1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Координата е оказалась циклической; следовательно, имеем первый интеграл р, =а; (а) это интеграл плошадей. Кроме того, поскольку Н не зависит явно от Г, имеет еше место интеграл энергий рэ') — (р + — ) — (7(г) Ь 2т '( г г' ) (б) илн ( ~ 2 а21 — (р + — ) — (7(г) = Ь. 2ш ( г гт) (б') т. е., учитывая, что РЭ а, Фг р, гар а (в) аг т ' нг тгт Из первого уравнения, поскольку зависимость р, (г) деется равенством (б'), найдем г(г); после этого из второго уравнения определяется зависимость Ч> (2).
Если уравнения (в) поделить почленно и заменить одновременно рг его выражением рг(г) из равенства (б'), то получим дифференциальное уравнение траектории сг г'р, (г) а1Р а Следовательно, здесь ре сопш, а рг есть функция только г. Поскольку найдено два первмх интеграла, решение задачи сводится к интегрированию только двух дифференциальных уравнений первого порядка (вместо четырех), например дг дН др дН вЂ” — н и др, д( Ор, 238 кАнОнические уРАВнения дВижения системы [Гл, ч ф 22.
Метод Якоби 1. Некоторые сведения нз теории уравнений в частных производнык первого порядка. Общий вид уравнения в частных производных первого порядка есгь Р(х,,.... х„; г; рн..., р„)=0, д» где р, = —. Функция дх[ ' г=г(хо ..., х„; аи ..., а„), уловлетворяющая уравнению (1) и зависящая от стольких неаддитивных произвольных постоянных, сколько уравнение содержит яезависнмых переменных, называется полным интегралом уравнения (1).
Если функция Р не содержит явно г, т. е. уравнение в частных производных имеет вид Р(хи ..., х„; рн ..„Р„)=0, (2) то одна из произвольных постоянных будет аддитивной, т. е. будет входить в общий интеграл в качестве слагаемого; следовательно, полный интеграл уравнений (2) будет иметь вид г =г(хн ..., х„; ан ..., а„,)+а„. Если уравнение в частных производных будет вида Р(х».»[, ..., х„; рц ..., Р»,..., Р„)=0, (3) т.
е. часть независимых переменных, в данном случае первые й из них; хо ха, ..., х» (й (л), будут входить в функцию Р не явно, а только посредством чзстпых производных р,, рж ..., р„, то число независимых переменных уравнения (3) можно слелать равным (а — й), т. е. понизить па й единиц, В самом деле, полагая г=а,х,+ ... +а»х»+ь(х»„[, ..., х„), дифферен[[ированием находим д1 дь Р[=а[ Р»=а», Р»+' д ' ''' Р" д и, следовательно. уравнение (3) примет вид дс дс 1 дха ) Очевидно, уравнение (4) имеет п — а независимых переменных.
Полнын интеграл этого уравнения напишется в виде ~= — [,(х +,, х„; а,, ..., а», .а„+н ..., а„,)+а„ МВТОД ЯКОБИ и, следовательно, представляется следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений: 0х, дх др, Р, ''' Р„Х, ''' Ха (5) где Р= —, Х= —. дР дР дрс С вЂ” дх, ' 2. Уравнение Якоби.
Каноническую систему уравнений движения [(13) э 21] длс дН дг др,' дрс дН вЂ” — — (с = 1, 2...., л) (6) д» можно представить дссс дН др, в виде стйл др~ дрл дН дН ''' дН 1 дРп д2с дяп Сравнивая эту систему уравнений с уравнениями характеристик (5), легко убедиться, что каноническую систему уравнений можно рассматривать как уравнения характеристик следующего уравнения в частных производных первого порядка: дй дй д8 .
— +Н~~дс, .... д; —, ..., —; 1)=6. дс '1 ' ' '' "' дас ' дал (7) где неизвестная функция обозначена через о. Это уравнение называется уравнением Якоби, Во многих случаях оказывается проще найти полный интеграл этого уравнения. а затем, опираясь на теорему Якоби, и самые интегралы канонической системы (6), чем непосредственно интегрировать эту систему уравнений, Вообще же интегрирование уравнения Якоби не представляет упрощения задачи, так как эта задача, как известно. сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5), которые для уравнения Якоби (7) представляют собой ту же систему (6).
Неизвестная функция Я называется главной функцией Гаиильглона; с ней мы встретимся еще в главе о вариационных принципах. Очевидно, сус, с7„..., с7„; 1 будут независимыми перейенпыми лля функции 8 и, следовательно, полный интеграл уравнения (7) будет х=асхс+ ... +а ха+ +ь(ха, с, ..., х„; ас, ..., а„; а +с, ..., а„,)+а„.
Наконец, напомним, что уравнения характеристик для уравнения Р(хо ..., х„; ро ..., р„)=0 240 кАнОнические уРАВнения ДВижения системы 1гл, ч содержать и+1 произвольных постоянных, из которых одна, поскольку функция о явно не входит в уравнение Якоби, будет аддитивной. Следовательно. полный интеграл уравнения Якоби будет иметь вид О=Я(1; ди ... д„; аи ..., а„)+а ~Р (8) 3. Теорема Якоби. Предположим, что полный интеграл (8) урав- нению Якоби найден.
Возьмем уравнения 9 — =ди — = Р; (1=1, 2, ..., и), дЛ д8 (9) а ' д», где д~ суть произвольные постоянные. Теорема Якоби состоит в том, что если известен полный интеграл уравнения Якоби д8-(-н~д, д; г) =О, т. е. найдена функция 3(7Н дм ..,. д„; С; ац а,, ..., а„)+ах~И тождественно удовлетворяющая уравнению (7), то уравнения (9) будут интегралами канонической системы уравнений (6). Таким образом, согласно теореме Якоби, переменные дн рн определенные из уравнений (9) в функции времени г, и 2и произвольных постоянных ан ..., а„; дн ..., д„будут тождественно удовлетворять каноническим уравнениям движения (6). В этом можно убедиться непосредственной подстановкой найденных нз уравнений (9) значений переменных д, р в канонические уравнения движения (6); проще, однако, сделать обратное, т.
е. показать, что функции л. р, определенные из канонических уравнений движения, тождественно удовлетворяют уравнениям (9). Дифференцируя первые и уравнений (9) по времени С, получим и уравнений вида д1а ъз д25 д дг + ~д ~ — д — д~ —— О (1 = 1, 2, ..., л). ь у Заменяя в левой части полученных равенств йд нх выражениями из дН канонических уравнений, т. е. через — , получим др д'Л ч д~Б дй — +'», — =о. да~ дт да да др 1=~ Докажем, что полученное уравнение есть тождество, если переменные, входящие в функцию Н.
заменить их значениями из уравнений (9). метод якози Выполняя эту замену, получим дз дл; дГ за~~ г дЭ т да дй (10) '1 Ч,) Но левая часть этого равенства есть частная производная по а, от левой части уравнения Якоби (7), в котором функция 8 заменена через полный интеграл 8, т. е. равна а потому тождественно равна нулю; следовательно, равенство (10) есть тождество„что и требовалось доказать.
Аналогичные рассуждения применим для доказательства того же положения относительно второй группы уравнений (9). Дифференцируя по 1 уравнения второй группы (9), будем иметь да5 жт да5 — + у, 9,— р,=о (1=1, 9...,, да!де 24 дя,дл т =! Заменяя д и р их выражениями из канонических уравнений, получим дВ 'кч д71* дгБ дН вЂ” +~~~ — + — =0. да;дт ''а р дй дд дй 1 Покажем, что полученное равенство обращается в тождество, если переменные, входящие в функцию Н, заменить их значениями из уравнений (9).
Выполняя эту замену, получим и д29 до ч~ч дН д'У АЖ да л~~~ ~д,у~ дд д» ~ду,. ~ (11) Левая часть равенства (11) есть частная производная по д, от левой части уравнения Якоби (7), в котором функция 3 заменена через полный интеграл 8, т. е, эта левая часть равна а потому тождественно равна нулю; следовательно, равенство (11) есть тождество. Таким образом, если полный интеграл (В) уравнения Якоби известен, то по теореме Якоби канонические переменные д,, р, определяются как функции времени г и 2и произвольных постоянных ап...,а„; Ьп ..., д„из уравнений (9), представляющих собой по отношению к д, и р; систему алгебраических уравнений. 4. Случай, когда О явно от времени ие зависят.
Этот случай встречается в большинстве практических вопросов. Пусть гт =Н(ч1 ° ° ° Ч ' р1 ° ° р ) Уравнение Якоби будет иметь вид дг +Н(о ° ° ° оа' д, ° ° ' д, ) =6 д5 д5 д5 (12) Поскольку 1 в уравнение явно не входит, то число независимых пе- ременных можно уменьшить на единицу, Для этого, согласно п. 1, положим 8= — лг+)Р'(дп ..., д„), где Л есть постоянная. Функция )Р', с которой мы еще встретимся в главе о вариационных принципах, называется характеристической функцией. Так как д5 д5 дга' — = — Ь и дг д» д» (1=1, 2, ..., и), то, подставляя в уравнение Якоби вместо 8 и ее производных эти значения, получаем для определения функции Гд' уравнение (16) не содержащее переменной 1.
Предположим, что полный интеграл уравнения (13), имеющий вид 1Р'=%'(дп ..., д„: ан .... а„,; Ь)+и„, найден. Тогда полный интеграл уравнения (12) будет Ю= — йг+%'(дп ..., д„; а„..., а„б Ь)+па. Отсюда легко получить систему (9) интегралов канонических уравд5 д)У' д5 дП' пений; принимая во внимание, что — = —, — = —, будем иметь да да ' да да — =д (1=1, 2, ..., и — 1), д1Р" дан — =рг (1=1 2 ° ° ° ") два да, д5 дй' — 1+ л =го дв дл (14) (16) дтд' или — = 1-+ ге, дл (16) 242 ЕАнонические уРАВнения дВИЖенИя системы [Гл.
ч 243 митод якови (Г = — т(;х, Т = — (хе+ уз+ хг), 2 Дифференцируя Т по х, у, х, получаем выражения для импульсов р„=тх, р =ту, Рг= тх; отсюда находим Рт у= т х=— т Следовательно, функция Гамильтона Н = Т вЂ” У будет иметь вил Н = — (р~ -1- р ~+ р ~)+ тйх. Заменяя в функции Н импульсы частными производными от характеристической функции В' по соответствующим координатам и приравнивал полученное выражение постоянной Л, получим следующее уравнение Якоби для определения функции Ю': (а) Здесь дзе координаты х и у циклические, а потому, полагая %' = ах + РУ + Т' (х) н подставляя в уравнение (а), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка а'+Рз+1 — ) +2т'дх=2тл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
