1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Кроме абсолютной можно построить различные другие системы основных единиц, выбирая в качестве основных единиц единицы меры для трех каких-либо независимых между собой механических величин. Найдем условие, необходимое и достаточное для того, чтобы три механические величины «;71, Яг, «эз были между собой независимы. Пусть размерности этих величин в абсолютной системе будут 1«),1 = 1.а ТВ Л4У, (23) »в авуав»4 у» Тогда единицы меРы «71, «71, «7з длЯ этих величин выРазатса чеРез 1, 1, лг в виде чзц ИзмеРение и РлзмеРность мехАнических Величин 818 определитель, составленный из показателей размерности этих величии, был отличен от нуля (причем размерность может считаться относительно любой системы основных единиц).
с. Переход от одной системы основных единиц к другой. Пусть в системе основных единиц 1, г. лг единицей меры какой-либо величины сс является Г = 1асьвгс (26) Чтобы найти единицу меры (или размерность) той же величины сс в каких-то других основных единицах дн дг, дг, нужно из уравнений системы (24) выразить единицы 1, Г, лг в новых основных единицах 171, дг, д и подставить эти значения в равенство (26). Допустим, что, разрешая систему (24). мы получаем 1 = ч, 41 чч асч Г = чг 1711'17й'4з" лг = ч, ф д"' ф.
Подставляя эти значения в (26), найдем, что единицей меры величины сс в новой системе основных единиц будет г' = ч чае +Ое~+сЬ дач~+Очсссть 4аг,+Оегссг1 1 г з (27) При этом надлежащим выбором единиц можно всегда сделать э= 1. В качестве примера возьмем за систему основных единиц единицы длины, времени и силы, т. е. 0 Г, 7. Выражения этих новых основных единиц через единицы 1, Г, лг будут 1 — 1галча 1огщо г = и-'ш.
(28) Такая система упогребляется столь же часто, как и абсолютная. и называется технической или практической (см, ч. 1, 9 14, и. 8). Основные единицы этой системы независимы, так как 1 0 0 0 1 0 =1~0. 1 — 2 1 т=угГ (29) Разрешая уравнения (28) относительно 0 Г, л1, получаем для перехода от абсолютной системы к технической соотношения 1гл. чи! РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ 314 Таким образом, например, если единицей меры энергии Е в абсолютной системе 1, г, т является (30) е=1г т, то в технической системе 1, г, у этой единицей будет е' = Й ау!те ' =1у. (3! ) Рассмотрим теперь другой пример.
Возьмем за основные единицы единицы скорости, ускорения и силы О, м2, у'. Выражения этих единиц через единицы 1, Г, т имеют вид О=11 т, те=1! т, у'=1Г т. (32) Так как 1 — 1 О + О. 1 — 2 0 1 — 2 1 го эти величины независимы, а следовательно, такая система основных единиц возможна. Формулы перехода от единиц измерения в абсолютной системе к единицам измерения в системе О, те, У найдутся из уравнений (32) в виде Ч2 1= —, 2Р Полставляя, например, эти значения в равенство (30), найдем, что единицей измерения энергии в системе 22. Те, г будет Р42е2У Я2~в~гв 8. Метод нулевых размерностей.
Метод нулевых размерностей основан на теореме однородности (п. б) и может с большим успехом применяться для определения характера зависимости какой-либо физической величины от других величин, ее обусловливающих. Посреаством этого метода можно частично, а в некоторых случаях и вполне, установить закон, дающий связь между величинами с точностью до безразмерного (отвлеченного) коэффициента, который может быть определен или теоретически. или экспериментальным путем.
Пусть некоторая величина 2',2 зависит от ряда других величин ('„2!. 1;!2, ..., Я„и некоторых безразмерных величин ин к2, ..., и пусть единицы меры для этих величин будут соответственно Ч и Чь Ча, ..., Ч„; тогда единица меры Ч будет зависеть от Ч2, Ч2, ..., Ч„им!,ит, ..., т. е. Ч У(Ч! Ч2 ЧЗ' Чл и! И2 ' ') (34) Выберем из величин ЧР Ч,, ..., Ч„три какие-либо независимые между собой величины, удовлетворяющие условию (25), напри- $ зц измеРение и РАзмеРность мехАнических Величин 315 мер д„с12, дз, и примем их за основные единицы новой системы; тогда остальные величины д, (14, да, ..., д„будут производными в этой новой системе единиц и выразятся через основные единицы д1, дг, Уз.
ПУсть РазмеРность величины Я в новой системе будет (()) — '41 Я2 1)З Принимая во внимание, что уравнение (34) должно обладать тройной однородностью относительно д1, дг, дз (п. 5) и заменяя в (34) и1, дг, ..., д, отношениями этих величин к их единицам меры в новой системе а1, дг, да, бУдем иметь д=д1,д,й~~Г(1, 1, 1, дз, 2)4, ..., ф; м1. к,, ...), (35) о где д1 обозначает безразмерную величину, равную отношению дг к ее единице меры, выраженной через д1, ~уг; дз, причем, очевидно, а Й = 112 = 11з = 1 ° Таким путем, величина д (или (;г) может быть представлена в виде произведения некоторых степеней величин д1, 1)„чз (или 1с1 1чг 1чз) на безразмерный коэффициент Р, зависящий от безразмерных аргументов, благодаря чему структура данной величины становится более определенной.
Этот метод точно так же применяется и в том случае, когда в ряде величин а1, дг, .... а„ имеются только две, между собой независимые, или даже одна, которые можно выбрать за основные и череа них выразить все остальные, 9. Примеры. 1) Математический маятник. Периол колебания математического маятника может зависеть только от его длины 1, массы и, ускорения силы тяжести а" и начального угла отклоне- НИЯ 1Ре, т.
Е. Т„= у (1, т, й. гре) Здесь 4Ре — величина безРазмеРнаЯ, а РазмеРности остальных величин в абсолютной системе 1., Т, М будут (1) = 4„1лс) = М, (й') = 1.Т Эти величины, как легко видеть, удовлетворяют условию (25) и, следовательно, между собой независимы. Возьмем за основные единицы новой системы 1, т, д. Так как размерность Т„в системе 1., Т, М есть (Т„) =Т, то в системе 1, т, е размерность Т„будет 1 1 (Т) 1гь 3 ~/1 [гл. уп! РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ 3!6 следовательно, Т„= ~ — Р [[, [, [, ф,) Т„= Р [фа) У' —, с г l К б где р [фа) есть безразмерный коэффициент, который зависит от сре и. как известно [см. ч.
!, Э 38, п. 5), равен 4К. Для малых колебаний, УчитываЯ из сообРажений симметРии, что г" ( — сРе)=Р(суе), т. е. что с'(~рв) — функция четная и считая ее при этом регулярной, можно положить р (фе) = а+ Иег+ у4+ Пренебрегая здесь членами с а' и выше, получим с [грз) ж а=сопзй как известно, из решения соответствующей задачи а=2п. 2) Движение вязкой жидкости в трубе круглого сечения.
При движении вязкой жидкости в ней возникают силы «внутреннего трения», т. е. силы, противодействующие относительному перемещению смежных слоев. Если взять в жидкости два соседних слоя, то эта сила, отнесенная к единице площади, будет, как показывает опыт, пропорциональна разности до скоростей частиц жидкости в соседних слоях, отнесенной к расстоянию ди между слоями, т. е. до т=р —. дл Коэффициент пропорциональности р„зависящий от природы и состояния жидкости, называется коэффициентолг вязкости.
Размерность [г в абсолютной системе ЕТМ определится нз уравнения 'ЬТ Е 1Т М=[р]— откупа [Р[ = ~-'Т-'М. А[ля жидкости, текущей по горизонтальной трубе круглого сечения, величина давления р в каком-нибудь сечении трубы зависит от диаметра трубы сл, средней скорости ~'. плотности жидкости р и коэффициента вязкости р, т. е. р=у[В, ), р, р). Размерности этих величин в абсолютной системе ЕТМ будут [О[=~, [К[=ЬТ, [р[=~ М, [р[=Т. 'Т Выберем за основные единицы величины О, У, р, которые, как легко видеть, между собой независимы, так как удовлетворяют условию [25).
Размерности р и р в системе (О, )г, р) будут [р[ =ОБ'р, [р] =руг, э гц измеРение н РАзмеРность мехАнических Величин 317 ПОЭТОМУ р=р)ггР)), 1.1, — „" ). Г есть безразмерный коэффициент. зависящий от безразмерной (от- влеченной) величины й= —; и Ь ' о=иЬ, тогда 1Р'= уг(о, о, р, р, р, й, О).
Размерности всех этих величин в системе 7.ТМ будут (а)=7., )о)=7.Т ', )р)=(. 'М„)р)=7. Т М, )11)=7. 'Т 'М, )(г)=1, )3)=1, )1Р)=(Т 'М. Выберем за основные единицы величины о, р, о, которые удовлетворяют условию (25) и, следовательно, между собой независимы; тогда размерности предыдущих величин в новой системе о, р, о выразятся так: )р) =рог, )и) =игор; )й) =)В) =1; )%') = артр, отсюда 1 В'=Орнге 1,1,1, Р,— ",Ь,В Р и Величина Р есть безразмерный коэффициент, зависящий от безраз- мерных аргументов а ог огоо р' 22 Н. Н, Вгжельч 1 721 Р оеар Отвлеченная величина )с'= — называется числом Рейнольдса.
и Это число играет большую роль при изучении динамиси вязкой жидкости. 3) Сопротивление прямоугольной пластинки. Тонкая прямоугольная пластинка, двигаясь в жидкости поступательно, испытывает со стороны жидкости сопротивление. Сила сопротивления 1Р' зависит от размеров пластинки а и Ь, ее скорости о, угла О между плоскостью пластинки и направлением ее поступательной скорости, давления жидкости р, плотности р и коэффициента вязкости р, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
