1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ус=О, где у.(а), й; 1. Действие по Гамильтону можно представить через функцию гт' в виде (см. й 26, формула (14)] л л- ( — и'.~. д — "а,)аа. ь КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ или, выражая функцию Н'(Ч, Ч, 1) в канонических переменных и дс учитывая, что —. = Р1 дЧ; 1, и 1( н-на;рр)ри 1, Ъ. Так как для действительного движения р ! ( — и и. а; р,р,) р р = р. (2) то, развертывая вариацию в левой части, получим л 13 ~~( дН дН ОЧ! — ОР1+Ч1ОР1+Р1бЧ ~~ дЧ! дР1 1=1 1р Преобразуя последний член левой части, будем иметь ~ Р1ОЧ1'(1 = 1Р1 ОЧ1)1р ) Р1ОЧ11гг = ~ Р1ОЧ1пг вследствие того, что (ОЧ111 =О и (ОЧ1)! =О.
В результате находим л ~ / Я вЂ” —," — Рг) бЧ, + ( — ~~ + Ч,) ОР,~ ас = О. (З) 1=1 1р В результате мы получили каноническую систему уравнений движения. Отсюда вытекает, что выражение принципа Гамильтона в виде (2) эквивалентно канонической системе уравнений (4). 2. Канонические преобразования. Каноническими преобразованиями называются такие преобразования переменных Ч и р, при которых канонические уравнения движения сохраняют свою форму, т.
е. переходят тоже в канонические уравнения, но вообще с какой-то Коэффициенты при Ьр! в левой части равенства (3) обращаются в пули в силу соотношений (!1) из Э 21. Тогда, поскольку интер- вал интегрирования г! — г произволен и вариации ЬЧ1 независимы, то коэффициенты при них также должны равняться нулю; поэтому окончательно будет дН Ч1 =— дР, (4) ВАРИЛЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ 1гл. Р1 другой функцией Гамильтона Й.
Введем вместо переменных д1 и р1 новые независимые переменные 2,11 и Ри полагая ~1 — ~1(Ч1 ')2 ° ° ' Чл Р1 Р2 ° ° ° ° Рл ) Р1 =~ 1(Ч1 Чг ° ° Чл'* Р1 Рг ° ° Рл' 1) При этом прелполагается, что соотношения (5) разрешимы относительно о1, 121, т. е, что из них можно найти Ч1 =Ч1 Ж %...
Я;, РР Р,, .... Р„; ~). ] (1= 1, 2, ..., л). (5') л2' '' '' (лл' 1 ' 2' '' ° Рл ) Так как каноническая форма уравнений (4) непосредственно вытекает из выражения принципа Гамильтона (2), то для сохранения канонической формы уравнений после преобразования (5) необходимо, чтобы принцип Гамильтона в новых переменных Я и Р сохранна свое выражение, т, с.
чтобы было (6) где ЙЯ, Р; 1) есть некоторая функция новых переменных Я и Р, являющаяся для них функцией Гамильтона. Время здесь при варьировании считается фиксированным„как и в выражении (2). Нетрудно убелиться, что соотношение (6) будет выполняться, если подынтегральные выражения в равенствах (2) и (6) будут различаться на производную по времени от проязвольной функции старых и новых переменных Ъ'(р, д, Р, Я; 1), т. е. если будет л л — Н(д, Р; 1)+ 2' Р11У1 — — — Й(ф.
Р; 1)+ 1~~~РД1 — —. (1) 1=1 1=1 В самом деле, — Ж=[]1],, — [У],, лу Поэтому, какова бы ни была функция У, вариация этого интеграла булет равна нулю, так как при 1=1а и 1=11 функция Ъ' имеет фиксировзнные значения н Ь[Ъ']1 1=Ь[Ъ']1 1=0. Но поскольку для старых переменных имеет место соотношение (2), то при наличии равенства (7) будет выполняться и соотношение (6). Покажем теперь, что, задавая функцию Ъ' произвольно, можно однозначно определить преобразования (5). Заметим предварительно, что поскольку старые и новые переменные связаны соотношениями (5), из которых, по сделанным предположениям, любые две КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ $271 Рассмотрим сначала случай.
когда )г = )г1 (о, ф С). Умножая обе части равенства (7) на й1 и определяя из него величину й)г1, по- лучим и е ~ Р1 йЯ,— ~ р1йг71+(Н вЂ” Й)ов=йг'1(17, Я; Г) = 1=! 1 1 1 1 1=1 Поскольку все переменные считаются независимыми, то, сравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах в правой и левой частях равенства (8), получим Р,= — ' (1=1, 2, ..., и), дР, д01 д1, р1= — -з — - ((= 1, 2...., и), Я1 дУ, Н=Н вЂ” — ', дг. ' (9") (9') (9") Формулы (9) лают возможность найти выражения новых переменных Я н Р через старые д и р при каноническом преобразовании или, другими словаъ1и, найти такое точечное преобразование координат 2и-мерного фазового пространства (о, р) -и.Я.
Р), при котором каноническая система уравнений йй1 дн дР1 да — — — — — (1=1, 2, ..., и) Ш др1 ' дг де1 перехолнт также в каноническую систему — — — — — (1= 1, 2, ..., и). д()1 дй дР1 дН М дР1 ' йг д~,">~ Это преобразование, как видно из формул (9), зависит от выбора произвольной функции )г1(д, Я; г), которая называется производящей ддуикиией. Чтобы найти выражения переменных Я и Р через о и р, нужно сначала из уравнений (9"), т. е.
уравнений Рг — — — ' ' (1=1,2,...,п1 дУ, (е, (); 1) дч1 группы переменных могут быть выражены через две другие (например, р, (е через д, Р и т. д.), то функция г, являющаяся функцией старых и новых переменных. может иметь олин из следующих видов: )г,(д, В д). У,(Р, а; Г), ~; (7, Р; Г), У, (Р, Р; Г). ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ сгл. чс определить С,сс, с,сь ..., я„в функции аргументов ссс, ум ..., сс„; Рн Рю ..., р„; г. После этого, подставив найденные выражения () в уравнения (9'), т.
е. в уравнения опРеделЯем из них Ри Рю ..., Р„в фУнкции тех же аРгУментов с)Р дю ..., у„; РР Рю ..., Р„; с. Наконец, равенство (9™) позволяет найти новую функцию Гамильтона Й 3. Другие формы канонических преобразований. Найдем теперь формулы, определяющие канонические преобразования при других видах проиаводяшей функции. Для этого воспользуемся равенством (8) ,э.;Р,Щс — ~,р,спс+(о — Й)дг=дУс(у, с',с; г).
(8) с с Преобразуем член ~'„,Р,с(ссс, учитывая, что с Х Рс сМс = с( аасй Рсссс Х Чс с(Рс. с с (10) В члене, заключенном справа в квадратные скобки, будем считать все сус выраженными через р,, С,сс посредством соотношений (5), (5') и введем обозначение 1 (су Ф 1)+Х Мс1 =1 с(: ° с с' с) 1 Ч 'Ь СР. ОС где У,— новая производяшая функция.
Тогда будем иметь ~~'"„с Рс асяс + ,'э~ ~дс барс + (и — Й) псг = спга (р, с',с; 1), откуда путем сравнения коэффициентов при одинаковых дифферен- циалах получаются формулы, определяюшие каноническое преобра- аозание, а именно д1сс др, дпс Р,= —, дс;сс ' дР, Й=п — — ' дс (1=1, 2..... л). (11) Полставляя выражение (10) в равенство (8) и перенеся полный дифференциал в правую часть, получим ~Р с)д,+ Ясу, с(р +(Н вЂ” О)с1Г= а ~с,г,<д, СС; Г) + ~~~ р сс 1. с КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Для определения новых координат ье н Р из второй группы уравнений (11) определяем С)(д, р, Г и вставляем в уравнения первой группы, откуда определяем Р(у, р, Г. Преобразования (11) представляют собой иную форму канонических преобразований, отличную от цреобразования (9).
Для получения третьей формы канонических преобразований преобразуем ~~'~ Р~г(ф, представив ее в зиле Р о~ф г1 ~~ ~РЯ ~ ф УРН (12) с Подставляя выражение (12) в равенство (8), получим — ~ ф, дР, — ~.", р, г1д, + (г1 — Й) дг = 1 г = « ~)',(у, В Г) —,'РАО,.Р,. = аЧ,(1, Р; Г). (18) При этом опять предположено, что в правой части все Я, выражены через дн Р,.
Сравнивая коэффициенты цри одинаковых дифференциалах в равенстве (13), получим третью форму канонических пре- образований д1, р~ = — -з — ~ я доз Я = — —. дР ддЬ з уу ).у В д1 (1=1, 2, ..., и). (14) откуда получим дЬ', () з дР Й= уу — '„4 дУ„ я =— др, (1=1, 2, ..., п), (18) где ь,(Р, Р; Г)=Ч,(д, О, Г) —,~ РР,+'У,'р.
Эта форма может быть получена из формы (11) простой перестановкой старых и новых переменных н поэтому не является новой. Если сделать преобразование первого и второго членов левой части равенства (8), представив их в виде ХР,дй=д2РР— 2йдР Хр М=дХРН~ — ХЧ др ° г то. подставляя, эти выражения в равенство (8), получим четвертую форму канонических преобразований. Подстановка дает — ~л(д„.дР, + ~'.Е1, др,+(Н вЂ” Й>а= = Ф ~1,(4, О; 1) —,'~", Р,г~, + Р,Р,.д,1, (18) ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ [Гл. чг причем з правой части все гуг и (Гг считаются выраженными через рг, Р . Итак, в зависимости от выбора производящей функции, мы получаем вышеуказанные четьгре формы канонических преобразований.
3. Пример. Рассмотрим движение материальной точки под действием центральной силы в плоскости Оху (точка Π— центр силы). Беря в качестве обобщенных координат декартовы, т. е. полагая 4, = х, дг = у, цолучим выражения для кинетической и потенциальной энергий Т= ш (ха+уз), 1«=Р( ха+у'). 2 Отсюда р«= тх, рт — — ту н функция Гамильтона 2т ~'«+' УГ+ 1 +У г' (а) Для осуществления перехода к новым (полярным) координатам рассмотрим произзолящую функцию [гз = — (Р, Ргхз + У э+ Р, ага[и - ) . у1 х)' Тогда из первой группы уравнений (14) находим д(а г д[гз У [), = — — = 1«Х'+ У' Г; ()т — — '= аГСГП вЂ” = ЧА (б) др,ци д.,= откуда Р, = гнг.
(г) Далее, умножая обе части первого из равенств (в) на — у, а второго на х и складывая, будем иметь ш (ху — ух) Ре а иэ выражения для О, в равенствах (б) находим ху — ух ху — ух гу ха+ у' г' Следовательно, Р, юг'у. (д) Равенства (б), (г), (д) и дают значения новых канонических переменных в полярных координатах (см. пример в й 21, п.
4). где г н гр — полярные координаты. Из второй группы уравнений (14) получим д[гэ х у . д[гэ у х р„= — — =Р, — — Р, —; р = — — =Рг — +Ра —. (в) дх г гз' " ду г гт' Отсюда, умножая обе части первого равенства на х, з второго на у и складывая полученные выражения почленно, найдем, заменив р„и рт их значениями шх, ту: т (хх+уу) = — '(х'+ у ) или тгг = Р г г КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 235 — 2 2 21 О = 2 Р1 + — 2~ + Р («), (е) Вторая из новых координат, т. е.
()2 — — ф, оказалась циклической. Следова- тельно, имеем сразу первыи интеграл Р, = лэгчр = сонэ1. Кроме того, поскольку О явно от 2 ие зависит, здесь еще имеет место интеграл энергии (см. пример в й 21, п. 4). рассмотренный пример показывает, как путем канонического преобразования можно среди новых координат получить циклические [в старых координатах л, у, как видно из выражения (а), ни одна из координат циклической не являлась). 2й Н. Н. Букгекьп Поскольку производящая функция )гк в данном случае явно от времени не зависит, то, согласно последнему из равенств (14), Й = О. Поэтому, подставляя н формулу (а) значения рл, ру из равенств (в), найдем функцию Гамильтона для новых переменных в виде ГЛАВА СЕДЬМАЯ ТЕОРИЯ УДАРА $ 28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
