1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 58
Текст из файла (страница 58)
[Гл. Р>н РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ 324 7. Преобразование механическмх величин. В $ 31 было устаашвлено, что характер зависимости какой-либо механической величины от основных единиц определяется размерностью этой величины. Пусть я>екоторая механическая величина для системы (8) имеет в абсолюта>ой системе вид [а[в т, (21) размерность этой величины. очевидно, будет (а1 1 ТБЛ4Т (22) Чтобы получить значение той же величины для системы (О'), механически подобной системе (5), нужно сделать преобразование (20), т. е. заменить [ — ь ).[, à — Р т[, л> — ь [гт; (23) тогда для системы (8') величина Я будет иметь значение а' = йй"тв[гт["1вщт; следовательно, численное значение величины [Г для системы (8') будет и =>у).
т [>~. (24) Формула (24) по своему виду похожа на формулу (11) й 31, но, конечно, имеет совсем другой смысл, так как здесь единицы меры не изменя>отся; однако число Х сар", на которое нужно умножить численное значение и для перехода к системе (8'), совпадает с коэффициентом перехода, благодаря чеиу можно установить вытекающее .из этого обстоятельства очевидное правило. 8. Примеры. 1) Прял>олинейный осцилллл>ор.
Пусть точка массы л> движется прямолинейно под действием силы, притягиваюзцей ее к неподвижному центру пропорционально расстоянию (прямолинейный осциллятор). Уравнение движения точки будет йгх л> — = — лх, й[ г тде и есть квазиупругая постоянная. Общее решение этого уравнения имеет вид л = а з[и (ы[ + е), /' й яде э> = зу — есть круговая частота колебания точки. Для механически подобной системы будем иметь л>' — = — л'х' и х'=па[и(ы'г'+а) йгсг ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ $32! (а и е — произвольные постоянные).
Так как то л =т 2)ап; 6) =т 1ьь Чтобы механически подобный осциллятор имел ту же частоту, нужно, чтобы было я=1, а следовательно, 2) Центральное движение. Пусть точка массы ю движется под действием центральной силы гт = углМг", притягивающей ее к неподвижной точке с массой М пропорционалюго П-й степени расетОЯ- ния; у есть гравитационная постоянная. Для механически подобно(ь системы будем иметь с' = ут'М'г', откуда ),1-21! 122Лл Из последнего уравнения имеем 2 ° 1 — л -1 Т=Л р Если массы притягивающего центра и притягиваемой точки в обеих системах одинаковы, то р = 1 и 2 „1-л В случае ньютонианского притяжения п = — 2 и т =Л, 2 З т. е.
получаем 3-й закон Кеплера' ). Для ньютонианского закона притяжения формула (25) приобретает вил Лз тт = —; (25''г и поэтому, если бы плотности тел солнечной системы остались прежними, но их размеры, так же как и взаимные расстояния. изменились. в Л раз, то, тзк как при этих условиях В=Лз, мы имели бы, что Т=1, т. е.
времена обращения остались бы прежними. !) Для солнечной системы этот закон справедлив приближенно, если пренебречь различием в массах планет, малых по сравнению с массой Солнца (см. ч. 1, й 3т, п. 8). 1гл. ч<ы газмьвность и твогия подолия 326 й. Модели. Для изучения работы какого-либо проектируемого сооружения весьма часто пользуются изучением его модели, т. е.
строят это сооружение в уменьшенном масштабе из тех же самых материалов, получая таким образом систему, материально подобную проектируемому сооружению, и экспериментально, путем измерения, опрелеляют все требуемые величины, а из них, пользуясь методами теории подобия, находят соответствующие величины для этого сооружения в натуральных размерах, При учете сил, действующих на различные части сооружения, нужно прежде всего принять во внимание веса его составных частей, которые в случае материального подобия изменяются пропорционально кубам линейных размеров; поэтому веса соответственных деталей двух материально подобных сооружений, так же как и их массы, имеют отношение )з.
Следовательно, для осуществления механического подобия необходимо, чтобы и соответственные силы, действующие на де~али, находились в том же отношении. Но это не всегда может быть достигнуто, так как некоторые силы (например, силы сопротивления, различные виды трения и пр.) изменяются при переходе от одной системы к другой, механически подобной, в ином отношении. В этом случае при построении модели для сохранения механического подобия приходится пожертвовать материальным подобием и подбирать соответствующим образом материалы деталей и условия их работы, В дальнейшем будем предполагать простейший случай, когда все .соответственные силы, так же как и веса, находятся в отношении ),з.
Тогда будем иметь 1 р =).:, )т р =), откуда т = л'. з -з з При этом предположении, на основании формулы (24) п. 7 для чзпределения какой-либо величины Я проектируемого сооружения, нужно соответствующую величину и. найденную для модели, умножить на переходный коэффициент з а )."1 Рт=).'). ). т =Х з з в+ а+Зч следовательно, в.ь — ьзт Р Ч.
(26) Формула (26) выражает собой так называемое «правило Ньютона». 10. Примеры. 1) Статические сооружения. В статических сооружениях (например, мосты, фермы, краны) действующими силами обыкновенно являются силы тяжести, действующие на тела, которые эти сооружения поддерживают, следовательно, имеют место усло- $ 321 ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 32т вия п.
9. Пусть напряжение в различных частях сооружения выражается величиной а, причем Снлд с-1т-2 площадь следовательно, а = — 1, р = — 2, т = 1, Подставляя эти значения в равенство (26), будем иметь соотношение между напряжениями в материально подобных сооружениях в виде Отсюда вытекает положение довольно общего характера, что модель прочнее своего оригинала (коиечно, при наличии материального подо- бия и при условии, что модель меньше оригинала), 2) Лвигалгели. Для двух материально подобных и механическж подобных двигателей внутреннего сгорания (или паровых машин) ско- рости соогветственных частей должны находиться в отношении Ат ', 'л но так как при наших условиях т=).', то зто отношение должно. быть равно у'Х.
Итак, соответственные скорости двух механически подобных двигателей пропорциональны квадратным корням из отно- шения их линейных размеров. При этом необходимо заметить, чтО для осуществления механического подобия давления в цилиндрах этих двигателей не могут быть произвольными.
Так как давление р имеет размерность у-гт-2М площадь т. е. такую же, как напряжение, го переходный коэффициент, нв основании равенства (26), равен Х, а следовательно, Р=)р, т. е. давления в цилиндрах механически подобных двигателей должны быть пропорциональны их линейным размерам. Отношение мощностей двигателей получится, если, принимая во внимание размерность мощности 1= ' б"' =егт 'м время подставим в равенство (26) а=2, 6= — 3, и= 1; получим е=).ле. Практически интересно сравнить работу двух материально подобных двигателей при различном отношении давлений в их цилиндрах. Для этого мы должны отказаться от условия, что соответственные силы в двигателях пропорциональны ).з, так как в этом случае наиболее существенной силой будет сила давления на поршень, котораи З2В РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ 1гл.
ч1ы Равна произведению давления на плошадь поршня и будет пропорциональна п).2, где и есть отношение давлений; остальными силами (силами тяжести и вредными сопротивлениями) будем пренебрегать, так как в неподвижных двигателях веса отдельных частей достаточно уравновешены и предполагается хорошая смазка. Для механического подобия необходимо (см. п. 4), чтобы соответственные силы находились в отношении Хт 211, т. е. чтобы ПА,2 — ) 2-211 причем вследствие материального подобия 11=):.а. Остюда и ),г, — г () т-1)2 т. е.
соответственные скорости (см. п. д) будут пропорциональны квадратным корням из давлений. Если давления в цилиндрах обоих двигателей одинаковы, т. е. и = 1, то линейные скорости равны. При и = 1 отношение угловых скоростей, или, что то же, чисел -1 -1 оборотов в минуту, равно т = Х , ибо т = Х: отношение мощностей будет ).т 11=):,11 ). =л. 3) Сопротивление движению судов. Суда при своем движении по воде испытывают сопротивление движению, которое при употребляемых скоростях можно считать пропорциональным квадрату скорости.
Так как сопротивление движению судна пропорционально площади миделевого сечения и квадрату скорости, то сопротивления двух материально подобных судов пропорциональны ).2(Ат ')'=).з (здесь приняты во внимание условия п. 9 и то, что я= 1 '); следовательно, силы сопротивления также удовлетворяют условиям п. 9, а поэтому можно пользоваться формулой (29). Так как отношение скоростей двух механически подобных систем равно Хт ', а при услоу виях п.
9 Т=).Ь, то отношение скоростей двух материально подобу ных судов будет равно ).Ь. Отсюда вытекает так называемое правидо Фруда1 если какое-либо судно прн скорости ю имеет сопротивление й, то судно, материально подобное, при скорости о 1/ Х будет иметь сопротивление )с).з, где Х есть отношение линейных размеров. ЛИТЕРАТУРА )Кук о в ски й Н.
Е., Теоретическая механика, изд. 2, 1952. К и р пи ч е в В. Л„Беседы о механике, изд. 4, !950. К р ы ли в А. Н., Вибрация судов, !936 Л а н д а у Л, Д. и Л и ф ш и ц Е. М., Механика, 1965. Л о йц ян с к и й Л. Г. и Лурье А. И., Курс теоретической механики, т. 2, изд. 5, 1955. Л у р ье А. И„Аналитическая механика, 196!. Розе Н. В., Лииамика твердого тела, 1932, Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, изд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
