1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Л„1". (6) Отсюда видно, что единицей меры для величины ф будет л 1», (7) Таким образом, для геометрических величин основной единицей является единица длины 1, все же остальные выражаются через 1 и ~) Справедливость этого утверждения можно доказать, исходя из того физического условия, что отношение любых двух численных значений данной производной величины не должно зависеть от выбора оснопных еднвчц меры.
РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ 1гл, щ22 имеют вид 1", т. е. будут производными единицами; следовательно, установив единицу длины, мы тем самым устанавливаем единицы для всех геометрических величин. Тот факт, что единица меры для величины (), определяется через единицу меры основной величины Б (длины) формулой (7), выражается, согласно обозначению, введенному Максвеллом, символом (8) Выражение в правой части (8) называется размерностью величины (1н а самая формула (8) — формулой размерности '). Формулы раз- мерности для геометрических величин будут иметь внд: Кинематичесиой величиной называется величина, которая зависит, кроме геометрических величин, еще от времени, т. е.
имеет внд (9) где й есть коаффициент пропорциональности, 1. †дли„ Т вЂ” время, а и [) †действительн (в задачах механики обычно целые) числа; в частном случае а может равняться нулю. Полагая, по предыдущему, й=1, 1.=)1, Т=тс, где 1 и 1 суть выбранные единицы длины н времени, и принимая во внимание, что в классической механике длина и время считаются между собой независимыми, мы можем принять единицы 1 н 1 за основные и получим для кинематической величины выражение (с =Л а1 св; (10) следовательно, для кинематической величины единицей меры будет да=1"са, а формула размерности имеет вид %2] (11) ~) В формулах размерности принято символ производной (вторичной) величины заключать в квадратные скобки, а лля основных величин скобок не ставить, полагая [Ц = 1.
[площадь] [объем[ [статический момент длины] [статический момент площади] [статический момент объема] [момент инерции длины) [момент инерции площади] [момент инерции объема] 22 12 12 1з 14 4 31] измеРение и РлзмеРность мехАнических Величин 309 в частности [скорость] = ЕТ [ускорение] = ЕТ з, [угловая скорость] = Т [угловое ускорение] = Т [момент скорости или секторная скорость[ = 1.~Т [момент ускорения или секторное ускорение] = 1.
Т Если механическая величина помимо геометрических и кинемати- ческих величин зависит от массы, то она носит название динами- ческой (или кинетической) и имеет вид д~ — Н,'Тзм» (12) где й есть коэффициент пропорциональности, (. †дли, Т вЂ” время, М вЂ” масса, а, [1, у †действительн числа, причем в частном слу- чае а и р могут разняться нулю.
Полагая, как и раньше, й =. 1, )1, Т = т1, М = рт, где 1, 1, т суть выбранные единицы длины, времени и массы, и принимая во внимание, что в классической механике между длиной, временем и массой не существует никаких аависимостей (как, например, это имеет место в релятивной механике), мы мои<ем принять единицы 1, г, т за основные; тогда динамическая величина (,Лз примет вид (ез = )' тй]л 1 л т ° (1З) Таким образом, для всех динамических величин единицы меры выравятся в основных единицах Е (, т в виде дз=]~С~т», а общая формула размерности для этих величин будет [а ] — СаТВМ» (14) Если, в частности, У= О, то величина (;Лз бУдет кинематической, а если у = О и [1 = О, то геометрической; если же а = Р = у = О, то величина згз называется безразмерной или отвлеченной.
Формулы размерности для различных динамических (кинетических) величин выразятся следующим образом: [сила] = МЕТ з, [момент силы! = Мл. Т [работа, энергия] =Мс.'Т з, [мощность] = Мь'Т [количество движения, импульс] = МЕТ [момент количества движения]= Мь Т ~. [действие по Гамильтону и Лагранжу) = МЕ»Т '. [принуждение по Гауссу, Дтз]=М(.'Т 4, [момент инерции) = ЛИз, [плотность] =МЕ з. РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ З1О 1гл. Риг 4. Переход от одних единиц меры к другим для одной и той же системы. Из формулы (13) следует, что если за основные единицы меры принять какие-либо единицы длины, времени и массы 1, г, т, то единица меры любой механической величины (;1 будет иметь вид О = 1ггатт, а сама величина представится в виде 1аГВ т (15) где х будет численным значением величины Я, Совокупность величин, единицы которых принимаются за основные, называется системой основных единиц; сами же единицы основных величии могут быть выбраны произвольно.
Пусть какая-нибудь механическая величина 9 выражается в некоторых единицах системы (1, г, т) формулой (15); возьмем другие единицы той же системы: т — — т = —; а~' п~' пм' тогда, подставляя в формулу (15) выражения 1, т, Г в новых единицах из (16), получим выражение („1 в единицах 1', г', т', а именно Я=хпапапт 1' г' т'"; (1У) таким образом, численное значение величины Я в единицах (1', г', т') будет хпапапт 1 г ~а' Число и"папт, на которое нужно умножить численное значение какой-либо величины, выраженной в некоторых основных единицах, для того чтобы получить численное значение той же величины, выраженной вдругих единицах той же системы, называется поэффиниентолг переходи.
5. Теорема однородности. Пусть какая-нибудь механическая величина (;Г зависит от ряда других величин ЙР Йх Йи ..., которые выражены в единицах системы (Л г, т); тогда зта величина Д будет зависеть от некоторого числа длин Ц, Ц, 5з, ..., времен Т,, Т,, Т,, ... н масс Ми М,, Мз, ..., причем 1.;=Л,1 (1=1, 2, ..., а); Т;=т г (/=1, 2, ..., Р); Маа— -рат (й=1, 2, ..., т), где Ли т~, )ьа суть численные значения зтнх величин. Численное значение х величины й будет функцией Л,. Лз, Лз, ..., т,, т,, тз, ..., рн ра, рм ...,т.е. х=у(ЛН Ла, ...; Ти та, ...; ри рм ...). (1В) $31! ИЗМЕРЕНИЕ И РАЗМЕРНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ЗП Воаьмем вместо единиц меры (1, 1, лг) другие единицы той же системы (1', 1', лг'), причем г 1 пг тогда при новых единицах (1', 1', т') будем иметь Л, =п,ЛИ т' =п,т, (19) и' = (пе па пт„) и.
(20) Поскольку уравнение (18) должно иметь место при любых единицах меры (конечно, в пределах одной и той же системы) или, другими словами, уравнение (18) должно быть ковариантно при переходе от одних единиц меры к другим, то в единицах 1', 1', лг' и =.г(Л,', ЛаЛ ...; г,', тг, ...; р1, )ггЛ ...), (21) или, принимая во внимание (19) и (20), п«пап~ и=у(п,ЛР п,Л,, ...; пгти п,т,,; марн п р, ). (22) Так как равенство (22) имеет место при каких угодно пн и,, п , то оно должно быть однородно относительно ЛО т! и р, т.
е. всякое уравнение механики должно обладать тройной однородностью относительно численных значениИ основных величин данной системы; в этом и состоит теорема об однородности. 8. Системы основных единиц. До сих пор мы принимали за основные единицы системы единицы длины, времени и массы; такую систему единиц называют абсолютной. Термин «абсолютный» в данном случае имеет историческое значение и отражает собой то обстоятельство, что в конце 18-го столетия (во время Конвеета) французские физики стремились для этих величин установить такую систему мер, которая была бы независима от всякого рода случайных причин, влияющих на изменение эталонов, Но, как известно, такая попытка оказалась неудачной, и в настоящее время «абсолютными» единицами длины и массы называются те, которые определяются соответствуюгцими эталонами этих мер, хранящимися в Международной Палате мер и весов в Севре (франция).
Абсолютная система основных единиц впервые была предложена Гауссом; основными единицами меры для этой системы были приняты: для длины — 1 слг, для времени — 1 сек и для массы — 1 г (масса). Такая абсолютная система носит название СОЯ (т. е. сантиметр — грамм — секунда), В системе С08 единица силы будет производной единицей, а именно 1 дина = 1 с.н сем-а г (см. ч. !, 8 14, п, 3). В настоящее время прикята другая аналогичная система основных !гл. щи 312 РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ гу, = и, 7ав1В'т".
г 7 и 1 а в 1 а в т ъ г= г «7 =л 1"1В'т ', (24) где ии и,, из — численные коэффициенты, которые соответствующим выбором «71, «71 «7з можно всегда сделать равными единице. Если величины ф, «1г, «,7з. а следавательно, и единицы их измеРениЯ «71, «71, гуз менщу собой независимы, то из уравнений системы (24) можно определить 1. 1, т как фУнкции «71, Рг, «7з; дла этого нУжно, чтобы соответствующий определитель Якоби был отличен от нуля, т. е.
чтобы а 1а' 11в'лгу' 1 аг 1а,— 11В, и 1ав — 11г» ув у,1"1а'т ' 1а га,ту,-1 у 1авагвттв-1 р,1"'1"' «ту', й 1а*1а* 'т'*, г р 1а'1в' гтт д (г7г, в7». «7») д(1,1, т) Умножая столбцы определителя последовательно на 1, 1, т, т. е. весь определитель на 11т, и деля строки определителя последовательно на 1" 7а'л«У'. 7а'1 тт', 7а'1а'тт', т. е. весь определитель на 1а'+"+а'1а' "''"'ту" у'+гь, получим условие независимости величин «;71, «,71, «,)з в виде аг бг уг аг бг уг аз рз уз (25) Итак, для того чтобы трн л«ехапические величины 171, «.7г и «„7З были между собой независимы, необходимо и достаточно, чтобы единиц — система СИ, в которой единицами являются для длины — 1 м, для времени — 1 сек и для массы — ! кг (масса). Единицей силы в этой системе является сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение в ! и/сека; такая единица называется 1 ньютон (1 н=! кгм1секг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
