2) необходимо еще присоединить кинематические уравнения Эйлера (уравнения (у) в 16!. Обычно в простых случаях движения, например в случае движения твердого тела в беавоздушном пространстве, проекции главного вектора внешних сил ус1, й„, Яс не зависят от углов Эйлера, а проекции главного момента Мх, М , М, не зависят от коорлинат центра масс. В таком случае уравнения (1) н (2) можно интегрнРовать независимо дРУг от дРУга; Яс, т1с, ьс выРазЯтсЯ в фУнкции времени н шести произвольных постоянных, а хр, ф 0 — в функции 1 и шести других (независимых от первых) произвольных постоянных.
Однако в некоторых более сложных случаях, например в случае дни>кения тела в сопротивляющейся среде, главяый момент М внешних сил относительно центра масс будет зависеть от координат с ., т)с, ьс, а действующая на тело сила сопротивления будет зависеть от ориентировки тела, т. е. углов у, ф 0 н уравнения (1) и (2) образуют совместную систему. В этом общем случае интегрирования интегралы системы (1), (2) будут содержать 12 произвольных постоянных интегрирования. 2. Примеры. 1) Допустим, что свободное твердое тело движется вне поля сил (И = О, Мс — — О). Тогда, как видно из уравнений (1) и (2), его центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно, а движение тела около центра масс будет таким же, как в случае Эйлера — Пуансо.
Это движение можно назвать движением твердого тела по инерции в общем случае. 2) Допустим, что твердое тело движется в однородном поле тяжести при отсутствии сил сопротивления. Тогда на тело действует только сила тяжести, равная тй, приложенная в центре масс и направленная во вертикали вниз. Если ось Ь направить вертикально вверх, то уравнения (1) примут внд $с=б, Ос=о Ьс= Отсюда (см. ч. 1, О Зб) найдем, по при произвольных начальных условиях центр масс тела будет двигаться по параболе. Движение около центра масс, поскольку и здесь М = О, будет такич, как в случае Эйлера — Пуансо. с 15 и.
и. вухгохьц ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 3) Рассмотрим движение планеты в поле тяготения Солнца, пренебрегая притяжениями других небесных тел. Если планету считать состоящей из однородных сферических слоев, то, как доказывается в теории потенциала, планета будет притягиваться к Солнцу как материальная точка, масса которой равна массе гя планеты и сосредоточена в центре масс (силы притяжения имеют при етом равнодействующую, проходящую через центр масс). Тогда уравнения (1) можно преобразовать так же, как в случае движения материальной точки под действием центральной силы (см.
ч. 1, ф Зу); в результате найдем, что траекторией центра масс будет коническое сечение, в частности, при соответствующих начальных условиях, эллипс с фокусом в притягивающем центре. Момент л( равнодействующей сил тяготения относительно центра масс здесь опять равен нулю. )(о, поскольку при сделанном допущении о форме планеты центральный эллипсоид инерции является сферой, то днижение планеты около центра масс будет равномерным вращением вокруг оси, сохраняющей неизменное направление в пространстве (направление втой оси и неличина угловой скорости вращения определяются начальными условиями), Если же не считать планету состоящей из однородных сферических слоев и учесть ее реальную форму, например для Земли форму геоида, то окажется, что равнодействующая сил притяжения уже пе будет проходить через центр масс планеты и будет АТ Ф О.
Тогда движение планеты около центра масс будет аналогично движению гироскопа, т. е. помимо собственного вращения планета будет совершать еще прецессию вокруг оси, перпендикулярной к плоскости эклиптики, а также нутационные колебания. В частности, прецессию под действием сил притяжения Солнца и Луны совершает и земная остб период втой прецессии равен приблизительно 26000 лет. ГЛАВА ПЯТАЯ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В 21. Вывод уравнений и первые интегралы 1. Канонические переменные. Лагранжева система уравнений представляет собой систему а обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат р и в случае, когда действующие силы потенциальны, имеет ввд и' IЙЕь дŠ— ~ —.~ — — = 0 (1= 1, 2, ..., и), Л1 ~ай,) ая, где есть функция Лагранжа (или кинетический потенциал), зависящая от координат д, скоростей д и.
в общем случае от времени 1. Координаты, от которых функция Е явно не зависит и которые входят в Ь только своими производными, носят название циклических. Если Е. есть функция второй степени от скоростей, то система (1) называетсв динамической; в атом случае (см. $ б, и, 4) Е=Е,+Е,+Ез. Систему (1) можно легко привести к системе 2л обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, считая скорости д за неизвестные функции, Такая система будет иметь вид л у эе ~ ае . лй, с (1 — 1 2...., а).
(2) Л1 ~ад,! Дй~ Л1 Система (2) определяет неизвестные функции до чы ..., ч„; л, ..., л„, которые называются лагранжевыми переменными, и, как видно, является системой 2л обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. 15' 228 кАнонические уРАВнения дВижения системы 1гл.
ч Для приведения системы (!) к каноническому виду вместо лагранжевых переменных д! и д! (координат и скоростей) введем новые переменные, а именно обобщенные координаты !)! и обобщенные импульсы ро где р! = —. (1= 1, 2, ..., л). дЕ (3) дд! Эти переменные будем называть каноническими переменными. Такое преобразование (принадлежащее Пуассону и Гамильтону) будет возможно, если система и уравнений (3) может быть разрешена относительно д!, а это в свою очередь возможно тогда, когда функциональный опрелелитель (якобиан) системы тождественно не равен нулю, т, е.
— '(, о. л Р . РВ ! Г« '1 дч! дч) равен нулю, называется нормальной системой. Если система динамическая. то Е = Ез+ ьг+ ЕО причем ез — ~ а!ед!сУр т, !=1 Е!= ~и~~ а!л!; !=! поэтому для динамической системы обобщенные импульсы равны р! = Х а!!Я!+ о! ! ! (3') т. е. являются линейными функциями скоростей, и определитель Гесса будет / =Да!~П, т.
е. равен дискриминанту квадратичной формы Ез, который не может быть тождественно равен нулю. В самом деле, функция ЕУ=Т! всегда положительна и обращается в нуль только в том случае, если все д! равны нулю, а если бы дискриминант Эа!~)( этой положительной квадратичной формы был тождественно равен нулю, то система однородных линейных уравнений о дЕ! %т — ~ а!),у = 0 (1 = 1, 2, ..., а) дд! 11! 230 кАнонические уРАВнения движения системы [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
