1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пусть имеем систему !!Г материальных точек, координаты которых обозначим через $г, ва...., $ам. Герц вводит понятие о траектории диФФепенпилльные ппинпипы е 251 25Р системы, определяя ее как кривую в пространстве 35Г измерений„ злсмент дуги которой равен Ю эя эх где зи и Г вм э=э т=! — 2 Л4 назыпаетсЯ массой системы, а величина — = тиха — скоРостью дг Ь системы. Известно, что кривизна д кривой в трехмерном пространстве определяется равенством э 1 ~ ( Лэл~ )Э обобщая зту формулу на ЗДГ-мерное пространство, получим ЭА 1'14) Возьмем выражение гауссова принуждения (4') при отсутствии активных сил; имеем (15) Так как дх~ - гэх~ ° ах,- х,= — г, х = — г+ — 'г, и'г ' ' и'гэ пг то, возводя х, в квадрат, получим Подставляя полученное выражение в равенство (15), нзходнм 2Дю= ~~~~ ( —,') гэ+ ~~у ~ — ') гэ+2 )~~ — ' —,' гэг.
(16) э Но нз равенства 113) следует, что Х( — ".".')'= ' ~) Множитель лг, как постоянный, в выражении Дта опускаем. (гл. че вдяилционныз пгинципы механики откуда, дифференцируя по з, имеем Х йх( игхг =о. йз йзг Принимая это во внимание, получим из равенства (1б) 23ю = (ггзг+ вг Так как активные силы отсутствуют, то при склерономных связях Т = — ~ т,~, = — М ~ х, = — Мз = сопз(; следовательно, з = сопз(, и поэтому 2бчо = йэвь. По принципу Гаусса для истинного движения ()го есть минимум, но так как на основании равенства (17) в=сонэ(, то й должно иметь минимум, Отсюда вытекает принцип прнмгйшвго пути: для механической сивтвми, подчиненной склврономным связям и свободной от действия сил, истинное двггжсние происходит с постоннной скоростью, причем траектория системы имеет наименьшую кривизну по сравнению со всеми другими траекториями, допускаемыми связями.
ф 26. Интегральные принципы 1. Замечания о варьировании. Пусть точка имеет одну степень свободы и положение ее определяется координатой ч =у(г). Дифференцируя это равенство по времени, получим до= г'(г)йг. Здесь мы имеем изменение функции д вследствие изменения самого аргумента, т. е. времени; дифференциал координаты соответствует поэтому ее изменению вследствие действительного движения (рис. 88). Изменим теперь вид самой функции о=у" (г) и положим р = у" (г) + ет( (г), где е есть произвольно малое постоянное число, а т((Г) — произвольная дифференцируемая функция времени.
В этом случае изменение координаты (( вследствие изменения вида самой функции обозначается 261 интеГРАльные пРинципы 4 661 через Ьд и называется простой или изохронной вариацией (рис. 89); следовательно, будем иметь бд = р — (Г = е6) (1). Докажем, что изохронная вариация и дифференцирование по времени обладают свойством коммутативности, т. е. что — бл=б —, л ~ь7 лг м' (2) В самом деле, дифференцируя равенство (1) по 1, получим Ф - — б(Г = л — о =69, Ж так как, согласно определению изохронной вариации, таким образом, требуемое доказано. Заметим еще, что в случае изохронной вариации бт = О.
Ч Рнс. 88. Рнс. 89. Введем теперь понятие о полной вариации. Полной вариацией будем называть изиенение функции как вслелствие изменения вида функции, так и вследствие иаменения аргумента; полную вариацию д будем обозначать через 669. Изменение аргумента можно ввести сле- дующим образом. Положим 6т= г+ е8 (г), где через 7 обозначен измененный аргумент, а через 8(г) — произволь- ная дифференцнруемая функция. Обозначая изменение аргумента через Лг, т. е. полагая 7 — т = ог, или 666' = е$ (г), будем иметь следующее выражение для полной вариации функции ~у. йу=бр+ дйг, (3) влвихциоиныв пгинципы мгхлиики 1гл, чг 262 т. е, изменение функции Лд состоит из двух частей; первая бд есть изохронная вариация„ вторая д Лг есть изменение функции д вследствие изменения аргумента г на величину Лг.
Эта формула наглядно показана на рис. 89. Докажем, что полная вариация и дифференцирование по Г свойством коммутативностн не обладают. Действительно. дифференцируя равенство (3) по времени, получим — „, Л9=6й+9'Лт+ц '—,, ч - ллг Но для полной вариации функции д будем иметь, согласно равенству (3): Лд = бд+ д Лт.
Подставляя отсюда выражение д Л( в предыдущее равенство, получим — =Лч+Ч Лад Ыдг (4) Из равенства (4) ясно, что — + Л вЂ” и что эти выражения будут лад Лт ж вт е лг равны только в том случае, если — = О. т. е. если вариация лг изохронная. Но для случая д= г между операциями полного варьирования и дифференцирования по времени имеет место свойство коммутативностн. Действительно, из равенств Лт= — 1 — т=еьЯ и ~Й вЂ” г11=еь'(1)Н=ЛН очевидно, что — г = еь' (1) — = ей' (1).
йдг г ЛЛГ откуда имеем 2. Принцип стационармого действия Гамильтона' ). Принцип стационарного действия Гамильтона исторически является более поздним принципом, чем принцип Лагранжа — Мопертюи (см. п. 7). Однако логически целесообразнее изложить сначала принцип Гамильтона, как более общий. ~) Принцип был изложен Гамильтоном в работах 1834 — 1833 гг. для случая стационарных связей. Независимо от него и в более общей форме, охватывающей случай нестацнонаряых связей, принцип был сформулирован в 1848 г.М. В.
Остроградским (см. сборник «Вариационные принципы механики», М., 1959). По указанной причине многие авторы называют зтот принцип принципом Гамильтона — Остроградского. интвгглльныв пгинципы б 2й Умножая левую часть каждого из уравнений (5) на Ь>7! и складывая, получим (6) Учитывая соотношение (2), найдем, что подставляя зто выражение в равенство (6), будем иметь л л ! ! 2=! (7) Чтобы выяснить смысл принципа Гамильтона, обратимся опять к интерпретации движении в многомерном пространстве. Пусть в момент г = гб система характеризуется точкой А многомерного пространства, а в момент 1 = ~! †точк В.
Следовательно. за промежуток времени г! †>б система под действием сил перейдет из конфигурации А в конфигурацию В. Пусть траекторией движения системы будет кривая АВ (рис. 90). Кинематически возможны и другие траектории, например АиВ и т. п., по которым система за тот же промежуток времени г! — 1б может перейти из положения А в положение В.
Траектории АаВ называются траекториями сравнения (или окольными путями), а траекторию АВ называют еще прямым путем. Все траектории сравнения должны допускаться саввами и проходить через фиксированные точки А н В, Движения по траекториям сравнения, со- Рис. 00. вершаюшиеса за тот же промежуток времени 1! — Сб, называются возможными или кинематически допустимыми движениями. Сущность принципа Гамильтона состоит в том. что ои дает критерий, иа основании которого мы в состоянии среди всех кинематически допустимых движений указать истинное движение или среди всех траекторий сравнения определить ту, по которой действительно будет происходить движение системы между конфигурациями А и В.
Покажем теперь, как из уравнений движения Лагранжа можно получить выражение принципа Гамильтона. Возьмем уравнения лвиження для голономной системы с л степенамн свободы, находящейся под действием потенциальных сил; имеем ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ 1гл. ч! Так как 7.=7.(!7, !7', г), то я ~~»1~ ~. (н7!+ — 6 !)=М.; 1=1 поэтому равенство (7) принимает вид А й'» фдад,.) =б(.йс. ! .! (8) (О) или, таи как вариация изохронная, ь ~(.йг=о.
(10) Интеграл (11) н принято называть действием по Гамильтону; следовательно, равенство (10) можно представить в виде: бВ= О, (10') Равенства (10) или (10') являются математическим выражением принципа Гамильтона, который формулируется так: действительное движение системы между двумя заданными конфигурациями отличается от кинематически возможкык движений, совертаемык между теми же конфигурациями и в тот же самый нромежуток времени, тем, что для действительного (истинного) движения вариация действия но Гамильтону равна нулю; или, Возьмем от обеих частей этого равенства определенные интегралы в пределах от г=ср до г= ги где гз — момент времени, в который система находится в конфигурации А, а С! — момент, когда она приходит в конфигурацию В; получим ~~(мчЦ = (ча.
и Так как точки А и В фиксированы (см. рис. 90), то 167!], =0 и [б!7.1 = О. Следовательно, для истинного двингения системы между юс, двумя конфигурациями А и В мы имеем ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ 1.= Т-+У, тле Т+У есть разность между кинетической и потенциальной энер- гиями системы, и выражение принципа Гамильтона имеет вил с, (12) или (12') Равенству (1О), выражающему принцип Гамильтона, можно прилать другой вил, введя в него функцию Гамильтона Н". Так как и Н*= — 1.-+,~,—,~, де дьг, (13) то, определяя отсюда функцию Лагранька ь и подставляя в выраже- ние принципа (10), получим (14) Это выражение принципа, как и (14), имеет место только для системы, находящейся пол действием потенциальных сил. Заметим, наконец, что действие по Гамильтону можно представить в виде о = „~, ::с. с(ь = (Сь ьо) ь- где Ь' есть среднее значение функции Лагранжа в промежутке времени Сь — ге.
Размерность величины 5 есть работа )( время (еднницы измерения в системе СИ кгмЦсек; в технической системе единиц кГм сек). 3. Вывод уравнений движения из принципа Гамильтона. Постулируя принцип Гамильтона как основной, нетрудно получить из него уравнении движения. Имеем выражение принципа Гамильтона: л иными словами, для действительного движения действие по Гамильтону имеет стапионарное значение. галя динамической системы <гл. Рс ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ 266 Развертывая вариацию ЬЕ, получим СаС аа ч ~~~ — "" х — ""~ = С Соы а'С С С а'С С (15) Применяя к членам второй суммы интегрирование по частям и имея в виду свойство коммутативности для изохронной вариации, будем иметь , Ь~,.де= ~ —.— (ЬРс) ЕЕ= дЕ ° Г дЕ ддс ' 1 ддс и со са с, =[д 6%1 — [ д 1 д, )баула — — [ д ~ дЕ)Ьу с(С, с, со — ~ —.) — — =О (1=1, 2, ..., и), аг с дЕ1 дЕ дС (дауС) дсСС т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
