1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Выразим координаты точек системы х в функциях п независимых переменных д1, д„..., !у„, которые будут обобщенными координатами системы; тогда Преобразуем уравнение (13) к этим координатам. Имеем бх =~~ — бл! ( =1, 2, ..., 31ч)! 1=1 подставляя эти выражения в уравнение (13), получим, меняя порядок суммирования: Но (1б) дх„дхт дл! дл! го зм зм дхт жт дхт дТ (16) где Т есть кинетическая энергия снсгемы. где Р! есть обобщенный ударный импульс, отнесенный к коорди.нате 21; далее, так как [см. 3 8, и.
1, уравнение (6)1 297 ТЕОРИЯ УДАРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ Подставляя выражения (15) и (16) в уравнение (14), получим (17) Так как вариации (ь7 независимы, то из уравнения (17) имеем Л вЂ”.=Р; (1=1, 2, ..., и). дТ (18) дя~ Уравнения (18) представляют собой уравнения Лагринжа 2-го рода для удара и выражают то обстоятельство, что за время удара конечные приращения обобщенных импульсов равны соответствующим обобщенным ударным импульсам.
Заметим, что уравнения (!8), как и все полученные ранее уравнения рассматриваемой теории удара, являются алгебраическими, а не дифференциальными. Составляются они, как обычные уравнения Лагранжа; при этом обобщенные ударные импульсы Р, можно находить так же, как и обобщенные силы Он т. е. вычисляя элементарную «работу»-ударных импульсов на виртуальных перемещениях системы и определяя в полученном выражении коэффициенты при вариациях соответствующих обобщенных координат.
Простой пример такого расчета дан ниже в 8 30, п. 2. 5 80. Теория удара твердых тел 1. Изменение при ударе угловой скорости твердого тела, имеющего неподвижную точку. Пусть имеем твердое тело, одна точка О которого закреплена неподвижно. Примем точку О за начало осей координат, которые направим вдоль главных осей инерции тела и воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы в форме (4) 9 29. Тогда, используя формулы для проекций кинетического момента Ор на главные оси инерции тела относительно центра О (см.
9 15, и. 1, формулы (3)1, получим из равенства (4) 9 29 следующие уравнения; А ( р, — рз) = ~ вот о'„, У В (д~ — уе) = Х тороп 8'„ т С (г1 — гз) = ~~~~~ тою, Я~~, т где А, В, С суть главные моменты инерции; РР д1 г1 и Рз Чо гз — проекции мгновенной угловой скорости ю в конце и в начале удара; в правых частях уравнений (1) стоят моменты относительно осей координат ударных импульсов активных сил, действующих на [гл.
щг ТЕОРИЯ УЛАРА 298 где з есть момент инерции твердого тела относительно оси вращения, а справа стоит сумма моментов ударных импульсов активных снл относительно той же осн, Моменты ударных импульсов реакций оси в равенство (2) не входят, так как этн моменты равны нулю. Покажем, как этот же результат можно получить с помощью уравнений Лагранжа (18) ф 29. Связи, наложенные на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, при ударе сохраняются, следовательно, указанные уравнения здесь применимы.
Тело имеет одну степень свободы и за обобщенную координату можно принять угол поворота гр. Тогда урзвнепие Лагранжа имеет вид Ь вЂ”. = Р . дв Вычисляя величину Т и ее производную, получим 1,, дт . дт Т = — У <рт; —. = .I «р =./ ьх А —. = У (ю, — ыа) .
2 де де Далее, вычисляя элементарную «работу» приложенных импульсов 8", будем иметь ЬА =~~~~~~ щощ,Я»1бгр, откуда Рч — — ~ апов,й',". ~ » (3) Подставляя все найденные величины в равенство (3), придем к уравнению (2). 3. Действие удара нв твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Центр удара. Пусть твердое тело может вращаться вокруг неподвижной оси, которую примем за ось л прямоугольной системы Охул, связанной с телом. Положение начала и двух других осей оставим пока произвольным.
Если на это твердое тело подействовал ударный импульс активных сил о, то он вызовет ударные импульсы реакций, проходящих через ось. Так как этот случай движения можно рассматривать как движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки А и В, то ударные импульсы реакций оси можно свести к двум импульсам ЯА и Вл, приложенным в точках А и В, лежащих на оси (рнс.
93). Воспользуемся теоре- твердое тело. В эти уравнения не входят моменты импульсов ударных реакций, ибо этн ударные импульсы приложены к началу координат, а потому их моменты относительно осей обращаются в нули, 2. Изменение прн ударе угловой скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной осн, Если твердое тело имеет неподвижную ось, которую примем, например, за ось л, и угловая скорость его вращения в начале удара есть юа, а в конце удара юп то из равенства (1) получим у„~(, — ыа) =,Е~ щощ, $'„.
(2) ТЕОРИЯ УДАРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ Так как о =е Х г, то Ь(г = Д Х т,о, Л Х (т„е Х г,) = у у = Ь (е Х ~'.~~ т г ) = =б(еХ Мгс)=Ье Х Мгс = у О О Рнс. 93. М"с Мус Мво Здесь М есть масса тела, а гс (хс, ус, вс) — радиус-вектор центра масс С; равенство О(е Х Мгс) =гхе Х Му с следует из того, что при ударе величина ЛМгс бесконечно мала и ею можно пренебречь (см.
$ 28, п. 2). Так как б = е(х). то конечное приращение кинетического момента равно Лб = Ле (х). Тогда из формул (1) 9 15, п. 1, учитывая, что в данном случае р = д =О, г =е, следует: ббх = 5РУхк — '~Обуху — '~гаку = — '~е Ухх бб,= — ЛрУ,„— ЛОУ „+Лгх' =+бек' Тогда, проектируя обе части уравнений (4) н (5) на оси координат, получим: б() == — ОеМус=8х+8 +8в, б(;1 ==+Лэ Мх =8 +8 „+8 „, ООх == О =8,+8,+8в,* (5) ЛО, — = — Ье Уе = тоах 8+ тотх 8д+ аотх 8в, Лбу — = — Ое ху, = тот„8+ тоту 8д+ тот„8в, мами об изменении количества движения и кинетического момента.
выведенными в 9 29, пп. 1 и 2. Обозначим проекции ударных импульсов реакций 8д и 8в через 8д, 8ду, 8д„ 8в, 8в, 8в,, а приращение угловой скорости тела за время удара обозначим через Ле. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента дадут уравнения ОД=8+8„+8, (4) Ьб = топ1о 8 + тото 8д+ тото 8в (5) теОРия УДАРА 1ГЛ. Уи Из уравнений (6) и (7) можно определить Лы, Ялх, ЯВ, ЯА, ЯВ и сумму ЯА,+-ЯВ,. Найдем условия, при которых ударные импульсы реакций не возникают или, иначе говоря. удар не передается на ось. Для этого в уравнениях (6) и (7) надо положить Ялх ЯАУ Ялх ЯВк ЯВУ ЯВх Тогда уравнения (6) и (7) перейдут в следующие: Лсч Мус = Я.
О=Я, (8) — Ле/„, = щотх Я вЂ” Лю х'„, = щоп1к Я Лю ххх = п|ов1, Я й (8) покааывает, что (9) Лге Л4ус = Ях Лю Л4хс = О, О=Я„ — Лсз./хк = О, — Лы хтх = О, Лю Ухх = — йЯх (10) Рвс. 94. (в последнем уравнении знак минус стоит потому, что при положительной проекции Я импульс Я вращает тело по ходу часовой стрелки, т.
е. при принятом правом направлении вращения изменение Лгз в данном случае будет отрицзтельно). Из второго уравнении системы (10) следует, что центр масс С тела должен находиться в выбранной плоскости Оуг. Следовательно, приложенный ударный импульс Я должен быть перпендикулярен к плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс те а. Условия ххх=хтк=0 показывают, что ось вращении г должна быть главной осью инерции твердого тела для точки О. Третье из уравнени приложенный ударный импульс Я должен быть перпендикулярен к оси вращения Оя.
Пользуясь произволом в выборе начала и остальных осей подвижной системы, выберем начало в такой точке оси я, чтобы координзтная плоскость Оху прошла через импульс Я, а ось х направим параллельно Я (рис. 94). Тогда Я = О. Обозначим координату точки пересечения линии действия импульса Я с осью у через хй тогда уравнения (8) и (9) примут внд тсоРия удАРА твеРдых тел 301 Первое из уравнений (1О) дает зависимость между проекцией ударного импульса активных сил Я на ось х и приращением угловой скорости, а именно ~х ~~еуМус' Подставляя выражение Я в последнее из уравнений (10), получим Ч 11ФМус азу Р„.
Отсюда имеем расстояние линии действия ударного импульса от осн вращения: (1 1) ус Итак, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то для того, чтобы ударный импульс, подействовавший на тело, не передавался на ось вращения, необходимо выполнение следующих условий: 1) Ось вращения должна быть главной осью инерции тела для одной из своих точек О (главная точка). 2) Приложенный ударный импульс (произвольный по величине) должен лежать в плоскости, перпендикулярной к оси вращения и проходящей через главную точку О. 3) Ударный импульс должен быть перпендикулярен к плоскости, проходящей через центр масс и ось вращения. 4) Точка пересечения Р липни действия ударного импульса с этой (упомянутой в условии 3) плоскостью должна находиться с той же стороны от оси вращения, что и центр масс С, и отстоять от оси вращения на расстоянии Ч.
которое определяется формулой (1!). Определенная таким образом точка Р называется центром удара относительно оси я, Формула (11) имеет такой же вид, как и формула для приведенной длины физического маятника, который получится, если ось вращения г сделать горизонтальной. Отсюда следует, что центр удара может быть найден построением Гюйгенса для нахождения оси кача- ниЯ.
В самом деле, ОбОзначим чеРез Ус момент инеРции тела относительно оси, параллельной г и проходящей через центр масс С; тогда по теореме Гюйгенса = Ус+ Мус ™с+ Мус где 1с есть радиус инерции относительно оси, проходящей через центр масс, и мы получим Мгс+ Мус Гс Ч вЂ” — — — — + Ус' мус му ус отсюда (Ч Ус) Ус=1с 21 н. н. вуьуольц ТЕОРИЯ УДАРА !Гл. ч!! и построение можно выполнить, основываясь на свойстве высоты в прямоугольном треугольнике (рис. 95). Опрелелив лля осн г главную точку О, проводим в плоскости, проходящей через центр масс С, ось у, перпендикулярную к оси л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
