1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Через С проводим ось Сл', параллельную л, и от точки 0 пересечения Сг' с осью у откладываем отрезок ОК = (с, т. е. равный радиусу инерции тела относи- тельно оси Сл'. Соединяем точку О с К 2 и проводим в точке К прямую КР ) ОК до пересечения с осью у в точке Р, ко— 9, С торая и будет центром удара тела отно- сительно оси л. К В частном случае, если центр масс находится иа оси вращения, т. е. лс= = ус = О, формула (11) дает !) = со, т. е. центра удара нет на конечном рас- О р стоянии от оси; поэтому все удары, действующие на тело, будут перелаваться на ось вращения. Так как а этом случае Рнс. 95.
левые части уравнений (6) обращаются в нуль, то уларный импульс о' вызовет равный и противоположный ему суммарный импульс реакций ЗА+од, т. е. удар полностью передается на ось. Это имеет место для уравновешенных вращающихся деталей машин. Все удары передаются полностью на опоры и действуют на них разрушительно. 4. Прямой центральный удар аЧ двух тел (удар шаров). Рассмотс, рим удар двух движущихся поступательно твердых тел при следующих условиях (рис. 96): а) центры масс С, и С, тел лежат на общей Рнс. 96.
нормали а к поверхностям тел в точке улара (такой удар называется центральным; а частности, центральным всегда будет удар двух любых шаров); б) скорости центров масс тел в начале удара направлены параллельно общей нормали к поверхностям тел в точке удара (такой улар называется прямым). Выберем на нормали С,л положительное направление от С, к С н обозначим через о! и оз проекции на нормаль п скоростей центров масс тел в начале улара, а через о,', о' †проекц тех же скоростей в конце удара. Массы тел пусть будут М, и Мм а коэффициент восстановления л. Зная Мц Мм оо оя и л, найдем о,', о,' н действующий на тела при ударе ударный импульс о'. Если рассматривать оба тела как одну механическую систему, то поскольку внешние ударные импульсы на эту систему не действуют, твояия хдлял тввгдых твл количество движения в конце удара должно равняться количеству движения в начале удара.
Отсюда имеем М!о!+ Мгоя™!о!+' Маоз (12) Второе уравнение дает выражение для коэффициента восстановления, который будет равен модулю отношения разностей скоростей тел в конце и в начале удара, т. е. л= ~о — о~ о — о (13) 1я! о!1 ю! п2 Последний результат следует из того, что до удара должно быть о, ) оз (иначе удар не произойдет), а после удара будет оз')~о,' в силу непроницаемости тел. Решая систему уравнений (12), (13), найдем искомые скорости в конце удара о1' и о'. Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, можно найти, составив для одного из тел, например для первого, уравне- ние (2) В 29 в проекции на нормаль п, Получим, учитывая закон равенства действия и противодействия, Я,=М,(о,' — о) и 8 = — Юп где 8! и 82 — проекции импульсов на нормаль и.
Рассмотрим два частных случая: 1) Абсолютно неупругий удар (4=9). В атом случае из уравнений (12), (13), (14) находим М!о! + М2о2 1 2 М+М2 М,М, (15) '= — '=,-Р, (" — ") ! (14) Тела после удара движутся в этом случае с одной и той же скоростью о,'. 2) Абсолютно упругий удар (4=1).
В этом случае уравнения (12), (13), (14) дают ° 2М! !т 2М! 22 +М 1 И (2!1 о2) !+ 2 2М!М2 ~2 ~! М ~ М (о! о2)' 1+ (16) Интересно отметить, что при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом, ТЕОРИЯ УДАРА [Гл. У[г где ю есть угловая скорость маятника в конце удара, а уь — момент инерции маятнкка относи- тельно осй О. Из уравнения (а) имеем уь ~- та' та (б) Для определения и воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
Обозначив мас- су маятника через Л4 и расстояние его цеятра тяжести до оси О через [, получим Рис. 98. -~(У,+таз) ю'= д(М[+ та) (1 — соха); (в) 1 нз уравнения (з) по углу отклонения маятника а определяем аь а затем из уравнения (б) находим скорость о. 2) Влезалков закрепление. Неизменяемая материальная плоская фигура движется в своей плоскости; скорость центра масс С равна э; угловая скорость вращении относительно центра масс равна т Внезапно закрепляем точку А плоской фигуры; найти угловую скорость фигуры и импульсивную реакцию в точке А (рис. 98).
Возьмем начало координат в точке А и оси координат направим так, что ось х будет параллельна скорости т Пусть после удара (т. е. после В частном случае, когда М, = М,, из уравнений (16) находим и,'=и,, и,'= им т. е. тела одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями. При решении этой задачи, как и предыдущих, мы ие исследовали деформаций, возникающих в месте удара тел, а упругие свойства тел прн ударе характеризовали одним эмпирическим коэффициентом к, что существенно упрощает все исследование. Рассмотрение удара твердых тел с учетом их деформаций оказывается задачей гораздо более сложной.
Решение ее для случая соударения двух упругих тел дано Г. Герцем. 5. Примеры. 1). Баллистический маятник. Для определения скорости пули или артиллерийского снаряда можно пользоватьсн баллистическим маятником (йоши, 1742 г.), который представляет собой подвешенный на горизон- тальной оси ящик, наполненный мягким, но вязким О веществом (напрнмер, песком или глиной), поглощающим энергию попадающего в него снаряда [х. (рис. 97). Пусть снаряд с массой т летит со скоростью и н попадает в точку А, после чего а маятник вследствие удара отклоняется на угол а.
Если рассматривать снаряд и маятник как одну механическую систему, то действующими на нее внешними ударными импульсами будут только ударные реакции оси О, момент которых отно- А сительно этой оси равен нулю. Следовательно, т кинетический момент системы относительно рс.№ ис. той же оси за время удзра не изменяется, т.
е. тва = (за+ та') ьх (а) ТЕОРИЯ УДАРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ закрепления точки А) угловая скорость фигуры будет и,; тогда УС(е — е)=етою ЯА= — хЗ„+у5 (а) где Ю есть импульсивная реакция в точке А, а х, у — координаты точки С. А Ударный импульс 8 определим из того соображения, что А где (Г есть количество движения фигуры, равное, как известно, количеству движения центра масс, в котором сосредоточена масса всей системы, т. е. ДЕ= М бес. Так кач после удара е = е )( АС, а до удара е = е, то Ле =е ХАС вЂ” и; с отсюда 5 =М( — уе — е), 5 =Мхе. Ак ' 1 ' Ау Г Подставляя зги выражения в уравнение (а), получим у (е — е)= — Ме,(х'+у') — Меу, откуда х-кчу,— л( у /-к( ~-г) ГЛАВА ВОСЬМАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В 3!.
Измерение и размерность механических величин 1. Измерение. Результат сравнения какой-либо величины с другой, ей однородной и принятой за единицу сравнения, выраженный числом, называется измерением этой величины; величина, принятая за единицу сравнения, называется единицей меры, а число, получившееся от измерения, — численным значением измеренной величины. Обозначая измеряемую величину символом ьг, единицу меры — через д и численное значение величины О через х, имеем ьг=хд или к=в Д Таким образом, численное значение какой-либо величины есть отвлеченное число, выражающее отношение этой величины к выбранной единице меры.
Если за единицу меры взять другую величину д', причем л'= ля, то численное значение величины О станет, очевидно, иным и равным О х'= —,. ч При этом, как легко видеть, величины х' и х связаны соотношением х х = —. а' Следовательно, новое численное значение равно прежнему, разделенному на число, равное отношению новой единицы меры к прежней. 2, Единицы меры. Для каждой физической величины за единицу меры может быть принята любая однородная ей величина, но ввиду того, что между различными физическими величинами существуют соотношения, устанавливаемые физическими законами или самим определением этих величин, достаточно установить единицы меры только для таких величин, которые являются между собой независимымн, т. е.
ие связаны межлу собой каким-либо соотношением; тогда $3Ц ИЗМЕРЕНИЕ И РАЗМЕРНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 307 единицы меры для остальных величин Определятся через единицы меры этих независимых величин, которые называются основными единицами. Действителы<о, пусть какая-либо величина Х зависит от других величин Я, й, Я, ...; тогда она будет пропорциональна произведению различных степеней этих величин '), т. е, л.га)ТВУ (2) где я — коэффициент пропорциональности. Но так как 11 = хл, Я = рг, Я=па, где х, р, О, ...
суть численные значения, д, г, г, ...— единицы меры для величин (1, Й, Я, ..., то Х = (х рзот ...) йт1агззт... Полагая л = 1, получим, что численное значение величины Х, т. е. а, будет $=х'рвот ..., а единица меры для Х, т. е. х, определится равенством х = ,агзз» ... (4) н будет, следовательно, выражаться через единицы меры для величин 9, 1с. Я, .... В более общем случае зависимость Х от 9, й, Я,... может быть выражена в виде многочлена, представляющего собой сумму членов типа (2), причем, очевидно, единица меры каждого члена должна быть та же, что и для величины Х, т.
е. этот много- член должен быть однородным относительно основных единиц. 3. йчеханнчеснне величины. В механике встречаются величины трех видов: геометрические, кинематические и динамические (или кинетические). Геометрической величиной называется величина, пропорциональная произведению нескольких длин, т. е. величина вида 'а1 ~~'1 т ' ' ' ~л' Если за единицу длины выбрать длину 1, то будет Ц=Л,1, Л,=ЛТ1, ..., Лл=Лл1; тогда, полагая л = 1, получим О,=Л,Л, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
