1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Гироскоп большей частью выполняется в виде массивного цилиндра или тора, закрепленного так, что одна из точек его оси остается все время неподвижной. Такое закрепление осуществляется, например, с помощью так называемого карданова подвеса ,(рис. 78). У гироскопа обнаруживается целый ряд на первый взгляд парадоксальных явлений, обусловленных его быстрым вращением, Эти $18] СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА — ПУАССОНА явления называют гироскопическими. Онн возникают всюду, где имеются быстро вращающиеся тела, ось вращения которых может изменять свое направление, и потому имеют большое техническое значение. Выше мы видели (см. пп.
1 и 2), что точное исследование движения гироскопа под действием даже одной только силы тяжести является довольно сложной задзчей и что решение этой задачи можно упростить, когда угловая скорость собственного вращения гироскопа. достаточно велика, Дальнейшее упрощение проблемы дается в элементарной теории гироскопа, основанной на непосредственном применении к изучению его двзжения теоремы об изменении кинетического момента. Рассмотрим гироскоп, аакрепленный так, что его Оч/юа центр тяжести совпадает с неподвижной точкой О оси г гироскопа (рис.
79). Назовем такой гироскоп уравновешенным. Пусть этот гироскоп вращается вокруг «еаг своей оси симметрии с угловой скоростью гя1. Так как угловая скорость направлена в данном случае по главной центральной оси инерции, то кинетический момент О гироскопа относительно точки О будет направлен по той же оси, и прн этом 0 =А»1, где У в момент инерции гироскопа относительно его оси, Если никакие внешние силы (кроме силы тяжести) на гироскоп не действуют, то главный момент всех р 79 внешних сил относительно центра О равен нулю Ио и по теореме об изменении кинетического момента — = О, откуда ш 0 = солз1. Так как вектор 0 при этом все время направлен вдоль оси симметрии гироскопа, то, следовательно, ось в данном случае будет сохранять свое начальное направление относительно инерциальной системы отсчета, а угловая скорость ю1 будет постоянной.
Допустим теперь, что на гироскоп действуют какие-нибудь внешние силы; тогда, как известно, гироскоп, кроме собственного вращения, будет совершать еще прецессионное и нутационное движения. Исследования, проведенные в п, 2 для случая движения гироскопа под действием силы тяжести, показывают, что у быстро вращающегося гироскопа направление оси вследствие нутационных колебаний изменяется в очень малых пределах 81 — Оз и угловая скорость нутации 0 при этом также очень мала (см. формулу (25)).
По этой причине нутационным движением оси в элементарной теории гироскола вообще пренебрегают. Угловая скорость прецессии, которую мы здесь будем обозна- чать юг, также мала, но при ее наличии ось гироскопа со временем. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл.
ш значительно изменяет свое направление; поэтому угловая скорость юз в элементарной теории гироскопа учитывается. Тогда мгновенная угловая скорость гироскопа будет ю = е,+ юз (рнс. 80). Но так как у быстро вращающегося гироскопа численно ыт((гви то приближенно можно считать, что гэ =ыи т, е. полагать, что н при наличии прецессии угловая скорость гироскопа в каждый момент времени равна угловой вскорости его собственного вращения н направлена вдоль оси симметрии гироскопа. При этом допущении вектор кинетического момента будет также в любой момент времени равен Тго, и направлен по оси гироскопа, т. е.
будет 0 = lгян Напомним, что вообще когда тело, имеющее неподвижную точку, не вращается вокруг своей главной оси инерции, то зта ось, вектор ет н вектор 0 имеют разные направления (см. Э 15, п. 4), Основное допущение элементарной теории гироскопа состоит в том, что у быстро вращающегося гироскопа Рис. 80. Бти трн направления приближенно считаются совпадаю- щими, т. е. принимается, что в любой момент времени вектор мгновенной угловой скорости и вектор кинетического момента 0 направлены по осн гироскопа н при этом 0 =люг (3~) Сделанное допущенне позволяет судить о перемещении оси гироскопа по изменению направления вектора О, используя для этого теорему об изменении кинетического момента в истолковании Резаля. Согласно втой теореме (33) где М есть главный момент относительно неподвижной точки О всех действующих на гироскоп внешних сил. Если конец вектора 0 обозначить буквой В (рис.
81), то величину, стоящую в левой части равенства (33), можно (считая масштабный коэффициент равным единице) РассматРивать как скоРость Ов точки В, н тогда это Равенство примет вид ОВ=М (34) Таким образом, скорость конца вектора кинетического момента равна численно и по направлению главному моменту внешних снл (теорема Резала). В элементарной теории вектор 0 считается все время направленным по оси гироскопа. Следовательно, точка В всегда совпадает с точкой оси гнроскопа, отстоящей от неподвижной точки О на расстоянии ОВ=О. Поэтому, Ъбъединяя теорему Резала с основным допущением элементарной теорни гироскопа, будем в даль- 217 СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА — ПУАССОНА 5!й нейшем равенство (34) истолковывать следующим образом; скорость точки В оси гироскопа, отстоящей от неподвижной точки О на расстоянии ОВ= О=эти имеет в любой момент скорость, равную численно и по направлению главному моменту М внешних сил относительно центра О.
Рассмотрим теперь, что произойдет с уравновешенным гироскопом, если на его ось начнет действовать сила Р (рис. 81), момент которой относительно неподвижной точки О равен М (или пара с моментом М, направленным перпендикулярно к оси гироскопа). Согласно равенству (34) точка В оси получит при этом скорость рв — — М и отклонится за малый промежуток времени Ы на угол Слф, двигаясь в плоскости, перпендикулярной к вектору Р. Следова- гу тельно, под действием силы Р ось гиро- йф скопа начнет отклоняться нв в сто- Ф/ рону действия силы, а в ту сторону, куда направлен вектор момента М этой силы относительно неподвижной точки О (т.
е. перпендикулярно к силе), В этом проявляется одно из интересных р свойств быстро вращающегося гироскопа, Пусть теперь в некоторый момент времени действие силы еч прекращается. В обычных условиях точка (или тело) с прекращением действия силы продолжает Рнс. 31. двигаться по инерции. Для оси же гироскопа при Р=О мы получим М=О, а следовательно, и оэ=О, т. е.
с прекраилением действия силы отклонение оси гироскопа прекраилается. В атолл состоит второе интересное свойство гироскопа (безынерционность движения его оси). Пользуясь этими результатами, рассмотрим сначала, какое действие на гироскоп оказывает мгновенная сила (илн удар), т. е. большая по численной величине сила гт, действующая в течение столь малого промежутка времени т, что ее импульс ст есть величина конечная (см. гл.
1711). Пусть на гироскоп подействовала мгновенная сила Р (см. рис. 81), момент которой относительно неподвижной точки равен М, причем численно М= ИР. Тогда. согласно уравнению (34), ов —— ИР и точка В за время т переместится на расстояние ВВ'=ИГт; а так как ОВ=О=.Аан то ось гироскопа за время т повернется на угол Лф определяемый равенством Лф= — = —. ВВ' Игт Ов /ы, (35) Поскольку произведение Ирт, как было указано, — величина конечная, а собственный момент гироскопа Лол является величиной очень ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. !Ч большой, то угол Ь1р будет очень мал (тем меньше, чем больше .Ао,). По истечении же промежутка времени т действие силы гч прекращается, а следовательно, как было установлено, прекратится и отклонение оси.
В результате прихолим к выволу, что действие мгновенной силы практически не изменяет направления оси бысто вращающегося уравновешенного гироскопа (примером может служить кубарь), Следовательно, быстро вращающийся гироскоп обладает устойчивостью по отношению к сохранению направления его оси. Это — одно из важ- С ных свойств гироскопа, широко испольл зуемое в технике.
Перейдем теперь к рассмотрению 8 движения гироскопа под действием сил. Ю Пусть главный момент этих сил отио- У З сительно неподвижной точки О нзобраю»с жается вектором М, перпендикулярным к оси собственного вращения я гироскопа '). Тогда точка В оси л (рис. 82) 0 будет двигаться со скоростью пл — М, ,Зу а сама ось поворачиваться вокруг неподвижной точки О, Поскольку нутацией в элементарной теории пренебрегают, то движение оси около точки О Рис. 82. представляет собой прецессню, т.
е. вращение вокруг некоторой неподвижной осн ь с угловой скоростью шл Очевидно, что скорость лл связана с ш, соотношением пл — — шх Х Охг или, поскольку ОВ= гх=Уен ~о пл —— вхт )г,' Уег В РезУльтате пРиходим к следУющемУ основномУ равенству, связывающему величины М и шя: 1(ш, Х ш,) = М. (36) Собственный кинетический момент Л», считается величиной заданной. Поэтому уравнение (36) позволяет. зная М(Г), определить ш, т.
е. прецессию, вызываемую этим моментом, и наоборот, зная ш, определить, каков момент М, под действием которого эта прецессии происходит. рассмотрим сначала решение первой из названных задач, Из уравнения (36) видно, что вектор М в любой момент времени направлен перпендикулярно к плоскости яОь, т. е. по линии узлов Од (см. ') Вели вектор М ие перпендикулярен к осн л, то составляющая М вдоль етой осн вызовет ускорение или замедление собственного вращения, н тогда надо будет лишь в получаемых результатах считать в, величиной переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
